1．4兩條直線的交點課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能用自己的語言解釋兩條直線的交點坐標(biāo)與兩條直線的方程之間的關(guān)系，（2）能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標(biāo)，能根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷兩條直線的位置關(guān)系．（1）會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo)．（2）會根據(jù)方程解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系．知識點01直線的交點求兩直線與的交點坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可．若有，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點的坐標(biāo)．知識點詮釋：求兩直線的交點坐標(biāo)實際上就是解方程組，看方程組解的個數(shù)．【即學(xué)即練1】過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程是（

）．A． B．C． D．知識點02過兩條直線交點的直線系方程一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．過兩直線的交點的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個方程中，無論取什么實數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．【即學(xué)即練2】設(shè)直線經(jīng)過和的交點，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為.題型一：求直線的交點例1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線與直線的交點在直線上，則實數(shù)（

）A．4 B．2 C． D．例2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線與直線的交點坐標(biāo)是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)變式1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若點是直線和的公共點，則相異兩點和所確定的直線方程是（）A． B．C． D．變式2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線與直線的交點位于第一象限，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．變式3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點作一條直線，它夾在兩條直線：和：之間的線段恰被點平分，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】判斷兩直線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是看兩直線的方程組成的方程組的解的情況．（1）解方程組的重要思想就是消元，先消去一個變量，代入另外一個方程能解出另一個變量的值．（2）解題過程中注意對其中參數(shù)進(jìn)行分類討論．（3）最后把方程組解的情況還原為直線的位置關(guān)系．題型二：由方程組解的個數(shù)判斷直線的位置關(guān)系例4．（多選題）（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)直線：，：，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，直線與不重合B．當(dāng)時，直線與相交C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，例5．（多選題）（2023·高二課時練習(xí)）若兩條直線與有交點，則該交點坐標(biāo)就是方程組的實數(shù)解，給出以下三種說法：①若方程組無解，則兩直線平行；②若方程組只有一解，則兩直線相交；③若方程組有無數(shù)多解，則兩直線重合．其中說法正確的有（

）A．① B．② C．③ D．以上都不正確例6．（多選題）（2023·全國·高一專題練習(xí)）(多選題)與直線2x－y－3＝0相交的直線方程是（

）A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0變式4．（多選題）（2023·河北邯鄲·高二?？茧A段練習(xí)）已知集合，集合，且，則（

）A．2 B． C． D．變式5．（2023·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谥校懗鍪沟藐P(guān)于的方程組無解的一個的值為.（寫出一個即可）變式6．（2023·高二單元測試）已知直線，是直線l外一點，那么直線（

）A．過點P且與直線l斜交B．過點P且與直線l重合C．過點P且與直線l平行D．過點P且與直線l垂直變式7．（2023·高二課時練習(xí)）曲線與的交點的情況是（

