第一管理資源網(wǎng)免費管理資料下載基地第一管理資源網(wǎng)免費管理資料下載基地授課目錄導論統(tǒng)計資料的整理與描述機率導論常用的機率分布與統(tǒng)計分布描樣方法與描樣分布統(tǒng)計估計統(tǒng)計檢定變異數(shù)分析相關分析與回歸模式無母數(shù)統(tǒng)計檢定類別數(shù)據(jù)分析---列聯(lián)表與卡方檢定第四章第四章常用的機率分佈與統(tǒng)計分佈 一組樣本數(shù)據(jù)常呈現(xiàn)某種特殊型式的機率分配。當獲得母體的樣本數(shù)據(jù)時，須從各種機率分布當中，選擇出最接近該母體的機率分布，使樣本數(shù)據(jù)與母體參數(shù)有最佳的推論與檢定能力。 常用的機率分布有：離散型與連續(xù)型二大類。4.1離散型機率分布離散型機率分布(p)---常見有二項分布、卜氏分布、離散型均勻分布、超幾何分布。若一隨機實驗只有成功和失敗兩種結果，事件成功發(fā)生的機率為p，事件失敗發(fā)生的機率為1-p。令隨機變量x=1代表成功的事件，x=0代表失敗的事件，此稱隨機變量X服從白努利分布(BernoulliDistribution)。x10P(x)p1-pE[X]1′p0′(1-p)V[X]=E[X2]-(E[X])2p(1-p)p(x)=P(X=x)=px(1-p)1-x二項分布(Binomial)---執(zhí)行n次白努利隨機試驗，事件成功發(fā)生的機率為p，事件失敗發(fā)生的機率為1-p。通常以隨機變量X~B(n,p)表示。其機率密度函數(shù)與累積分布函數(shù)為： p(x)=C(n,x)px(1-p)n-x x=0,1,…,n (4.1) F(x)=?xk=0C(n,k)pk(1-p)n-k (4.2)其期望值與變異數(shù)為： E[X]=np V[X]=np(1-p)◎二項式分布當n很大或p接近0.5時呈常態(tài)分布，◎np接近1TPeakOut，p<0.5T右偏，p>0.5T左偏 Excel:pp.99-100,BernoulliDistribution pp.101-110,BinomialDistribution范例、致遠管理學院約有40%的學生喜歡打籃球，茲隨機機訪問1個學生，試問(a)此學生喜歡打籃球的期望值與變異數(shù)?(b)隨機機訪問5個學生，此5個均喜歡打籃球的期望值與變異數(shù)?有2個均喜歡打籃球的期望值與變異數(shù)?至少有3個喜歡打籃球的期望值與變異數(shù)?SOL：公式、查表、Excel(binomdist(x,n,p,true))(a)令隨機變量X代表喜歡棒與否，則(注意:N/Y)E[X]=p=0.4V[X]=p(1-p)=0.24(b)令隨機變量X代表喜歡棒的人數(shù)，則(注意:人數(shù))E[X]=np=5*0.4=2V[X]=np(1-p)=1.2 P(X=2)=C(5,2)(0.4)2(0.6)3=0.346 /binomdist(2,5,0.4,false)/ P(X33)=1-P(X￡2)=0.317 /1-binomdist(2,5,0.4,true)/范例、工管系期末考統(tǒng)計學出20題選擇題(4選1)，每題5分。某學生采完全以猜的方式作答，試問(a)此學生答對數(shù)的期望值與變異數(shù)?(b)此學生期末考統(tǒng)計學分數(shù)的期望值與變異數(shù)?(c)此學生考及格的機率?(d)此學生最多考40分的機率?SOL：公式、查表、Excel(a)令隨機變量X代表此學生答對題數(shù)，則(注意:題數(shù))E[X]=np=20*1/4=5V[X]=np(1-p)=3.75 (b)分數(shù)期望值(注意:分數(shù))E[5X]=5E[X]=25V[5X]=25*3.75=93.75 (c)此學生須答對12題以上才能及格，因此， P(X312)=1-P(X<12)=0.0009 /1-binomdist(11,20,0.25,true)/ (d)P(X￡8)=0.9591 /binomdist(8,20,0.25,true)/ (2)卜氏分布(Poisson)---在一個單位時段或區(qū)域內，某事件發(fā)生的次數(shù)。通常以隨機變數(shù)X~Poi(m)表示。