22北京中考數(shù)學專題復習圓與相似的綜合題1、相似1.如圖，AABC是一銳角三角形余料，邊BC=16cm,高AD=24cm,要加工成矩形零件,使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點E、F分別在AB、AC上.求：（1）AK為何值時，矩形EFGH是正方形？（2）若設(shè)AK=x,SEFGH=y，試寫出y與x的函數(shù)解析式.（3）x為何值時，Sefgh達到最人值.【答案】（1）解：設(shè)邊長為xcm,???矩形為正方形，/.EHIIAD,EFIIBC,EhBEEFAh根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得出：金=益、反=益，xBhxAE由題意知EH二x,AD二24,BC=16,EF=x,即24^Ab,16^Ab,???BE+AE二AB,xxBEAE.??云+亦二石+石：=1,48解得X=^,72???AK=5,_72.?.當時，矩形EFGH為正方形（2）解：設(shè)AK*EH=24-x,???EHGF為矩形，E卜AK2MM/.BC=AL,即EF=5x,22???SEFGH=y=3x?（24-x）=-^x2+16x（0<x<24）(3)解:y=-<3x2+16x纟配方得：y=<5(x-12)2+96,當x=12時,Sefgh有最大值96【解析】【分析】(1)設(shè)出邊長為xcm,由正方形的性質(zhì)得出，EHIIAD,EFIIBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得對應線段成比例，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可。設(shè)AK=x,則EH=16-x,根據(jù)平行的兩三角形相似，再根據(jù)相似三角形的對應邊上的高之比等于相似比，用含x的代數(shù)式表示出EF的長，根據(jù)矩形面枳公式即可得出y與x的函數(shù)解析式。將(2)中的函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出矩形EFGH的面積取最人值時的X的值。2.如圖，在O0中，直徑AB經(jīng)過弦CD的中點E,點M在OD±,AM的延長線交O0于點G,交過D的直線于F,且ZBDF二ZCDB,BD與CG交于點N.(2)連結(jié)MN,猜想MN與AB的位置有關(guān)系，并給出證明.【答案】(1)證明：???直徑AB經(jīng)過弦CD的中點E,:AB±a9IZBOD=2ZCDB.：?ZBDF=ZCDB,:ZBOD二ZCDF,rZBOD十ZODE=90°9:ZODE+ZCDF二90。，即ZODF二90°,?:仍是0C的切線(2)解：猜想：MNIIAB.證明：連結(jié)CB.???直徑AB經(jīng)過弦CD的中點E,AC^AL,???ZCBA=ZDBA,CB=BD????OB二OD,.??ZDBA=ZODB.???ZAOD=ZDBA+ZODB=2ZDBA=ZCBD,???ZBCG二ZBAG,.??△CBNsjAOM,.AO_OM''刁-麗???AO=OD.CB=BD,.DO_OM''亦-麗■DO_DM''亦—麗???ZODB=ZMDN,.??△MDNsj砂.??ZD爪=ZDOB.???MNIIAB?【解析】【分析】(1)要證DF是OO的切線，由切線的判定知，只須證ZODF=90°即可。由垂徑定理可得AB丄CD.則ZBOD+ZODE=%°,而ZODF=ZCDF+ZODE,由已知易得ZBOD=ZCDF,則結(jié)論可得證;(2)猜想：MNIIAB.理由：連結(jié)CB,由已知易證△CBN-^AOM,可得比例式AOOMDODMCBBN',于是由已知條件可轉(zhuǎn)化為DBDN',ZODB是公共角，所以可得△MDN?△ODB,則ZDMN=ZDOB,根據(jù)平行線的判定可得MNIIAB。3?如圖，在平面直角坐標系中，0為原點，四邊形ABCD是矩形，點A、C的坐標分別是A（0,2）和C（2農(nóng),0），點D是對角線AC上一動點（不與A、C重合），連結(jié)BD,作，交x軸于點E,以線段DE、DB為鄰邊作矩形BDEF.（1）填空：點B的坐標為；（2）是否存在這樣的點D,使得△DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；DE（3）①求證：亦一2；②設(shè)AD=x,矩形BDEF的面枳為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（可利用①的結(jié)論）,并求出y的最小值【答案】（1）（亦,2）（2）解：存在，理由如下：???OA=2QC=2\AAC￡???tanZACO二九比???ZACO=30。上ACB=60°如圖（1）中，當E在線段CO上時，ADEC是等腰三角形，觀察圖彖可知，只有ED=EC,???ZDCE=ZEDC=3O°,???ZDBC=ZBCD=60°,DBC是等邊三角形，???DC=BC=2,在RtAAOC中,?/ZACO=30°,0A=2,.??AC=2AO=4,???AD=AC-CD=4-2=2,當AD=2時，△DEC是等腰三角形，如圖（2）中，當E在0C的延長線上時，ADCE是等腰三角形，只有CD=CE,ZDBC=ZDEC=ZCDEJ5：???ZABD=ZADB=75°/???AB二AD二2\A綜上所述，滿足條件的AD的值為2或2\A（3）①如圖，過點D作MN丄AB于點M,交0C于點N。???A(0?2)和C(23z0),???