2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題(本大題共12小題，共60分)

"2

-x-ar-5,(x<1)

滿足對任意實數(shù)不。工2,都有成立,則。的取值范圍是

1.已知函數(shù)/(1)=〈a2

x2-Xx

x

()

A—3<a<0B.aK—2

D.a<0

2.軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐,則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的

A.4倍B.3倍

C.y/2倍D.2倍

3.「?則5的值為()

1+tan15°

A.—B.1

3

C.百D.2

4.若關(guān)于x的方程4'+(a+4>2'+4=()在［-1,2］上有實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.-$8B.a-史

I2

C.[-25,-8]D.[-8,+OO)

19

5.已知兩個正實數(shù)1，)‘滿足x+y=2,則—+—^的最小值是()

xy+\

1611

A.—B.—

32

C.8D.3

6.已知某種樹木的高度/?）（單位：米）與生長年限f（單位：年，fcNQ滿足如下的邏輯斯諦（Logistic）增長模

型：/⑺=779萬，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)該樹栽下的時刻為0,則該種樹木生長至3米高時，大約經(jīng)過的

時間為（）

A.2年B.3年

C.4年D.5年

7.下列說法正確的是（）

,,,八b+m

A.若。>匕>0,則一V-----

aa+m

22

B.若a>b9則ac>be

C.若a>b>。,則QH—>h-\—

ba

D.若a,beR,則史辿N而

2

8.函數(shù)y=log“（X-3）+l（。>0且圖象恒過定點A,若點A在直線〃優(yōu)+1=0上，其中

m>0,n>0,則m”的最大值為

11

A.—B.-

24

11

C.-D.—

816

m-2

9.">+4加=0”是“塞函數(shù)/（*）=（〃23_〃22_20加+1口亍為偶函數(shù)”的°

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.命題：“Vx>0,21nx+2'>0”的否定是。

A.Vx>0,21nx+2*<0B.Vx>0,21nx+2*40

C.3x>0>21n元+2]<0D.Hr>0>21nx+2'<0

11.若函數(shù)/(x)和g(x).分別由下表給出：

X-101

/(x)10-1

X123

g(x)01-1

則不等式/（g（x）"。的解集為。

A.{2}B.{3}

C.{1,3}D.{1,2}

12.下列說法中，錯誤的是（）

A.若/>〃，ab>。，則,<[B.若：>與，則a>匕

abcc

Q+mCl

C.若b>a>0,m>0,則^---->—D.若c<d,則a-c>b-d

b+mb

二、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.如圖，在直四棱柱A5cO—AAGA中，當(dāng)?shù)酌鍭3。。滿足條件時，有A。J?4A?（只需填寫一

種正確條件即可）

14.設(shè)函數(shù)八>）=4411（2%+jr2）+1的圖象為C,則下列結(jié)論中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的編號）.

57

①圖象C關(guān)于直線工=-一對稱；

12

TT

②圖象。關(guān)于點（--,0）對稱；

6

S77

③函數(shù)/（X）在區(qū)間（-',上1T）內(nèi)是增函數(shù)；

1212

④把函數(shù)/'（x）=4sin（x+ATT）+l的圖象上點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變）可以得到圖象C.

6

15.已知函數(shù)的圖象y=2/-3+4（。>0且awl）恒過定點尸，則點P的坐標(biāo)是,函數(shù)）,=口^五的單

調(diào)遞增區(qū)間是.

121

16.已知正實數(shù)元,)'滿足4/+y2=i+2盯，則當(dāng)％=_________時，一+一+一的最小值是__________

xy孫

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

兀

17.已知函數(shù)f(x)=2cos2<yx-l+2Gsineyxcos(vx(0<(o<\),直線x=y是函數(shù)/(x)的圖象的一條對稱軸.

(1)求函數(shù)/U)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)已知函數(shù)尸g(x)的圖象是由片/U)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再向左平移m個單位長度得

到的，若g(2c+J1)='|,。€(0卷),求5m。的值.

18.在平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),5=(-l,2),c=(4,1)

(1)求滿足。+的實數(shù)”"的值；

(2)若向量2滿足(2-e)//(a+6),且口一4=括，求向量2的坐標(biāo)

19.已知動圓C經(jīng)過點A(2,—3)和3(—2,—5)

(1)當(dāng)圓C面積最小時，求圓C的方程；

(2)若圓C的圓心在直線3x+)，+5=0上，求圓。的方程.