）A．最多有兩個交點 B．兩個交點C．一個交點 D．無交點題型三：由直線交點的個數(shù)求參數(shù)例7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線與直線相交，則實數(shù)k的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．且例8．（2023·湖北武漢·高二華中科技大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點，若直線與線段總有公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若三條直線，與共有兩個交點，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1變式8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線與射線恒有公共點，則m的取值范圍是（）A． B．C． D．變式9．（2023·安徽合肥·高二合肥一六八中學(xué)?？计谥校┮阎€段AB兩端點的坐標(biāo)分別為和，若直線與線段AB有交點，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型四：由直線交點坐標(biāo)求參數(shù)例10．（2023·高二課時練習(xí)）若三直線：，：，：經(jīng)過同一個點，則例11．（2023·全國·高二課堂例題）若直線與直線的交點在直線上，則k的值為．例12．（2023·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）若三條直線，，將平面劃分成6個部分，則實數(shù)的取值集合為.變式10．（2023·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知直線：與：相交于點，則.變式11．（2023·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習(xí)）若直線與直線垂直于點，則．變式12．（2023·河北保定·高二河北省唐縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎獌芍本€，．若直線與，不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)．變式13．（2023·黑龍江雞西·高二?？茧A段練習(xí)）已知三條直線，，相交于一點，則k的值為．變式14．（2023·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線和交于一點，則m的值為.題型五：三線能否圍成三角形問題例13．（2023·江蘇徐州·高二徐州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a為實數(shù)，若三條直線，和不能圍成三角形，則a的值為．例14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線.(1)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，的面積為S(O為坐標(biāo)原點)，求S的最小值和此時直線l的方程.例15．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)?？计谥校┲本€l經(jīng)過兩條直線和的交點P，且直線l在x軸上的截距為．(1)求直線l的方程；(2)求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．變式15．（2023·重慶江北·高二重慶十八中校考階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，為坐標(biāo)原點，點在軸正半軸上，點在第一象限內(nèi)，.(1)若過點，且直線的斜率為，求△的面積（用含的式子表示并寫出的取值范圍）；(2)設(shè)，，若，求證：直線過一定點，并求出此定點坐標(biāo).變式16．（2023·遼寧沈陽·高二新民市第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）求適合下列條件的直線方程：(1)已知，，，求△ABC的BC邊上的中線所在的直線方程；(2)直線過點，且與軸和直線圍成的三角形的面積為2，求直線的方程．變式17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知直線，直線，直線．(1)若與的傾斜角互補(bǔ)，求m的值；(2)當(dāng)m為何值時，三條直線能圍成一個直角三角形．變式18．（2023·上海徐匯·高二上海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線l的方程為.(1)證明：無論m為何值，直線l恒過定點，并求出定點的坐標(biāo)；(2)若直線l與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，是否存在直線l使得的面積為9.若存在，求出直線l的方程；若不存，請說明理由.變式19．（2023·湖北黃石·高二大冶市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線過點且與軸、軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標(biāo)原點，（1）求三角形面積取最小值時直線的方程；（2）求取最小值時直線的方程．變式20．（2023·高一課時練習(xí)）已知三條直線，求m的值，使它分別滿足以下條件：(1)交于同一點；(2)不能圍成三角形.題型六：直線交點系方程例16．（2023·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W(xué)?？计谀┻^兩直線和的交點和原點的直線方程為（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0例17．（2023·高二課時練習(xí)）過直線與的交點，與直線平行的直線方程為（

）A． B．C． D．例18．（2023·高二課時練習(xí)）經(jīng)過點和兩直線；交點的直線方程為.變式21．（2023·全國·高二課堂例題）若直線l經(jīng)過兩直線和的交點，且斜率為，則直線l的方程為．變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為.【方法技巧與總結(jié)】過兩條相交直線，交點的直線方程可設(shè)為不含直線．一、單選題1．（2023·河南信陽·高二潢川縣高級中學(xué)（河南省潢川高級中學(xué)）?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉1765在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點分別為，則的歐拉線方程是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線平行的直線的方程為（

）A． B．C． D．3．（2023·廣東廣州·高二廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考期末）過點引直線，使，兩點到直線的距離相等，則這條直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或4．（2023·高二課時練習(xí)）已知，，若直線與線段有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2023·山東濟(jì)南·高二統(tǒng)考期中）一條沿直線傳播的光線經(jīng)過點和，然后被直線反射，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．6．（2023·河南周口·高二校考階段練習(xí)）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．7．（2023·高二校聯(lián)考課時練習(xí)）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于：和：的交點情況是（

）A．存在、、使之無交點B．存在、、使之有無窮多交點C．無論、、如何，總是無交點D．無論、、如何，總是唯一交點8．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為菱形，，，，則對角線交點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·高二課時練習(xí)）已知直線與，則下列說法正確的是（

）A．與的交點坐標(biāo)是B．過與的交點且與垂直的直線的方程為C．，與x軸圍成的三角形的面積是D．的傾斜角是銳角10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知平面上三條直線，，，若這三條直線將平面分為六部分，則的可能取值為（

）A．-2 B．-1 C．0 D．111．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)的取值為（

）A． B． C． D．612．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖所示，邊長為的等邊從起始位置（與軸重合）繞著點順時針旋轉(zhuǎn)至與軸重合得到，在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（

）A．邊所在直線的斜率的取值范圍是B．邊所在直線在軸上截距的取值范圍是C．邊與邊所在直線的交點為D．當(dāng)?shù)闹写咕€為時，三、填空題13．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）在中，的內(nèi)角平分線方程為，，，則角的正切值為．14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知的頂點，AC邊上的高BC所在的直線方程為，則頂點C的坐標(biāo)為.15．（2023·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則點坐標(biāo)為.16．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二校考期中）已知某等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點是該等腰三角形底邊的中點，則底邊所在直線的方程為．四、解答題17．（2023·高二單元測試）已知直線的方程為，若在軸上