直線AC的解析式為y=-33x+2,設(shè)D(a,-33a+2),???DN=-33a+2,BM=23-a???ZBDE=90°,???ZBDM+ZNDE=90°,ZBDM+ZDBM=90°,???ZDBM=ZEDN,???ZBMD=ZDNE=90°,???△BMD^ADNE,???DEBD=DNBM=-33a+223-a=33?②如圖(2)中，作DH丄AB于H。???AD*ZDAH=ZACO=30°/???DH=12AD=12x,AH=AD2-DH2=32x,???BH=23-32x,在RtABDH中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2,???DE=33BD=3312x2+23-32x2,???矩形BDEF的面積為y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即y=33x2-23x+43z???y=33x?32+3???33>0,???x=3時，y有最小值3.【解析】【解答】(1)T四邊形AOCB是矩形，.??BC=0A=2,0C二AB二,zBCO=ZBAO=90°,???B(A/5,2)【分析】（1）根據(jù)點A、C的坐標，分別求出BC、AB的長，即可求解。（2）根據(jù)點A、C的坐標，求出ZACO,ZACB的度數(shù)，分兩種情況討論：①如圖（1）中，當E在線段CO上時，ADEC是等腰三角形，觀察圖彖可知，只有ED=EC；②如圖（2）中，當E在0C的延長線上時，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE,ZDBC=ZDEC=ZCDE=15°/分別求出AD的長，即可求解。（3）①如圖，過點D作！V1N丄AB于點M,交0C于點N。利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)D（a,~a+2）,分別用含a的代數(shù)式表示出DN、BM的長，再證明ABMD-ADNE,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出對應邊成比例，即可求解；②如圖（2）中，作DH丄AB于H。設(shè)AD=x,用含x的代數(shù)式分別表示出DH、BH的長，利用勾股定理求出BD、DE的長再根據(jù)矩形的面枳公式，列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，求出頂點坐標，即可求解。4.如圖，已知AB是＜00的直徑，點C在O0±,過點C的直線與AB的延長線交于點P,1求證:BC=^AB：點M是弧AB的中點，CM交AB于點N,若AB=4,求MN?MC的值.【答案】(1)證明:VOA=OC,AZA=ZACO,又???ZCOB=2ZA.ZCOB=2ZPCB./.ZA=ZACO=ZPCB,又TAB是OO的直徑,AZACO+ZOCB=90%/.ZPCB+ZOCB=90°,即OC丄CP,???oc是OO的半徑，.?.PC是oo的切線(2)證明：TAC二PC,???ZA二ZP,???ZA二ZACO二ZPCB二ZP?又JZCOB二ZA+ZACO,ZCBO=ZP+ZPCB,/.ZCOB=ZCBO,BC=OC,1BC=-Ab?少(3)解：連接MA,MB,

???點M是弧AB的中點，???弧AM二弧BM,/.ZACM=ZBCM,?/ZACM=ZABM,/.ZBCM=ZABM,BM_朋1—■???ZBMN=ZBMC,???△MBN?△MCB,.IMCBM,.?.BM2=MN-MC,又TAB是OO的直徑，弧AM二弧BM,/.ZAMB=90%AM二BM,AB=4,BM二M,???MN-MC=BM2=8?【解析】【分析】⑴根據(jù)等邊對等角得出ZA=ZACO,運用外角的性質(zhì)和已知條件得出ZA=ZACO=ZPCB,再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出ZPCB+ZOCB=90°,進而求解.（2）根據(jù)等邊對等角得出ZA=ZP,再根據(jù)第一問中的結(jié)論求解即可，（3）連接MA,MB,根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等得出ZACM=ZABM,???ZBCM=ZABM,證出△MBN?△MCB,得出比例式進而求解即可.j5.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A（0,4），與x軸交于點B、C,點C坐標為（8,0）,連接AB、AC.jj（1）請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+^x+c的表達式;（2）判斷AABC的形狀，并說明理由;（3）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標；（4）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NMIIAC,交AB于點M,當厶AMN面枳最人時，求此時點N的坐標.