探索勾股定理

第2課時(shí)第一章勾股定理

如下圖，分別以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，你能利用這幅圖說(shuō)明勾股定理的正確性嗎？你是如何做的？與同伴交流.獲取新知割補(bǔ)如下圖，分別以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，你能利用這幅圖說(shuō)明勾股定理的正確性嗎？割補(bǔ)ABCD活動(dòng)1：小明的證明思路如下圖，想一想：小明是怎樣對(duì)大正方形進(jìn)行割補(bǔ)的？你能將所有三角形和正方形的面積用a,b,c的關(guān)系式表示出來(lái)嗎？a+b大正方形ABCD的面積可以表示為：

或者

可得等式

畢達(dá)哥拉斯證法你能用右圖驗(yàn)證勾股定理嗎？驗(yàn)證了勾股定理小正方形ABCD的面積可以表示為：

或者

ABCD可得等式

趙爽弦圖你能用右圖驗(yàn)證勾股定理嗎？ABCD也驗(yàn)證了勾股定理利用面積法進(jìn)行證明1876年，美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德（JamesAbramGarfield）利用下圖證明了勾股定理，你能利用它驗(yàn)證勾股定理嗎？說(shuō)一說(shuō)這個(gè)方法和本節(jié)的探索方法的聯(lián)系.美國(guó)總統(tǒng)證法割補(bǔ)法是幾何證明題中常用的方法，要注意這種方法的應(yīng)用.你還能用其他方法證明勾股定理嗎？1.我方偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛.他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，測(cè)得汽車與他相距400m，10s后，汽車與他相距500m，你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎？400m500m思考：1.你能求出BC的長(zhǎng)嗎？你用的是什么方法？2.你能求出汽車的速度嗎？例題精講溫馨提示：勾股定理的應(yīng)用前提是在直角三角形中！400m500m我方偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛.他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，測(cè)得汽車與他相距400m，10s后，汽車與他相距500m，你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎？觀察下圖，判斷圖中三角形的三邊長(zhǎng)是否滿足a2+b2=c2.2.議一議：你是如何求出左側(cè)圖形中每個(gè)正方形的面積的？你得到什么結(jié)論？議一議：結(jié)論1：若鈍角三角形中較長(zhǎng)邊長(zhǎng)為c，較短邊長(zhǎng)為a、b，則a2+b2<c2.S=8

S=9

S=29

你是如何求出右側(cè)圖形中每個(gè)正方形的面積的？你得到什么結(jié)論？議一議：結(jié)論2：若銳角三角形中較長(zhǎng)邊長(zhǎng)為c，較短邊長(zhǎng)為a、b，則a2+b2>c2.S=5

S=8S=9

3.如圖是某沿江地區(qū)交通平面圖，為了加快經(jīng)濟(jì)發(fā)展，該地區(qū)擬修建一條連接M,O,Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建設(shè)成本為5000萬(wàn)元/km，該沿江高速公路的造價(jià)預(yù)計(jì)是多少？30km40km50km120km30km40km50km120km該沿江高速公路的造價(jià)預(yù)計(jì)是多少？怎樣求？1.如圖，高速公路的同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.現(xiàn)要在高速公路上A1、B1之間設(shè)一個(gè)出口P，使A，B兩個(gè)村莊到P的距離之和最短，求這個(gè)最短距離和．隨堂演練解：作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交A1B1于P點(diǎn)，連BP.則AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知P點(diǎn)即為到點(diǎn)A，B距離之和最短的點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BB′于點(diǎn)E，則AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)．由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km，故出口P到A，B兩村莊的最短距離和是10km.變式：如圖，在一條公路上有A、B兩站相距25km，C、D為兩個(gè)小鎮(zhèn)，已知DA⊥AB,CB⊥AB,DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在公路邊上建設(shè)一個(gè)加油站E，使得它到兩鎮(zhèn)的距離相等，請(qǐng)問(wèn)E站應(yīng)建在距A站多遠(yuǎn)處?DAEBC1525-x10探索勾股定理第一章

