2022年普通高等招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)

一、選擇題

1.己知全集U={x|-3<x<3},集合4={刈—2<尤<1},則C0A=()

A.(-2,1]

B.(-3,-2)U[L3)

C.[-2,1)

D.(-3,-2]U(l,3)

2.若復(fù)數(shù)z滿足3z=3—4i,則|z|=()

A.1

B.5

C.7

D.25

3.若直線2x+y—l=0是圓(x—ay+y2=i的一條對稱軸，則。=()

C.1

D.-1

4.已知函數(shù)./Xx)=號「則對任意實數(shù)x,有()

A./(—x)+/(x)=O

B./(-x)-/U)=O

C./(-x)+/(x)=l

D./(-x)-/(x)=g

5.已知函數(shù)/(x)=cos2x-sin2%,則()

TTTT

A.7（%）在（——,一一）上單調(diào)遞減

26

B./（幻在（一^^）

71

C./（幻在（0,§）上單調(diào)遞減

D./（X）在（j,五）上單調(diào)遞增

6.設(shè)｛%｝是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“｛q｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N。，當(dāng)

〃〉乂時，%>0”的（）

A.充分而不必有條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

7.在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技

術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP

的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是

（）

A.當(dāng)T=220,P=1026時，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,P=128時，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)T=300,P=9987El寸，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)T=360,P=729時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

8.若（2%—1），=gx"+。2*2+。1*+。0，則/+。2+。4=（）

A.40

B.41

C.-40

D.-41

9.已知正三棱錐P-ABC的六條棱長為6,S是AABC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合?設(shè)集合

T={QeS|PQW5},則T表示的區(qū)域的面積為()

37c

A.—

4

B.n

C.2%

D.3萬

10.在A48C中，AC=3,BC=4,NC=90°.P為A48C所在平面內(nèi)的動點，且

PC=1,則而.而的取值范圍是()

A.[-5,3]

B.[-3,5]

C.[-6,4]

I).[-4,6]

二、填空題

11.函數(shù)/,(>)=■!■+JTi的定義域是.

X

12.已知雙曲線V+上=1的漸近線方程為曠=土且x，則m=.

m3

13.若函數(shù)/(x)=Asinx-Gcosx的一個零點為(，則4=.

-ax+\,x<a

14.設(shè)函數(shù)/(x)=12，若/(x)存在最小值，則a的一個取值為，。的最大值

(x-2),x>a

為.

15.已知數(shù)列僅“}的各項均為正數(shù)，其前n項和S“滿足a”?5,=9(〃=1,2,…).給出下列四

個結(jié)論：

①{4}的第2項小于3：

②{a,J為等比數(shù)歹U；

③｛?！埃秊檫f減數(shù)列；

④｛《,｝中存在小于焉的項.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題

16.在AABC中，sin2C=GsinC.

(1)求NC；

(2)若b=6,且AABC的面積為6百，求AABC的周長.

17.如圖，在三棱柱A8C—4與C中，側(cè)面BCG片為正方形，平面8CG與，平面

AB耳A，AB=BC=2,M.N分別為AC的中點.

(1)求證：MN//平面8CG4；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線A8與平面BMN所成

角的正弦值.

條件①：AB±MN-

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

18.在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9.50m以上

(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、

乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m)：

假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.

(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望

EX；

(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？(結(jié)論不要求證

明)

Xy2

19.已知橢圓E：—+=13>8>0)的一個頂點為4(0,1),焦距為2百.

a~F

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點P(-2,1)作斜率為火的直線與橢圓E交于不同的兩點8,C,直線AB,AC

分別與X軸交于點M,N.當(dāng)|MN卜2時，求々的值.

20.已知函數(shù)/(%)=exln(l+x).

(1)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=/'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明：對任意的s,，e(0,+8),有/(s+t)>/(s)+/(f).

21.己知Q：%,a2,4為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)加，若對任意的

nG(l,2,---,m),在。中存在《，q+i，…，(jNG),使得

4+?,+i+4+2+…+的=〃，則稱。為加一連續(xù)可表數(shù)列.

(1)判斷。：2，1，4是否為5