【答案】(1)解：TA(0,4),/.c=4,,把點C坐標(8,0)代入解析式，得：a=-J_123一Y+—X+44,???二次函數(shù)表達式為.42,解：令y=0,則解得，xl=8,x2=,,-2",.?.點B的坐標為(-2,0),由己知可得,在RtAAOB中，AB—-2=BO2+AO2=22+42=20,在RtAAOC中AC-…2=AO2+CO2=42+82=80,又???BC=OB+OC=2+8=10,/.在厶ABC中AB-—2+AC——2=20+80=102=BC2,/.△ABC是直角三角形；解：由勾股定理先求出AC,AC=W+呼=心,①在x軸負半軸，當AC=AN時，NO=CO=8,.?.此時N(-8,0):②在x軸負半軸，當AC=NC時，NC=AC=M,???CO=8,NO=W-8,???此時N(8-W,0):③在x軸正半軸，當AN=CN時，設(shè)CN=x,則AN=x,ON=8-x,在RtAAON中，廬+(8~x)2,解得：x=5,/.ON=3,/.此時N(3,0):④在x軸正半軸，當AC=NC時，AC=NC=MON=“+8,此時N(W+8,0):綜上所述：滿足條件的N點坐標是(?&0)、(&M,0)、(3,0)、(8+“，0):BM_MLBM_BAMD_BN1—z1—(u—3/z1—(u—3/—=一5+5,???-5<0,:.n=3時，S有最大值，二當厶AMN面積最大時，N點坐標為(3,0).【解析】【分析】(1)用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式；因為拋物線交x軸于B、C兩點，令y=0,解關(guān)于x的一元二次方程可得點B的坐標，然后計算AB、BC、AC的長，用勾股定理的逆定理即可判斷；由(2)可知AC的長，由題意可知有4種情況：①在x軸負半軸，當AC=AN時；②②在x軸負半軸，當AC=NC時；③在x軸正半軸，當AN=CN時；④在x軸正半軸，當AC=NC時：結(jié)合已知條件易求解；???MDIIOA,???△BMD?△BAO,麗0A,?.?MNIIAC,.二麗BC,.二OABC,2*?*OA=4,BC=109BN二n+2,?-MD=5(n+2)>*?'amn=abn?bmn=11112-?BN9OA--BN?MD二一X(門十2)X4——X_(n+2)X(n+2)22225（4）設(shè)點N的坐標為（n,0）,則BN=n+2,過M點作MD丄x軸于點D,由平行于三角形一邊的直線和其他兩邊所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得ABIVID-aBAO,于是有比BM_MLBM_B、MD_BN例式茁~~OA,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得石~~BC,所以習「反，將已知線段代入比例式可將MD用含n的代數(shù)式表示出來，根據(jù)三角形的構(gòu)成可得SAamn=Saabn-SaBmn=112BN-OA--BN-MD,將BN、MD代入可得關(guān)于n的二次函數(shù)，配成頂點式根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解。6.如圖，在菱形ABCD中，ZC=60”,AB=4,點E是邊BC的中點，連接DE,AE.B（1）求DE的長;（2）點F為邊CD±的一點，連接AF,交DE于點G,連接EF,若ZDAG二ZFEG,求證：△AGEs△DGF；求DF的長.【答案】（1）解：連結(jié)BDr四邊形ABCD是菱形?:CB二CD二AB二￡：?ZC=60。：4CDB是等邊三角形??DB=DC=BC=4：?點E是邊BC的中點1:BE=EC=-BC=2:DE丄BC:DE=Qcif_M(2)解：①JZDAG=ZFEG,ZAGD=ZEG卜：4AGD“JEGF.AG_DG??云一氐文???ZAGE=ZDGF：4AGE“Jdgf②："JAGEsjDCF,DE丄BC■:ZEAG=ZGDF=90°-ZC=30:.ZAGD=ZEGF,ZAGE=ZDGF:ZGFE二ZADG二90°文：?DE=2^過點E作EH1DC丁點h在RtAECH中,FH=^EF2-Elf=2:CF二FH+CH二2+1=3:DF=CD-CF=I【解析】【分析】(1)連結(jié)BD,根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定方法首先判定出△CDB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出DE丄BC,CE=2,然后利用勾股定理算出DE的長；AG_DG(2)①首先判斷出△AGD-^EGF,根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出云—兀，又ZAGE=ZDGF,故厶AGE-△DGF：②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及含30。直角三角形的邊之間的關(guān)系及勾股定理得出EF的長，然后過點E作EH丄DC于點H,在RtAECH中，利用勾股定理算出FH的長，從而根據(jù)線段的和差即可算出答案.7.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,點P是邊AB±的一動點，連結(jié)DP.