其機率密度函數(shù)與累積分配函數(shù)為：p(x)=e-mmx/x! x=0,1,… (4.3)F(x)=?xk=0e-mmk/k! (4.4)其期望值與變異數(shù)為： E[X]=m V[X]=m離散型隨機變量X具有卜氏分配時，有下列特性每一個時段或區(qū)域內事件的發(fā)生皆是相互獨立。在一固定時段內，事件發(fā)生的機率p均相同。卜氏分配可由n很大時的二項分配逼近 limx?￥C(n,x)px(1-p)n-x=e-mmx/x! 范例、6月至9月為臺灣臺風季節(jié)，中央氣象局統(tǒng)計資料指出，臺灣每年有5個臺風過境，(a)今年臺灣沒有臺風過境之機率?(b)將有5個臺風過境之機率?(c)超過7個以上臺風過境之機率?SOL：公式、查表、Excel令隨機變量X代表每年臺風過境臺灣次數(shù)，則X~Poi(m) X~Poi(5)P(x=0)=e-mmx/x!=0.0067 /=poisson(0,5,false)/P(x=5)=e-mmx/x!=0.1755 /=poisson(5,5,false)/P(x37)=1-P(X￡6)=0.2378 /1-poisson(6,5,true)/ 范例、青輔會數(shù)據(jù)顯示，臺灣大約有2%的成年人具有碩士以上的學歷。茲由全臺成年人中，隨機抽取100人，其中洽3人具有碩士以上的學歷之機率?SOL：公式、查表、Excel(比較二項與卜氏分配)令隨機變量X代表擁有碩士以上學歷人數(shù)，則依二項分配的定義，X~B(100,0.02)，即P(x=3)=C(100,3)(0.02)3(0.98)97=0.1823 /=binomdist(3,100,0.02,false)/ 若依卜氏分配，X~Poi(m)，m=np=2，X~Poi(2)P(x=3)=e-mmx/x!=0.1804 /=poisson(3,0.02,false)/(3)離散型均勻分配(DiscreteUniform)---樣本空間有N個相異的元素，{1,2,3,…,N}。且此N個元素被抽中的機會皆均等。通常以隨機變量X~DU(N)表示。其機率密度函數(shù)與累積分配函數(shù)為：p(x)=1/N x=1,2,…,N (4.5)F(x)=x/Nx=1,2,…,N (4.6)其期望值與變異數(shù)為：E[X]=(N+1)/2 V[X]=(N2-1)/12范例、擲骰子1次，則擲出點數(shù)(X)的期望值與變異數(shù)?x123456P(x)1/61/61/61/61/61/6p(x)1/6E[X]1/62/63/64/65/66/67/2V[X]E[X2]-(E[X])2=91/6–49/4=35/12(4)超幾何分配(Hypergeometric)---若母體內含有N個元素，此N個元素分成兩類，其中具某種特性者屬一類共有M個，另外N-M個不具某種特性，屬另一類。通常以隨機變量X~HG(N,M,n)表示。其機率密度函數(shù)為：p(x)=C(M,x)C(N-M,n-x)/C(N,n) x=0,1,…,norp(x)=C(np,x)C(N-np,n-x)/C(N,n)p=M/N=constant (4.7)其期望值與變異數(shù)為： E[X]=n(M/N) V[X]=n(M/N)(1-M/N)[(N-n)/(N-1)]在二項分配中，每一次的試驗都是互相獨立的，而超幾何分配則互相影響。即二項分配是『歸還』特性；超幾何分配是『不歸還』特性。如無限的母體，即N?￥時，超幾何分配可視為二項分配。因為母體相當大，隨機抽取有限個樣本，并不足以影響母體。limx?￥C(M,x)C(N-M,n-x)/C(N,n)=C(n,x)px(1-p)n-x wherep=M/N=constant二項分配使用時機：卜氏分配使用時機：(1)N/n310(1)N/n310(2)p=const.(2)n316(3)p￡0.1不屬上述條件者，則使用超幾何機率分配。范例、工管系欲選派4位學生參加統(tǒng)計學校外競賽。茲有20位實力相當學生報名，其中男生有5位、女生有15位。最后決定以抽簽方式選取，試問選派4位參加統(tǒng)計學校外競賽者中，抽出2位男生之機率?(a)采取出放回(b)采取出不放回。