第九章解析幾何第九節(jié)直線與圓錐曲線的綜合問題第二課時(shí)最值、范圍、證明問題A級(jí)·基礎(chǔ)過關(guān)|固根基|1.(2019年全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若△POF2為等邊三角形，求橢圓C的離心率；(2)如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．解：(1)連接PF1.由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，故橢圓C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.(2)由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P(x，y)存在當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,2)|y|·2c＝16，eq\f(y,x＋c)·eq\f(y,x－c)＝－1，eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c|y|＝16，①,x2＋y2＝c2，②,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.③))由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq\f(b4,c2).又由①知y2＝eq\f(162,c2)，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq\f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq\r(2).所以當(dāng)b＝4，a≥4eq\r(2)時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P.所以b＝4，a的取值范圍為[4eq\r(2)，＋∞)．2．(2019年浙江卷)如圖，已知點(diǎn)F(1，0)為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)．過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記△AFG，△CQG的面積分別為S1，S2.(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)求eq\f(S1,S2)的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．解：(1)由題意得，eq\f(p,2)＝1，即p＝2，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.(2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t，t≠0，則xA＝t2.由于直線AB過點(diǎn)F，故直線AB的方程為x＝eq\f(t2－1,2t)y＋1，代入y2＝4x，得y2－eq\f(2（t2－1）,t)y－4＝0，故2tyB＝－4，即yB＝－eq\f(2,t)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t2)，－\f(2,t))).又xG＝eq\f(1,3)(xA＋xB＋xC)，yG＝eq\f(1,3)(yA＋yB＋yC)及重心G在x軸上，所以2t－eq\f(2,t)＋yC＝0，得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－t))\s\up12(2)，2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－t))))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t4－2t2＋2,3t2)，0)).所以直線AC的方程為y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1，0)．由于Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故t2>2，從而eq\f(S1,S2)＝eq\f(\f(1,2)|FG|·|yA|,\f(1,2)|QG|·|yC|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2t4－2t2＋2,3t2)－1))·|2t|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t2－1－\f(2t4－2t2＋2,3t2)))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,t)－2t)))＝eq\f(2t4－t2,t4－1)＝2－eq\f(t2－2,t4－1).令m＝t2－2，則m>0，eq\f(S1,S2)＝2－eq\f(m,m2＋4m＋3)＝2－eq\f(1,m＋\f(3,m)＋4)≥2－eq\f(1,2\r(m·\f(3,m))＋4)＝1＋eq\f(\r(3),2).當(dāng)m＝eq\r(3)時(shí)，eq\f(S1,S2)取得最小值1＋eq\f(\r(3),2)，此時(shí)G的坐標(biāo)為(2，0).B級(jí)·素養(yǎng)提升|練能力|3.如圖，P是直線x＝4上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓Γ過定點(diǎn)B(1，0)，直線l是圓Γ在點(diǎn)B處的切線，過A(－1，0)作圓Γ的兩條切線分別與l交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)求證：|EA|＋|EB|為定值；(2)設(shè)直線l交直線x＝4于點(diǎn)Q，證明：|EB|·|FQ|＝|BF|·|EQ|.證明：(1)設(shè)AE切圓于M，直線x＝4與x軸的交點(diǎn)為N，則|EM|＝|EB|，∴|EA|＋|EB|＝|AM|＝eq\r(|AP|2－|PM|2)＝eq\r(|AP|2－|PB|2)＝eq\r(|AN|2－|BN|2)＝4.故|EA|＋|EB|為定值．(2)由(1)同理知|FA|＋|FB|＝4，∴E，F(xiàn)均在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上．由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)直線EF的方程為x＝my＋1(m<0)，令x＝4，得yQ＝eq\f(3,m)，直線EF與橢圓方程聯(lián)立得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，且y1>y2.則y1＋y2＝－eq\f(6m,3m2＋4)，y1y2＝－eq\f(9,3m2＋4).過E作EE′⊥x軸于E′，過F作FF′⊥x軸于F′，則|EE′|＝y(tǒng)1，|FF′|＝－y2，設(shè)PQ交x軸于Q′，則|QQ′|＝－eq\f(3,m).若|EB|·|FQ|＝|BF|·|EQ|，則eq\f(|EB|,|EQ|)＝eq\f(|BF|,|FQ|). ①又E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線上，則eq\f(|EB|,|EQ|)＝eq\f(|EE′|,|QQ′|＋|EE′|)，即eq\f(|EB|,|EQ|)＝eq\f(y1,－\f(3,m)＋y1)； ②eq\f(|BF|,|FQ|)＝eq\f(|FF′|,|QQ′|－|FF′|)，即eq\f(|BF|,|FQ|)＝eq\f(－y2,－\f(3,m)－（－y2）)＝eq\f(－y2,－\f(3,m)＋y2). ③由①②③得，eq\f(y1,－\f(3,m)＋y1)＝eq\f(－y2,－\f(3,m)＋y2)，從而有－y1·eq\f(3,m)＋y1y2＝y(tǒng)2·eq\f(3,m)－y1y2，∴2y1y2＝(y1＋y2)·eq\f(3,m). ④將y1＋y2＝－eq\f(6m,3m2＋4)，y1y2＝－eq\f(9,3m2＋4)代入④，知等式成立，∴|EB|·|FQ|＝|BF|·|EQ|.4．(2020屆四川五校聯(lián)考)已知拋物線E：y2＝8x，直線l：y＝kx－4.(1)若直線l與拋物線E相切，求直線l的方程；(2)設(shè)Q(4，0)，直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若存在點(diǎn)C滿足|eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CQ,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))|，且線段OC與AB互相平分(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求x2的取值范圍．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－4，,y2＝8x))得，k2x2－8(k＋1)x＋16＝0，由題意知k≠0及Δ＝64(k＋1)2－64k2＝0，解得k＝－eq\f(1,2)，所以直線l的方程為y＝－eq\f(1,2)x－4.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－4，,y2＝8x))得k2x2－8(k＋1)x＋16＝0，因?yàn)棣ぃ?4(k＋1)2－64k2＞0，k≠0，所以k＞－eq\f(1,2)，且k≠0，所以x1＋x2＝eq\f(8（k＋1）,k2)，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－8＝eq\f(8,k).因?yàn)榫€段OC與AB互相平分，所以四邊形OACB為平行四邊形，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8（k＋1）,k2)，\f(8,k)))，即Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8（k＋1）,k2)，\f(8,k))).由|eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CQ,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))|得，AC⊥QC，所以kAC·kQC＝－1.又kQC＝eq\f(\f(8,k),\f(8（k＋1）,k2)－4)＝eq\f(2k,2（k＋1）－k2)，kAC＝kOB＝eq\f(y2,x2)＝k－eq\f(4,x2)，所以eq\f(2