（1）若將ADAP沿DP折疊，點A落在矩形的對角線上點/V處，試求AP的長;（2）點P運動到某一時刻，過點P作直線PE交BC于點E,將厶DAP與厶PBE分別沿DP與PE折疊，點A與點B分別落在點A\B，處，若P,A\B，三點恰好在同一直線上，且A，B'=2,試求此時AP的長；（3）當點P運動到邊AB的中點處時，過點P作直線PG交BC于點G,將厶DAP與厶PBG分別沿DP與PG折疊，點A與點B重合于點F處，連結(jié)CF,請求出CF的長.【答案】（1）解:①當點A落在對角線BD上時，設(shè)AP=PA—X,在RtAADB中，???在RtAADB中，???AB=4,AD=3,??.BD=J滬+酬=5,???AB=DA'=3,???BA'=2,在RtABPA'中，(4-x)2=x2+22j解得x=N???AP=2.②當點A落在對角線AC上時,囹2由翻折性質(zhì)可知:PD丄AC,則有△DAP-△ABC,ADABAD?BC3X3§AP=BC,.??AP=AB=4=4.

j9???AP的長為2或4(2)解:①如圖3中，設(shè)AP=x,則PB=4-x,圖3根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：PA=PA'=x,PB=PB'=4-x,TA'B'=2,二4-x?x=2,???x=l,/.PA=1；圖4設(shè)AP=x,則PB=4-x,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：PA=PA'=x,PB=PB'=4-x,???A'B'=2,???x?(4-x)=2,.*?x=3,二PA=3；綜上所述，PA的長為1或3(3)解:如圖5中,作FH丄CD由H.由翻折的性質(zhì)可知;AD=DF=3?BG=BF,G、F.D共線,設(shè)BG=FG=x,在RtAGCD中，(x+3)2=42+(3-x)2,TOC\o"1-5"\h\z4135MMMM解得x=J,???DG=DF+FG=3,CG=BC-BG=J,FH3FHDHDFTDH73MMTFHIICG,C6=DC=D6,/.3=4=3,15363616???FH=",DH=",?\CH=4-13=13、I152162^481在RtACFH中，CF=+1313=13【解析】【分析】(1)分兩種情形：①當點A落在對角線BD上時，設(shè)AP=PA=x,構(gòu)建方程即可解決問題：②當點A落在對角線AC上時，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題；(2)分兩種情形分別求解即可解決問題；(3)如圖5中，作FH丄CD由H.想辦法求出FH、CH即可解決問題&如圖1,在RtAABC中，ZACB=90%AC=6cm,BC=8cm,點P從A出發(fā)沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動；點Q從C出發(fā)沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動.點P、Q分別從起點同時出發(fā)，移動到某一位置時所需時間為t秒.當t二時，PQIIAB當t為何值時，APCQ的面積等于5crr)2?在P、Q運動過程中，在某一時刻，若將△PQC翻折，得到△EPQ,如圖2,PE與AB能否垂直？若能，求出相應的t值；若不能，請說明理由.能垂直，理由如下：延長QE交AC于點D,???將APCIC翻折，得到ZkEPCb???△QCP^△QEP,???ZC=ZQEP二90。，若PE丄AB,則QDIIAB,???△CQD-△CBA,

CQ_QLAbt2t_QL???N一N???QD=2?5t,???QC=QE=2t???DE=0.5t???ZA=ZEDP,ZC=ZDEP=90°,DEPE.\AC~BC0.5t6-t18t=—(0t4)解得:5解得:18綜上可知：當t=刁時，PE丄AB(2)解：???點P從A出發(fā)沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動；點Q從C出發(fā)沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動,.??PC=AC-AP=6-t,CQ=2t,(6.??PC=AC-AP=6-t,CQ=2t,(6-t)?2t=5解得21,t2=5(不合題意，舍去)當t=l秒時,△PCQ的面積等于5cm2⑶解：【解析】【解答】解：(1)丁點P從A出發(fā)沿AC向C點以1厘米/秒的速度勻速移動；點Q從C出發(fā)沿CB向B點以2厘米/秒的速度勻速移動，.??pc=AC-AP=6-t,CQ=2t,當PQIIAB時，???