第3講軌跡方程的求法（合理建立坐標(biāo)系）考情分析求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一。求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn)。二、經(jīng)驗(yàn)分享求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法(1)直接法直接法是將圓錐曲線中動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何關(guān)系或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的要滿足的條件簡單明確時(shí)，直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡、限制說明”五個(gè)基本步驟求軌跡方程,稱之直接法.(2)定義法若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求；(3)相關(guān)點(diǎn)法根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(4)參數(shù)法若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程；求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念三、題型分析(一)直接法直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的要滿足的條件簡單明確時(shí)，直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡、限制說明”五個(gè)基本步驟求軌跡方程,稱之直接法.已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與的比等于常數(shù)（如圖），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線．【變式訓(xùn)練】【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。(二)相關(guān)點(diǎn)代入法據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例2.如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程【變式訓(xùn)練1】已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且．記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為．設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合．（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）若曲線與有公共點(diǎn)，試求的最小值．(三)參數(shù)法參數(shù)法是指先引入一個(gè)中間變量（參數(shù)），使所求動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得到間的直接關(guān)系式，即得到所求軌跡方程.例3設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線【變式訓(xùn)練1】設(shè)橢圓中心為原點(diǎn)O，一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)P在該直線上，且，當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．（四)定義法定義法是指先分析、說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種特殊曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義或特征，再求出該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌跡方程.例4已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．【變式訓(xùn)練1】在直角坐標(biāo)系中，曲線的點(diǎn)均在：外，且對上任意一點(diǎn)，到直線的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)（）為圓外一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．四、遷移應(yīng)用1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)滿足，，點(diǎn)的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）為C上動(dòng)點(diǎn)，為C在點(diǎn)處的切線，求點(diǎn)到距離的最小值．

2．已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．3．在直角坐標(biāo)系中，曲線：與直線交與，兩點(diǎn)，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程；（Ⅱ）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由．4．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓：上，過做軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足QUOTE．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且QUOTE．證明：過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn)．

5．如圖5，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線和橢圓均過點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形．（Ｉ）