SOL：公式、查表、Excel(比較二項與超幾何分配)令隨機變量X代表抽出4位參賽者中男生之個數(shù)，則(a)取出放回，依二項分配的定義，X~B(100,0.02)，即P(x=2)=C(4,2)(0.25)2(0.75)2=0.2109 /=binomdist(2,4,0.25,false)/ (b)取出不放回，X~HG(N,M,n)=H(20,5,4)P(x=2)=0.2167 /=hypgeomdist(2,4,5,20)//=hypgeomdist(x,n,M,N)/ /=binomdist(x,n,p,false)//=poisson(x,np,false)/4.2連續(xù)型機率分配---常見有：(1)連續(xù)型均勻分配(ContinuousUniform)在隨機變量X所屬的區(qū)域內，機率值是均勻分配的(固定值)。通常以X~U(a,b)表示。其機率密度函數(shù)與累積分配函數(shù)為： f(x)=1/(b-a),x?(a,b) (4.8) =0,OtherwiseF(x)=(x-a)/(b-a)，x?(a,b) (4.9)其期望值與變異數(shù)為： E[X]=(a+b)/2 V[X]=(b-a)2/12范例、隨機變量X代表致遠站---臺南站間隔發(fā)車時間，滿足X~U(3,7)。求f(x)、F(x)、E[X]與V[X]？SOL： (a) f(x)=1/4； F(x)=(x-3)/4 (b)E[X]=5； V[X]=4/3(2)指數(shù)分配(Exponential)主要用于間隔或等待時間。通常以隨機變數(shù)X~Exp(l)表示。其中l(wèi)為事件發(fā)生的平均時間。其機率密度函數(shù)與累積分配函數(shù)為：f(x)=e-x/l/l, x>0 (4.10) F(x)=1-e-x/l (4.11) 其期望值與變異數(shù)為： E[X]=l V[X]=l2 范例、工管系舉行迎新烤肉活動，地點是曾文水庫。歸來時大家快樂的走到候車亭等往麻豆的臺南客運。不巧，同學們剛到候車亭時，車子正好剛開走?？禈饭砷L看看站牌上寫著：往麻豆班車平均每20分鐘開一班。(a)同學們最多再等10分鐘之機率?(b)超過30分鐘之機率?SOL：公式、查表、Excel令隨機變量X代表臺南客運到達時間間距，X~Exp(l)=Exp(20)，則(a)F(x)=P(x￡10)=0.39 /=expondist(10,1/20,true)/ (b)P(x>30)=0.2231 /=1-expondist(30,1/20,true)/(3)常態(tài)分配(Normal)應用最廣的機率分配，其貼切地模式化或描述很多自然現(xiàn)象或社會科學實例。通常以隨機變數(shù)X~N(m,s2)表示。其機率密度函數(shù)與累積分配函數(shù)為： -￥<m<￥, s>0 (4.12) (4.13)其期望值與變異數(shù)為：E[X]=m V[X]=s2 常態(tài)分配具有以下各項特性：是一以平均值m為中心線，呈左右對稱鐘狀圖形的分配。s愈大，分配偏離中心m愈遠，曲線圖愈平緩。母體的平均值、眾數(shù)、中位數(shù)均相同值。機率分配函數(shù)圖形向曲線中心的兩端延伸，該漸趨近橫軸(即機率函數(shù)值遞減)。通常將其X~N(m,s2)標準化。標準化過程是令Z=(X-m)/s 則Z~N(0,1)，又稱Z分配。標準常態(tài)機率密度函數(shù), -￥<x<￥ (4.14)標準常態(tài)分配之期望值與變異數(shù)為： E[X]=0, V[X]=1 范例、工管系期末考統(tǒng)計學成績，經(jīng)整理得知具有N(50,16)，試問成績于50~60的人數(shù)，大概占所有參加考試人數(shù)的比例為多少?公式、查表、ExcelSOL：令隨機變量X代表考試成績，其具有N(50,16)，則P(50￡X￡60)=P[(50-50)/4￡(x-50)/4￡(60-50)/4]=0.494 /=normdist(60,50,4,true)-normdist(50,50,4,true)/范例、工管系某品管實驗，經(jīng)整理資料得知具有N(0.3,0.012)，老師規(guī)定此實驗規(guī)格應為0.3±0.02之間才合格。