△PQC-△ABC,???PC：AC=CQ：BC,(6-t)：6=2t：8t=2.4.?.當t=2.4時，PQIIAB【分析】(1)根據(jù)題意可得PC=AC-AP=6-t,CQ=2t,根據(jù)平行線可得△PQC-AABC,利用相似三角形對應邊成比例可得PC：AC=CQ：BC,即得(6-t)：6=2t：8,求出t值即可：1由SaCPQ=^CP*CQ=5,據(jù)此建立方程，求出t值即可；延長QE交AC于點D,根據(jù)折疊可得AQCP更△QEP,若PE丄AB,則QDIIAB,可得△CQD-^CBA,利用相似三角形的對應邊成比例，求出DE=0.5t,根據(jù)DEPh兩角分別相等可證△ABC-△DPE,利用相似三角形對應邊成比例呢-~BC,據(jù)此求岀t值即可.二、圓的綜合9.如圖，點P在O0的直徑AB的延長線上，PC為O0的切線，點C為切點，連接AC,過點A作PC的垂線，點D為垂足，AD交O0于點E.⑴如圖1,求證：ZDAC=ZPAC：如圖2,點F(與點C位于直徑AB兩側(cè))在＜30上，BF=FA，連接EF,過點F作AD的平行線交PC于點G,求證：FG=DE+DG；2在(2)的條件下,如圖3,若AE=yDG,P0=5,求EF的長.【解析】【分析】連接0C,求出0CllAD,求出0C丄PC,根據(jù)切線的判定推出即可；連接BE交GF于H,連接0H,求出四邊形HGDE是矩形，求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案；設(shè)0C交HE于M,連接OE、OF,求出ZFHO=ZEHO=45°,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出TOC\o"1-5"\h\z2EHIIDG,求出0M=-AE,設(shè)0M=a,則HM=a,AE=2a,AE=-DG,DG=3a,3求出ME=CD=2atBM=2a,解直角三角形得出tanZMBO==—,tanP二=丄，設(shè)BM2PO2oc=k,則PC=2k,根據(jù)0P=75k=5求出k訃,根據(jù)勾股定理求出a,即可求出答案.【詳解】(1)證明：連接0C,???PC為O0的切線，???0C丄PC,???AD丄PC,???OCIIAD,???ZOCA=ZDAC,???OC=OA,???ZPAC=ZOCA,???ZDAC=ZPAC：(2)證明：連接BE交GF于H,連接OH,???ZFGD+ZD=180°,???ZD=90°,???ZFGD=90°,???AB為OO的直徑,???ZBEA=90°,???ZBED=90°,???ZD=ZHGD=ZBED=90°,四邊形HGDE是矩形，/.DE=GH,DG=HE,ZGHE=90%vBF=AF，???ZHEF=ZFEA=-ZBEA=-x90"=45%22/.ZHFE=90°-ZHEF=45°,???ZHEF=ZHFE,???FH=EH,???FG二FH+GH二DE+DG；???EH=HF,OE=OF,HO二HO,???△FHO雯△EHO,???ZFHO=ZEHO=45°,???四邊形GHED是矩形，???EHIIDG,???ZOMH=ZOCP=90°,???ZHOM=90°-ZOHM=90°-45°=45%???ZHOM=ZOHM,???HM=MO,???OM丄BE,???BM=ME,1???OM=-AE,22設(shè)OM=a,則HM=a,AE=2a,AE=-DG,DG=3a,3???ZHGC=ZGCM=ZGHE=90°,四邊形GHMC是矩形，???GC=HM=a,DC=DG-GC=2a,???DG=HE,GC=HM,???ME=CD=2a,BM=2a,

