第二十一章一元二次方程第二十一章一元二次方程配方法第2課時(shí)

學(xué)習(xí)目標(biāo)12了解配方的概念.掌握用配方法解一元二次方程及解決有關(guān)問題.(重點(diǎn)）3探索直接開平方法和配方法之間的區(qū)別和聯(lián)系.（難點(diǎn)）

復(fù)習(xí)新課導(dǎo)入解下列方程

（1）3x2-1=5；（2）（x-1）2-9=0；（3）x2+8x+16=9.方程（1)(2）可轉(zhuǎn)化成x2=p或（x＋n）2=p（p≥0）的形式的方程，由直接開平方法可得方程的根為x=或x＋n=.方程x2+8x+16=9能不能轉(zhuǎn)化成（x＋n）2=p（p≥0）的形式？想一想方程（3）怎么解呢？知識(shí)講解★配方的方法你還記得嗎？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2；a+b(2)a2-2ab+b2=(

)2.a-b探究交流做一做：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立1.x2+12x+

=(x+6)2；2.x2-6x+

=(x-3)2；3.x2-4x+

=(x-

)2；4.x2+8x+

=(x+

)2.問題：上面等式的左邊的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)有什么關(guān)系？6232222424將方程轉(zhuǎn)化為（x+m)2=n(n≥0）的形式的方法叫配方法.對(duì)于形如x2+ax

的式子如何配成完全平方式？二次項(xiàng)系數(shù)為1的完全平方式：常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.★用配方法解方程探究交流怎樣解方程x2+6x+4=0？1.把方程變成（x+n)2=p（p≥0）的形式x2+6x+4=0

x2+6x=-4移項(xiàng)

x2+6x+9=-4+9兩邊都加上9二次項(xiàng)系數(shù)為1的完全平方式：

常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.(x+3)2=5配方2.用直接開平方法解方程(x+3)2=5(x+3)2=5開方

求解配方法解方程的基本思路

把方程化為（x+n)2=p的形式，將一元二次方程降次，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程求解．方法歸納

在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.注意是在二次項(xiàng)系數(shù)為1的前提下進(jìn)行的.方程配方的方法配方法解方程的基本步驟一般步驟方法一移移項(xiàng)將常數(shù)項(xiàng)移到右邊，含未知數(shù)的項(xiàng)移到左邊二化二次項(xiàng)系數(shù)化為1左、右兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)三配配方左、右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方

四開開平方利用平方根的意義直接開平方五解解兩個(gè)一元一次方程移項(xiàng)，合并

解下列方程：例1∴x1＝x2＝-2.（1）x2+4x+4＝0；解：移項(xiàng)，得x2+4x

＝-4.配方，得x2+4x+22＝-4+22，即（x+2）2＝0，

方程的二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，為便于配方，可以將方程各項(xiàng)的系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)．移項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)化為1這兩個(gè)步驟能不能交換一下呢?

配方，得

因?yàn)閷?shí)數(shù)的平方不會(huì)是負(fù)數(shù)，所以x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，(x－1)2都是非負(fù)數(shù)，即上式都不成立，所以原方程無實(shí)數(shù)根．解：移項(xiàng)，得二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得3x2－6x=-4,x2－2x=－,x2－2x+12=－

+12，即(x－1)2=－.

試用配方法說明：不論k取何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因?yàn)椋╧－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.例2★配方法的應(yīng)用配方法的應(yīng)用

類別

解題策略求最值或證明代數(shù)式的值為恒正（或負(fù)）對(duì)于一個(gè)關(guān)于x的二次多項(xiàng)式通過配方轉(zhuǎn)化成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n為常數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，可知其最小值；當(dāng)a＜0時(shí)，可知其最大值完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一個(gè)完全平方式，所以一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于16，即m2=16，m=±4利用配方構(gòu)成非負(fù)數(shù)和的形式對(duì)于含有多個(gè)未知數(shù)的二次式的等式，求未知數(shù)的值，解題突破口往往是配方成多個(gè)完全平方式得其和為0，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為0，各項(xiàng)均為0，從而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,則a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=21．將二次三項(xiàng)式x2-4x+1配方后得（）