試問此實驗不合格的比率有多少?SOL：公式、查表、Excel令隨機變量X代表實驗數(shù)據(jù)，其具有N(0.3,0.012)，則P(0.28￡x￡0.32)=P[(0.28-0.3)/0.01￡(x-0.3)/0.01￡(0.32-0.3)/0.01]=0.9544/=normdist(0.32,0.3,0.01,true)-normdist(0.28,0.3,0.01,true)/(4)伽瑪分配GammaDistribution如隨機變量X，具有以下的機率密度函數(shù)，則該分配稱之為伽瑪分配： (4.15) 其中a、b是伽瑪分配的參數(shù)，其值均大于0。WherethegammafunctionGisdefinedas:T伽瑪函數(shù)將被運用到數(shù)個統(tǒng)計量分配---Chi-Square,t,FDistribution。4.3常用的統(tǒng)計分配母體母體樣本分配、參數(shù)統(tǒng)計量隨機抽取推論檢定計算描述 如何將樣本數(shù)據(jù){x1,x2,…,xn}推估母體參數(shù)(m,s2)，此種由抽樣資料推論母體的長像，統(tǒng)計上稱為統(tǒng)計推論。為了推論母體所服從的機率分配，即推論該機率分配的母體(m,s2)。從母體中抽取數(shù)個樣本，利用這些樣本組成所謂的樣本統(tǒng)計量，而樣本統(tǒng)計量所服從的機率分配則稱之為統(tǒng)計分配，亦稱抽樣分配(SamplingDistribution)。常用的統(tǒng)計分配有常態(tài)分配，t分配，卡方分配，F(xiàn)分配等。 統(tǒng)計推論的目的系利用樣本里的信息對母體作結論，所采之方法為隨機樣本，即倘母體有N個元素而抽出n個樣本，所有的C(N,n)個可能樣本中的每一個被選中的機率均相等，亦稱隨機抽樣(RandomSampling)。樣本統(tǒng)計量：集中趨勢統(tǒng)計量---平均數(shù)。離散趨勢統(tǒng)計量---變異數(shù)與標準偏差等。=(x1+x2+…+xn)/n=(?ni=1xi)/nS2=[?ni=1(xi-)2]/(n-1)， ([?ni=1(xi-)2]：SumSquare)常用統(tǒng)計分配：(1)常態(tài)分配上述已定義過常態(tài)分配，主要是用來說明隨機變量的分布狀況。而在統(tǒng)計應用上，常態(tài)分配是用來推論與檢定母體的特征值。如，以樣本平均值去推論m，『其中的統(tǒng)計分配即常態(tài)分配』。大數(shù)法則 從同一母體隨機抽取出n個樣本，當n很大時，則由樣本算出的樣本平均值會接近母體平均數(shù)，即 ?(n?￥)?m (E[]=m)中央極限定理19世紀法國學數(shù)家PierreSimondeLaplace(1749-1827)所提出。他是從觀察到『量測誤差有常態(tài)分配的趨向』而得到此定理?！簶颖酒骄鶖?shù)大都趨近于常態(tài)分配』。中央極限定理的精神：從『任何以期望值m，變異數(shù)s2的母體中』，隨機抽出n個樣本{x1,x2,…,xn}且x=x1+x2+…+xn，則樣本平均值將會趨近于標準常態(tài)分配。 (4.16)其中s/n1/2稱之為標準誤(StandardError)；s2/n變異誤(ErrorVariance)。范例、致遠管理學院女學生平均身高為160cm，標準偏差為9cm；茲隨機抽取36位女學生，試問平均身高大于160cm而小于162cm的機率有多少? 公式、查表、ExcelSOL：令隨機變數(shù)代表隨機抽取36位的平均身高，即=160, s/n1/2=9/(36)1/2=1.5，則P(160￡￡162)=P[(160-160)/1.5￡(-160)/1.5￡(162-160)/1.5]=0.4082/=normdist(162,160,1.5,true)-normdist(160,160,1.5,true)/范例、致遠管理學院學生選修『科技與人生』人數(shù)服從二項分配B(n,p=0.07)，為了避免選修該課程的人數(shù)過多，影響教學質量，倘選修的人數(shù)超過80人則開2班上課。試問本學期有1000人可選此門課，則此門課開2班上課的機率有多少?公式、查表、ExcelSOL：令隨機變量X代表選修該課程的學生人數(shù)，則 P(X380)=1-binomdist(79,1000,0.07,true)=0.1207另應用中央極限定理，因E[X]=np=70、V[X]=np(1-p)=65.1，則 P(X380)=P[(X-70)/(65.1)1/23(80-70)/(65.1)1/2]=0.1075(2)卡方分配(Chi-Square)一個可用『常態(tài)隨機變量』來定義的重要的抽樣分配就是卡方分配(c2)。