在RtABOM中，tanZMBO==-=-BM2a2???EHIIDP,???ZP=ZMBO,CO1tanP二=—,PO2設(shè)OC=k,則PC=2k,在RtAPOC中,OP=75k=5,解得：k=省，OE=OC=75＞在RtAOME中，OM2+ME2=OE2,5a2=5,a=lt???HE=3a=3,在RtAHFE中，ZHEF=45°,???EF=J?HE=3JI.【點睛】考查了切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理等知識點，能綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵.10.如圖，AABC的內(nèi)接三角形，P為BC延長線上一點，ZPAOZB,AD為＜30的直徑，過C作CG丄AD于E,交AB于F,交O0于G.（1）判斷直線PA與＜30的位置關(guān)系，并說明理由：（2）求證：AG2=AF-AB：（3）若OO的直徑為10,AC=2^5?AB=4荷，求△AFG的面積.【答案】（1）PA與。0相切，理由見解析；（2）證明見解析；（3）3.【解析】試題分析：（1）連接CD,由AD為的直徑，可得ZACD=90°,由圓周角定理，證得ZB=ZD,由已知ZPAC=ZB,可證得DA丄PA,繼而可證得PA與O0相切.（2）連接BG,易證得AAFG?AAGB,由相似三角形的對應邊成比例，證得結(jié)論.（3）連接BD,由AG2=AF*AB,可求得AF的長，易證得△AEF-△ABD,即可求得AE的長，繼而可求得EF與EG的長，則可求得答案?試題解析：解：(1)PA與O0相切.理由如下:如答圖1，連接CD,VAD為OO的直徑,/.ZACD=90°????ZD+ZCAD=90°.???ZB=ZD,ZPAC=ZB,ZPAC=ZD????ZPAC+ZCAD=90。，即DA丄PA.???點A在圓上，???PA與OO相切.答圖1(2)證明：如答圖2,連接BG,???AD為O0的直徑，CG丄AD,ACZAGF=ZABG.???ZGAF=ZBAG,.二△AGF?△ABG?/.AG：AB=AF：AG./.AG2=AF>AB?答圖2(3)如答圖3,連接BD,VAD是直徑,AZABD=90°.???AG?二AF?AB,心心2$AB=4j^,??.AF=6TCG丄AD,?\ZAEF=ZABD=90°.

AEAFU|IAEJ5/7JZ????ZEAF二ZBAD,??.△AEF-△ABD.二——=——,即一=—,解得：AE=2.ABAD4>/510???ef=>Jaf2-ae2=1-EG=\lAG2-AE2=4????FG=EG—EF=4—1=3.?I^￡=|X3X2=3-答圉3考點：1?圓周角定理；2?直角三角形兩銳角的關(guān)系；3?相切的判定；4?垂徑定理；5?相似三角形的判定和性質(zhì)；6?勾股定理；7?三角形的面積.11.如圖，AB是O0的直徑，點C,D是半圓O的三等分點，過點C作O0的切線交AD的延長線于點E,過點D作DF丄AB于點F,交O0于點H,連接DC,AC.求證：ZAEC=90°：試判斷以點A,0,C,D為頂點的四邊形的形狀，并說明理由；若DC=2,求DH的長.四邊形AOCD為菱形:DH=2屮?【解析】試題分析：(1)連接OC,根據(jù)EC與O0切點C,則ZOCE=90%由題意得,ZDAC=ZCAB,即可證明AEIIOC,則ZAEC+ZOCE=180°,從而得出

ZAEC=90°；i?ir?i則ZDCA=ZCAB可證明四邊形AOCD是（2）四邊形AOCD為菱形.由（1）得血平行四邊形，再由OA=OC,則ZDCA=ZCAB可證明四邊形AOCD是（3）連接0D.根據(jù)四邊形AOCD為菱形，得AOAD是等邊三角形，則ZAOD=60%再由DFDH丄AB于點F,AB為直徑，在RtAOFD中，根據(jù)sinZAOD=°S求得DH的長.試題解析：（1）連接0C,???EC與O0切點C,???0C丄EC,???ZOCE=90°,???點CD是半圓0的三等分點，i?imi?iAD=LU=Cti?-,???ZDAC=ZCAB,???OA=OC,???ZCAB=ZOCA,???ZDAC=ZOCA,???AEIIOC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）???ZAEC+ZOCE=180°,???ZAEC=90°；（2）四邊形AOCD為菱形.理由是：i?ir?i…AD=Gn9???ZDCA=ZCAB,???CDIIOA,又???AEIIOC,???四邊形AOCD是平行四邊形，???OA=OC,???平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）：（3）連接0D.