勾股定理

知識(shí)點(diǎn)1

勾股定理(直角三角形的三邊的關(guān)系)1.若一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,則下列關(guān)于a,b,c的關(guān)系式不正確的是(C)A.b2=c2-a2 B.a2=c2-b2C.b2=a2-c2 D.c2=a2+b2知識(shí)點(diǎn)2

勾股定理的驗(yàn)證3.下面各圖中,不能驗(yàn)證勾股定理的是(C)4.歷史上對(duì)勾股定理的一種證法采用了下面的圖形,其中兩個(gè)全等直角三角形的兩邊AE,EB在一條直線上.證明中用到的面積相等關(guān)系是(D)A.S△EDA=S△CEBB.S△EDA+S△CEB=S△CDEC.S四邊形CDAE=S四邊形CDEBD.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四邊形ABCD知識(shí)點(diǎn)3

勾股定理的實(shí)際應(yīng)用5.甲、乙兩人從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā),甲往北偏東45°方向走了48米,乙往南偏東45°方向走了36米,這時(shí)兩人相距

60

米.

6.數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量旗桿的高度,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段(如圖1).聰明的小紅發(fā)現(xiàn):先測(cè)出垂到地面的繩子長(zhǎng)m,再將繩子拉直(如圖2),測(cè)出繩子末端C到旗桿底部B的距離為n,利用所學(xué)知識(shí)就能求出旗桿的長(zhǎng).若m=2m,n=8m,求旗桿AB的長(zhǎng).7.如圖,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC.若EF=6,則CE2+CF2的值為(D)A.6B.9 C.18 D.368.在Rt△ABC中,∠C=90°,周長(zhǎng)為60,斜邊長(zhǎng)與一條直角邊長(zhǎng)之比為13∶5,則這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是(D)A.25,23,12 B.13,12,5C.10,8,6 D.26,24,109.如圖,若小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,則△ABC中BC邊上的高是(B)A.1.6 B.1.4 C.1.5 D.210.如圖,東西方向上的A,C兩地相距10千米,甲以16千米/時(shí)的速度從A地出發(fā)向正東方向前進(jìn),乙以12千米/時(shí)的速度從C地出發(fā)向正南方向前進(jìn),那么甲、乙兩人相距6千米時(shí),最快需經(jīng)過(guò)(A)11.如圖,四邊形ABCD是正方形,AE⊥BE,且AE=3,BE=4,則陰影部分的面積是

19

.

12.下面是某外輪廓為矩形的機(jī)器零件的平面示意圖,根據(jù)圖中的尺寸(單位:mm),計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為

150

mm.

13.如圖,已知陰影部分是長(zhǎng)方形,則陰影部分的面積是

51

cm2.

14.如圖,已知所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中A,B,C,D四個(gè)小正方形的面積之和等于8,則最大正方形的邊長(zhǎng)為

2

.

15.若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,x,那么以x為邊長(zhǎng)的正方形的面積為

7或25

.

16.如圖所示的是“趙爽弦圖”,其中△ABH,△BCG,△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形,四邊形ABCD和EFGH都是正方形,根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系,可以證明勾股定理.設(shè)AD=c,AE=a,DE=b,取c=10,a-b=2.(1)正方形EFGH的面積為

4

,四個(gè)直角三角形的面積和為

96

;

(2)求(a+b)2的值.17.A,B兩土特產(chǎn)品收購(gòu)站(視為直線)相距25km,C,D為兩村莊(視為兩個(gè)點(diǎn)),DA⊥AB于點(diǎn)A,CB⊥AB于點(diǎn)B.已知DA=15km,CB=10km,現(xiàn)在要再建設(shè)一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E(E與AB在同一條直線上),使得C,D兩村到E站的距離相等,則E站應(yīng)建在距A站多遠(yuǎn)處?解:因?yàn)镃,D兩村到E站的距離相等,所以CE=DE.在Rt△DAE和