倘z1,z2,…,zk為k個獨立且相同分配的常態(tài)隨機變量，期望值0且變異數(shù)1，簡記為NID(0,1)(NormallyandIndependentlyDistribution)，隨機變數(shù)x=z12+z22+…+zk2，即會依循自由度為k的卡方分配，其機率密度函數(shù)。通常以隨機變數(shù)X~c2k表示?？ǚ綑C率密度函數(shù)，0￡x<￥ (4.17)ThegammafunctionGisdefinedas:其期望值與變異數(shù)為：E[X]=k V[X]=2k卡方分配是不對稱的統(tǒng)計分配，其對應的機率分配隨著自由度k而有所不同。假設{x1,x2,…,xn}是一個來自N(m,s2)分配的隨機樣本。則其平方和除以s2后就依循卡方分配。SS/s2=[?ni=1(xi-)2]/s2=c2n-1 另S2=[?ni=1(xi-)2]/(n-1)=SS/(n-1)=[s2/(n-1)]c2n-1 S2的分配為[s2/(n-1)]c2n-1。故樣本變異數(shù)的抽樣分配為一個常數(shù)乘以卡方分配。[如下圖，卡方分配(k=1,5,15)] 假設隨機變量X~c2n-1，定義c2a,n-1為自由度(n-1)之卡方分配其右邊(累積)機率等于a的臨界值，即P(X3c2n-1)=a，則P(X3c21-a/2,n-1)=1-a/2， 及 P(c21-a/2,n-1￡X￡c2a/2,n-1)=1-a a=0.1，a/2=0.05，c2a/2=c20.05，c21-a/2=c20.95倘P(X3c21-a/2,n-1)=1-a/2， P(c1-a/2,n-12￡X￡ca/2,n-12)=1-acc20.95c20.05c20.95 請查表c20.975,4，c20.95,13，c20.01,4，c20.10,13。 /=chiinv(0.975,4)/，/=chiinv(0.95,13)/ /=chiinv(0.01,4)/，/=chiinv(0.10,13)/c20.1,6=10.6446 c20.05,10=18.3070(3)t分配(Student)倘z與c2k分別為獨立標準常態(tài)NID(0,1)與卡方分配，則隨機變數(shù)tk=z/(c2k/k)1/2 (4.18)依循k個自由度的t分配，通常以t~tk表示。t機率密度函數(shù)，-￥<x<￥(4.19)其期望值與變異數(shù)為：E[X]=0， V[X]=k/(k-2) t分配與標準常態(tài)分配類似，其對應的機率分配皆對稱于原點，尤其當樣本數(shù)n愈大時，t分配機率分配情形愈趨近于標準常態(tài)分配。假設{x1,x2,…,xn}是一個來自N(m,s2)分配的隨機樣本，則~tn-1 (4.20) t分配最早由W.S.Gosset所發(fā)現(xiàn)，因故用Student的筆名發(fā)表，又稱Student的t分配。[如下圖，t分配(k=1,10,100)]假設隨機變量X~tn-1，定義tn-1為自由度(n-1)之t分配其右邊(累積)機率等于a的臨界值，即P(X3tn-1)=a，則P(X3ta/2,n-1)=a/2， 及 P(-ta/2,n-1￡X￡ta/2,n-1)=1-a a=0.1，a/2=0.05， ta/2=t0.05=-t0.05，倘P(X3ta/2,n-1)=a/2， P(-ta/2,n-1￡X￡ta/2,n-1)=1-att0.05-t0.05t0.05 請查表t0.1,4，t0.05,13，t0.01,4，t0.025,13。 /=tinv(0.1*2,4)/，/=tinv(0.05*2,13)/ /=tinv(0.01*2,4)/，/=tinv(0.025*2,13)/ /t0.1,5=1.476/，/t0.05,10=1.812/(4)F分配倘c2u與c2v分別為二個獨立卡方分配，則隨機變量Fu,v=(c2u/u)/(c2v/v) (4.21)依循分子u個自由度、分母v個自由度的F分配，通常以F~Fu,v表示。