???四邊形AOCD為菱形，.??OA=AD=DC=2,???OA=OD?.??OA=OD=AD=2,???△OAD是等邊三角形，???ZAOD=60%???DH丄AB于點F,AB為直徑,???DH=2DF,DF在RtAOFD中,sinZAOD=OD,???DF=ODsinZAOD=2sin60°=^???DH=2DF=2\3.考點：1?切線的性質(zhì)2?等邊三角形的判定與性質(zhì)3?菱形的判定與性質(zhì)4?解直角三角形.12.在平面直角坐標系中，已知點A（2,0）,點B（0,2、B），點O（0,0）.AAOB繞著O順時針旋轉(zhuǎn)，得△AQBS點A、B旋轉(zhuǎn)后的對應點為從BS記旋轉(zhuǎn)角為a?（I）如圖1，A8恰好經(jīng)過點A時，求此時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)，并求出點序的坐標；（H）如圖2,若0°<a<90°,設(shè)直線AA'和直線BB'交于點P,求證：AA'±BB'；（皿）若0°<a<360%求（口）中的點P縱坐標的最小值（直接寫出結(jié)果即可）.【答案】（I）a=60。，B，（3,\3）；（口）見解析；（皿）點P縱坐標的最小值為-2?【解析】【分析】（I）作輔助線，先根據(jù)點人（2,0）,點B（0,2護），確定/ABO=30。,證明是等邊三角形，得旋轉(zhuǎn)角a=60MiE明厶CO以是30。的直角三角形月得歹的坐標；(II)依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ZBOB'=ZAOAl=a/OB=OB,/OA=OA:即可得出ZOBB'=ZOArA1=-(180°-a),再根據(jù)Z304=90。+8四邊形OB網(wǎng)'的內(nèi)角和為360：即町得到ZB/W=90：即AAr±BBr;1(皿)作朋的中點M(叭3),連接MP,依據(jù)點P的軌跡為以點M為圓心以MP~AB=2為半徑的圓，即可得到當PMWy軸時，點P縱坐標的最小值為\卩-2.【詳解】解：(I)如圖1,過B作B'C丄x軸于G???OA=2QB=2yp上AOB=90°,???ZABO=30。上BAO=60°/由旋轉(zhuǎn)得：OA=OA\AA'=ABAO=60\△0朋'是等邊三角形，.??a=Z人04'=60。，???OB=OB'=2\dzCOBr=90°?60°=30°,1B'C=^OB/=^J^,???0C=3,???B'(3,0,(II)證明：如圖2；：ZBOBr=AAOA^a.OB=OB\OA=OA\1???ZOBB=ZOA'A=-(180°-a),???Z304=9(T+a,四邊形OB/W的內(nèi)角和為360。，???ZB/VT=360°-(180°-a)-(90°+a)=90。，即AA'^BB1;

（in）點p縱坐標的最小值為\乞2?理由是:如圖，作皿的中點M（叭3），連接MP,???點P的軌跡為以點M為圓心，以MP=#B=2為半徑的圓，除去點（乙2\3）,當PM丄x軸時，點P縱坐標的最小值為-2.【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和以及圓周角定理的綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是判斷點P的軌跡為以點M為圓心，以MP為半徑的圓.13.如圖，己知AB是O0的直徑，P是BA延長線上一點，PC切O0于點C,CD丄AB,垂足為D.（2）過點A作AEIIPC交＜30于點E,交CD于點F,交BC于點M,若ZCAB=2ZB,CF=JJ,求陰影部分的面積.【答案】（1）詳見解析；（2）竺二2返.4【解析】【分析】（1）如圖，連接0C,利用圓的切線的性質(zhì)和直徑對應的圓周角是直角町得ZPCA=Z0CB,利用等量代換可得ZPCA=ZABC.（2）先求出△OCA是等邊三角形，在利用三角形的等邊對等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分別求出AM、AC、MO、CD的值，分別求出S"oe、S扇形込、的值，利用s陰影部分=S“OE+SmBOE-Swm,然后通過計算即可解答.【詳解】解：（1）證明：連接0C,如圖,???PC切OO于點C,???0C丄PC,???ZPCA+ZACO=90%???AB是OO的直徑，???ZACB=ZACO+OCB二909???ZPCA=ZOCB,???OC=OB,.