2.5全等三角形第2章三角形第6課時

全等三角形的性質和判定的應用

如圖，要證明△ACE≌△BDF，根據給定的條件和指明的依據，將應當添設的條件填在橫線上.(1)

AC∥BD，CE

=

DF，

.(SAS)(2)AC

=

BD，AC∥BD，__________.(ASA)(3)CE=DF，

，

.(SSS)CBAEFDAC=BD∠A=∠BAC=BDAE=

BFABCA′B′C′探究活動1：AAA

能否判定兩個三角形全等？結論：三個內角對應相等的三角形不一定全等.全等三角形成立的條件想一想：

如圖，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC.固定住長木棍，轉動短木棍，得到△ABD.這個實驗說明了什么？B

A

CD△ABC和△ABD滿足AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但它們并不全等.探究活動2：SSA能否判定兩個三角形全等?畫一畫：畫△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5cm，AC=DF=3cm.觀察所得的兩個三角形是否全等？

有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.結論ABC30°DEF1F230°3cm3cm點擊畫法開始播放→視頻：邊邊角例1

下列條件中，不能證明△ABC≌△DEF

的是()典例精析A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：根據兩邊一角分別相等判斷三角形全等時，應看所給出的相等角是不是這兩邊的夾角，只有選項C的條件不符合.C

判斷三角形全等時，注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等．解題時要根據已知條件的位置來考慮，只具備SSA時是不能判定三角形全等的．方法總結

如圖，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的邊或角（見下表），請再補充適當?shù)臈l件，從而能運用已學的判定方法來判定△ABC≌△DEC.已知條件補充條件判定方法AC=DC，∠A=∠DSAS∠A=∠D，AB=DEASA∠A=∠D，AB=DEAASAC=DC，AB=DESSSAB=DE∠B=∠E∠ACB=∠DCEBC=EC練一練例2

已知：如圖，AB=CD，BC=DA，E，F(xiàn)是

AC上的兩點，且

AE=CF.求證：BF=DE.證明：在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA(SSS).∴∠BCF=∠DAE.AB=CD，BC=DA，AC=CA(公共邊)，在△BCF和△DAE中，∴△BCF≌△DAE(SAS).∴BF=DE.BC=DA，∠BCF=∠DAE，CF=AE，全等三角形的判定與性質的綜合運用例3

如圖，在四邊形

ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E為

AC上的一動點(不與

A重合)，在點

E移動的過程中

BE和

DE是否相等？若相等，請寫出證明過程；若不相等，請說明理由．解：相等．理由如下：在△ABC和△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE.在△ADE和△ABE中，AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，∴△ADE≌△ABE(SAS).∴BE＝DE.

本題考查了全等三角形的判定和性質，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．本題要特別注意“SSA”不能作為三角形全等的證明依據使用．方法總結例4

如圖，已知

CA

=

CB，AD

=

BD，M，N

分別是

CA，CB

的中點，求證：DM

=

DN.在△ABD與△CBD中，證明：CA=CB(已知)，AD=BD(已知)，CD=CD(公共邊)，∴△ACD≌△BCD(SSS).連接

CD，如圖所示.∴∠A=∠B.又∵M，N

分別是

CA，CB

的中點，∴AM=BN.NABDCM在△AMD與△BND中，AM=BN(已證)，∠A=∠B(已證)，AD=BD(已知)，∴△AMD≌△BND(SAS).∴DM=DN.NABDCM例5

某地在山區(qū)修建高速公路時需挖通一條隧道．為估測這條隧道的長度，需測出這座山

A，B

間的距離，結合所學知識，你能給出什么好方法嗎？在△AOB與△A′OB′中，OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′，OB=

OB′，∴△AOB≌△A′OB′(SAS)．解：選擇適當?shù)牡攸c

O，連接

AO并延長至

A′，使

OA′=OA；連接

BO并延長至

B′，使

OB′=OB，連接

A′B′，如圖．∴AB=A′B′．故測量

A′B′的長即可.1.如圖，已知

AC=DB，∠ACB=∠DBC，則有

△ABC≌△

，理由是

，且有∠ABC=∠

，AB=

.ABCDDCBSASDCBDC2.已知：如圖，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，

試說明：BD=CD.解：∵

AD

是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD

∴△ABD≌△ACD(SAS).(已知)，(公共邊)，(已證)，∴BD=CD.已知：如圖，AB=AC，BD=CD，試說明：∠BAD=∠CAD.變式1解：∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SSS).AB=ACBD=CDAD=AD

(已知)，(公共邊)，(已知)，已知：如圖，AB=AC，BD=CD，E為

AD上一點.試說明：BE=CE.變式2解：∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中，∵

AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴

BE=CE.在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CADAE=AE

(已知)，(公共邊)，(已證)，∴△ABD≌△ACD(SSS).∴△ABE≌△ACE(SAS).3.

如圖，CD⊥AB于D點，BE⊥AC于E點，BE，CD交于O點，且AO平分∠BAC.求證：OB＝OC.證明：∵

BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠B+∠BOD＝∠C+∠COE＝90°.∵∠BOD＝∠COE，∴∠B＝∠C.又∵

AO

平分∠BAC，∴∠1＝∠2.在△AOB

和△AO