A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（）

A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-113．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左邊是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則m等于（

）

A．1B．-1C．1或9D．-1或9隨堂訓(xùn)練BBC4.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程無解.解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.解：5.如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，點(diǎn)P、Q同時(shí)由A，B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，它們的速度都是1m/s，問幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？

解：設(shè)x秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．所以2秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．ACBPQ

整理，得x2-14x+24=0,即(x-7)2=25,解得x1=12，x2=2，

x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合題意，舍去．6.應(yīng)用配方法求最值.(1)2x2

-4x+5的最小值；(2)-3x2

+5x+1的最大值.解：（1）2x2-

4x+5=2(x-

1)2+3,

所以當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，為3.

（2）-3x2+12x-16=-3(x-2)2-4,

所以當(dāng)x=2時(shí),有最大值，為-4.課堂小結(jié)配方法定義通過配成完全平方形式解一元二次方程的方法方法步驟一移常數(shù)項(xiàng)；二配方[配上]；三寫成（x+n)2=p(p≥0);四直接開平方五解兩個(gè)一元一次方程特別提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化為x2+px+q=0的形式.應(yīng)用求代數(shù)式的最值或證明在方程兩邊都配上二次項(xiàng)系數(shù)一半的平方24.2.3切線的性質(zhì)定理第二十四章圓

前言學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解和掌握切線的判定定理的基礎(chǔ)上理解和掌握切線性質(zhì)定理。2.通過合作探究體會(huì)切線的判定和性質(zhì)的聯(lián)系。3.通過合作討論數(shù)學(xué)變化，提高自身的數(shù)學(xué)興趣和探究精神。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：切線的性質(zhì)定理。難點(diǎn)：切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用。如圖，⊙O的半徑為r,在⊙O上任意取一點(diǎn)A，連接OA，(1)過點(diǎn)A作直線l⊥OA（保留作圖痕跡）(2)直線l與⊙O有______個(gè)交點(diǎn)(3)圓心O到直線l的距離d與r的關(guān)系是______(4)直線l和⊙O的位置關(guān)系是______d=r相切OADl1思考判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于于這條半徑的直線是圓的切線.切線的性質(zhì)：1.圓的切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。2.切線與圓心的距離等于半徑(d=r)。3.想一想切線還有什么性質(zhì)嗎？切線判定定理在雨中旋轉(zhuǎn)的雨傘生活中圓與直線相切的實(shí)例如圖，⊙O的半徑為r，如果直線l是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，那么半徑OA與直線l是不是一定垂直呢？為什么？解：OA⊥l,理由如下：假設(shè)OA與直線l不垂直，過點(diǎn)O作OM⊥l于點(diǎn)M,OM的長為點(diǎn)O到直線l的距離d,則OM<OA,即圓心到直線CD的距離小于⊙O的半徑,因此,CD與⊙O相交.這與已知條件“直線與⊙O相切”相矛盾，所以O(shè)A與CD垂直.思考性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.切線的性質(zhì)：1.圓的切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。2.切線與圓心的距離等于半徑(d=r)。3.圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。輔助線作法：作過切點(diǎn)的半徑（連半徑，得垂直）切線的性質(zhì)定理如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D。求證：AC是⊙O的切線?！窘忸}思路】過O點(diǎn)作AC邊的垂線，若垂線段與半徑長度相等，就可以證明AC是⊙O的切線證明：過點(diǎn)O作OE⊥AC，垂足為E,連接OD,OA.∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D,∴_______________.又∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn),∴______________________,（）∴__________,（）即OE是⊙O的半徑,∴AC經(jīng)過⊙O的半徑OE的外端E，OE⊥AC,∴AC是⊙O的切線()．OD⊥ABAO是∠BAC的平分線三線合一OE=OD角平分線性質(zhì)切線的判定定理練一練1．以三角形一邊為直徑的圓恰好與另一邊相切，則此三角形是_______．【詳解】解：如圖所示，

∵AB是直徑，AC是切線，

∴AB