-.ZOBC=ZOCB,.??zPCA=ZABC：(2)連接OE,如圖，???△ACB中，ZACB=90%ZCAB=2ZB,???ZB=302ZCAB=60%???△OCA是等邊三角形,???CD丄AB,/.ZACD+ZCAD=ZCAD+ZABC=90%???ZACD=ZB=30%???PCIIAE八ZPCA=ZCAE=30J??FC=FA,同理，CF=FM/.AM=2CF=2>/3,RtAACM中，易得AC=2>/Jx羋=3=0C,???ZB=ZCAE=30%???ZAOC=ZCOE=60%???ZEOB=60J??ZEAB=ZABC=30%.?.MA二MB,連接OM,EG丄AB交AB于G點，如圖所示，???OA=OB,/.MO丄AB,/.MO=OAxtan305=>/3,???△CDO雯△EDO(AAS),.??EG二CD二ACxsin60g?Q2??同樣，易求=孕，€_60^x32_3/r扇形Boe3602【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形、扇形面積和識圖的能力，綜合性較強，有一定難度，熟練掌握定理并準確識圖是解題的關(guān)鍵.14.如圖所示，MBC內(nèi)接于圓O,CD丄4B于D：（1）如圖1，當為直徑，求證：ZOBC=ZACD；（2）如圖2,當為非直徑的弦，連接0B,則（1）的結(jié)論是否成立？若成立請證明,不成立說明由；（3）如圖3,在（2）的條件下，作AE丄3C于E,交CD于點F,連接ED,且AD=BD+2ED,若DE=3,03=5,求CF的長度.

【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理求出ZACB=90。，求出ZADC=90°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；根據(jù)圓周角定理求出ZB0C=2ZA,求出ZOBC=90°-ZA和ZACD=90°-ZA即可;分別延長AE、CD交OO于H、K,連接HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延長CG交AK于M,延長KO交OO于N,連接CN、AN,求出關(guān)于a的方程，再求出a即可.【詳解】證明：TAB為直徑，???/ACB二90°,???CD丄AB于D,???/ADC=90°,???/OBC+厶=90°,/A+/ACD=90°,???/OBC二/ACD；成立，??OC=OB,/.NOBC=*(180?！猌BOC)=*(180?！?NA)=90?！狽A,??/ADC二90°,???&ACD=90°—/A,???/OBC二/ACD:(3)分別延長AE、CD交OO于H、K,連接HK、CH、AK,??AE丄BC,CD丄BA，???/AEC=/ADC=90。，???4CD+/CFE=90。，^BAH+^DFA=90°,???/CFE=6FA,???^BCD=^BAH,???根據(jù)圓周角定理得：NBAH=NBCH,???^BCD=^BAH=^BCH，???由三角形內(nèi)角和定理得：N"CHE=/CFE,???CH=CF,???EH=EF，同理DF=DK,??DE=3,???HK=2DE=6,在AD上取DG=BD,延長CG交AK于M,則AG二AD—BD=2DE=6,BC=GC,???^MCK二^BCK=^BAK，???/CMK=90。，延長KO交OO于N,連接CN、AN,則NNAK二90。=/CMK,???CM//AN,???^NCK=/ADK=90°,???CN//AG,四邊形CGAN是平行四邊形，?■-AG=CN=6,作OT丄CK于T,則T為CK的中點，TO為KN的中點，???OT=^CN=3,2

??NOTC=90。，OC=5，???由勾股定理得：CT=4,???CK=2CT=8,作直徑HS,連接KS,HK=6,HS=10,???由勾股定理得：KS=8,???tan/HSK=-=tan^HAK,4???tanNEAB=-=tanNBCD,3設(shè)BD=a,CD=3a,???AD二BD+2ED二a+6,DK=-AD=ia+2.3??CD+DK=CK,???3a+-a+2=8,39解得：a=[,TOC\o"1-5"\h\z113???DK=_a+2=—,35???CF=CK-2DK=8-—=竺?55【點睛】本題考查了垂徑定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強，難度偏人?15.點,地,對