F機率密度函數(shù)，0<x<￥ (4.22)其期望值與變異數(shù)為：2v2(u+v-2)/[u(v-2)2(v-4)]E[X]=u/(v-2),v>2； V[X]=2v2(u+v-2)/[u(v-2)2(v-4)]假設分別來自二個不同母體的隨機樣本，各取樣本n1,n2，其各別樣本變異為S21與S22則 [如下圖，F(xiàn)分配(u=4,v=10,30;u=10,v=10,30)]假設隨機變量X~，定義為自由度(n1-1,n2-1)之F分配其右邊(累積)機率等于a的臨界值，即P(X3)=a，則P(X3)=a，另 請查表F0.1,4,10，F(xiàn)0.9,10,4，F(xiàn)0.025,4,10，F(xiàn)0.975,10,4。 /=finv(0.1,4,10)/，/=finv(0.9,10,4)/ /=finv(0.025,4,10)/，/finv(0.975,10,4)//F0.1,4,10=2.61/，/F0.9,10,4=0.383828/，(2.61=1/0.383828)/F0.025,10,8=4.30/習題一假設X～B(4,0,2)，求(A)P(X=2)=C(4,2)(0.2)2(0.8)2=0.1536(B)P(x≧2)=?4x=2C(4,x)(0.2)x(0.8)4-x=0.1808(C)P(x≦2)=?2x=0C(4,x)(0.2)x(0.8)4-x=0.9728(D)E[X]=np=0.8(E)Var[X]=np(1-p)=0.64。若每一個燈炮之壽命大于5小時之機率為0.135，現(xiàn)在隨機抽取3個燈炮。試求(A)至少有一個燈炮壽命大于5小時之機率?P(x≧1)=1-p(x=0)=1-(1-0.135)3=0.303；(B)令隨機變量X代表3個燈炮中壽命大于5小時之燈炮個數(shù)，求E[X]=np=3*0.135=0.405及Var[X]==np(1-p)=0.35。前往百貨公司某柜員機結賬的顧客人數(shù)呈卜氏分配，平均每小時有8位顧客前去結賬。則在8：00～9：00p.m.的時段之間，求(A)剛好有8位顧客結賬的機率P(x=8)=(e-888/8!)=0.14。(B)結賬的顧客不超過2位的機率P(x≦2)=P(x=0,1,2)=0.0138。4.現(xiàn)有10支燈管，其中3支是損壞的，以不放回的方式從中抽取5支燈管來檢查，請問：(A)5支燈管全是好的機率；(B)最多有2支燈管損壞的機率。5.假設隨機變量X具有期望值為μ常態(tài)分配，則P(X<μ)=1/26.假設隨機變量具有平均數(shù)500，變異數(shù)100的常態(tài)分配，求P(475≦X≦500)=0.4938。7.某腳踏車制造產量大約服從μ=200，σ=40的常態(tài)分配，則求(A)產量大于250輛之機率=0.105；(B)產量大于200輛且小于250輛之機率=0.394。8.有一群臺灣學生想要申請國外企管研究所(MBA)入學，這群學生的托福(TOFEL)成績服從μ=450、σ=36的常態(tài)分配。(A)令隨機變量X代表某學生之成績，試求P(425≦X≦525)=0.736(B)若要進入伊利諾大學企管所，540是最低標準分數(shù)，則在這群50名學生中，有多少學生符合此項標準=0。9.分別求出以下各隨機變量X的期望值與變異數(shù)(A)白努利分配，X～B(p)，E[X]=p，Var[X]=p(1-p)(B)卜氏分配，X～Poi(μ)，E[X]=μ，Var[X]=μ(C)指數(shù)分配，X～Exp(λ)，E[X]=1/λ，Var[X]=1/λ2。10.試由查表求出下列的臨界值：(A)c20.01(12)=26.21(B)c20.05(6)=12.59(C)t0.01(10)=2.76(D)t0.05(5)=2.01(E)F0.01(7,15)=4.14(F)F0.05(15,6)=3.94。11.隨機變量X代表櫻桃甜點所含的櫻桃數(shù)，其機率分配如下：X5678P(X=x)0.30.40.20.1試求隨機變量X的期望值與變異數(shù)。E[X]=6.1，Var[X]=0.86。12.投擲一公正銅板100次，令Y表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，則Y～B(100,0.5)，請利用中央極限定理求取P(50<Y<75)之值。 E[Y]=np=100*1/2=50，Var[Y]=np(1-p)=100*1/2*1/2=25P(50<Y<75)=P[(50-50)/5<(Y-50)/5<(75-50)/5)]=0.5習題二1.下述樣本(1.75，1.75，1.75，1.75，1.75，1.75)的標準偏差為何(0)。2.丟二個銅板，若正面為1，反面為0，請完成下表，求變異數(shù)值V[x]=1.5。隨機變數(shù)xp(x)E[X]V[X]01/40012/41/21/221/41/21111.53.隨機變數(shù)x=1,2,3,4，機率f(x)=ax，求a=(1/10)，E[X]=(3)，V[X]=(1)。HINT：所有機率和=14.一批制品有4個合格品，1個疵品，自其中抽取1個，X表示取出為不合格品數(shù)目，求E[X]=1/5及V[X]=4/25。5.一項投資可能有3種結果獲利100元、獲利600元、損失400元，其機率各為0.2,0.3,0.5求投資者之期望所得E[X]=100*0.2+600*0.3-400*0.5=0。6.連續(xù)隨機變量X，在x=0與2之間有一密度函數(shù)f(x)=ax，求a=(1/2)，P(1＜X＜1.6)=(0.39)，E[X]=(1.33)，V[X]=(0.22)。7.E(X)=1，E(X2)=4，求V[X]=(3)，V[2X+3]=(12)，E[3X-4]=(-1)。8.E(X)=0.5，V(X)=0.5，E[2X]=(1)，V[2X-1]=(2)，E[X^2]=(0.75)。9.求P(1≦X≦3)=3/8+3/8+1/8=7/8XP(X)F(X)0X＜001/81/80≦X＜113/84/81≦X＜223/87/82≦X＜331/81X≧310.連續(xù)隨機變量在0≦X≦4，f(x)=ax，求a=(1/8)及累積分布函數(shù)F(X)=(x2/16)。11.隨機變量X之機率分布如下表，請寫出分布函數(shù)F(X)及繪圖X012f(x)1/41/21/4F(x)1/43/4112.100件物品中有10%件不合格品，抽5件檢查，1收2退之機率=(C(90,5)C(10,0)/C(100,5)+C(90,4)C(10,1)/C(100,5)=0.9231)。13.一批共N=50個，不合格率P=0.06，隨機抽取10件加以檢驗，求E[X]=0.6及E[X^2]=0.82及V[X]=0.46。14.50件有3個不合格品，抽取3件有1個不合格品之機率。取后不放回之機率=(3*3/50*47/49*46/48=0.1655)，超幾何分布之機率=(0.1655)，取后放回時之機率=(0.159)。15.5個制品中含有2個不合格品求每次取出1個檢驗其為合格品或不合格品后仍投返原處，以此進行3次，問其中1個為不合格品之機率=(C(3,1)(2/5)1(3/5)2=54/125=0.432)。16.同上題，取出不放回時取出3次，1個不合格品之機率=(C(3,2)C(2,1)/C(5,3)=3/5=0.6)。17.機臺故障率為0.2，今有8部機器，其故障期望值=(1.6)部，變異數(shù)V[X]=(1.28)。18.同上題，試求故障機臺不超過2部的機率((P(0)+P(1)=C(8,0)(0.2)0(0.8)8+C(8,1)(0.2)1(0.8)7=0.8)。19.擲銅板32次，應用謝比雪夫定理，求出正面次數(shù)至少3/4之區(qū)間。 E[X]=np=16,Var[X]=np(1-p)=8,標準偏差=2.83，1-1/K=3/4,K=2,16±2*2.83,(10.34,21.66)20.p=2%，抽50個均為合格品之機率=(C(50,0)(0.02)0(0.98)50=0.364)。21.AQL=0.15%，樣本大小=80時，為0收1退之機率。(C(80,0)(0.15/100)0(1-0.15/100)80=0.89)22.雙方約定消費者最低不合格水平LTPD=5%(β=0.1)，每批之批量N=250，已知供貨商制程平均不合格率為1%，以Dodge-Romig之單次抽樣計劃為n=70，c=1，請計算p=0.05實際允收之機率。(P(0)+P(1)=C(70,0)(0.05)0(0.95)70+C(70,1)(0.05)1(0.95)69=0.129)23.不合格率=0.1，抽樣數(shù)n=20，0個不合格品之機率(C(20,0)(0.1)0(0.9)20)。24.