20.已知直線/經(jīng)過點(2/)和點(4,3).

(I)求直線/的方程；

(II)若圓。的圓心在直線/上，并且與)'軸相切于(0,3)點，求圓。的方程

21.已知圓。的方程為：x2+>,2-2mx+2my-4-2m2

(1)求圓C的圓心所在直線方程一般式；

(2)若直線/：x-y+4=0被圓C截得弦長為2夜，試求實數(shù)加的值；

(3)已知定點P(J5,我)，且點A8是圓C上兩動點，當(dāng)Z4PB可取得最大值為90°時，求滿足條件的實數(shù)機的

值

(15

22.已知圓。經(jīng)過A(—1,0),8兩點，且圓心。在直線4：y=x上.

[22,

(I)求圓。的方程；

(II)若點P在直線4：2x+y-3=0上，過點p作圓的一條切線,C為切點，求切線長PC的最小值；

(山)已知點M為(1,1),若在直線小丁=》上存在定點N(不同于點M),滿足對于圓。上任意一點Q,都有禍

￥I

為一定值，求所有滿足條件點N的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題(本大題共12小題，共60分)

1、C

a-

——>1

2

【解析】易知函數(shù)/(%)在R上遞增，由。<0求解.

-a-6<a

【詳解】因為函數(shù)/(X)滿足對任意實數(shù)內(nèi)都有J~成立，

與一玉

所以函數(shù),f(x)在R上遞增，

占1

2

所以<。<0,

-a-6<a

解得—3WaW—2,

故選：C

2、D

【解析】由題意，求出圓錐的底面面積，側(cè)面面積，即可得到比值

【詳解】圓錐的軸截面是正三角形，設(shè)底面半徑為r,則它的底面積為b2;

圓錐的側(cè)面積為：—x

2

圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍

故選。

【點睛】本題是基礎(chǔ)題，考查圓錐的特征，底面面積，側(cè)面積的求法，考查計算能力

3、B

【解析】根據(jù)正切的差角公式逆用可得答案

［詳解］——、tanl5，=百.l-tanl5。二6.tan45；tanl5。=百畫45。_］5。)=］，

1+tan151+tan15°l+tan45°xtan15')

故選：B

4、A

【解析】當(dāng)xe［-l,2］時，令f=2'e；,4,可得出/+(。+2?+4=0,可得出—(。+2)=，+；,利用函數(shù)的單

4「1-

調(diào)性求出函數(shù)g(/)=，+—在區(qū)間-,4上的值域，可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式，由此可解得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】當(dāng)xe［-1,2］時，令1,4,則/+(。+2).+4=0,可得—(。+2)=.+3,

4「11「1一

設(shè)g(1)=，+7,其中，￡1,4,任取%、t2e—,4,

/、/、(4)(4)/、4(%—功(彳—幻(伍—4)

則g(G—g(f2)=4+1-L+1=(…)-^7^=1-7J1.

當(dāng);%</2<2時，；<印2<4，貝!lg(A)—g(f2)>。，即g(4)>g“2)，

4「1-

所以，函數(shù)g(r)=r+7在-,2上為減函數(shù)；

當(dāng)24fl<芍<4時，4<巾2<16,則g(A)_g?2)<0，即gQJvgQz)，

所以，函數(shù)8。)=1+3在［2,4］上為增函數(shù).

<1A17<1A17

所以，g(f)min=g⑵=4,貝才子g(4)=5,則g(fLx=g(j卜萬，

4「11「17-

故函數(shù)g(r)=f+—在-,4上的值域為4,—,

t__

17?5

所以,4?—(Q+4)W—解得----WaW—8.

、/292

故選：A.

5、A

101(19r

【解析】根據(jù)題中條件，得到一+I=￡一+［［x+(y+l)］,展開后根據(jù)基本不等式，即可得出結(jié)果.

xy+1y+1尸

【詳解】因為正實數(shù)X，)'滿足x+y=2,

故選：A

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的

和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，

這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

6、C

【解析】根據(jù)題意，列方程，即可求解.

【詳解】由題意可得，令/?)=—二7=3,即l+e3+2=2,解得：/=4.

1+e

故選：c

7,C

【解析】運用作差法可以判斷C,然后運用代特殊值法可以判斷A、B、D,進而得到答案.

【詳解】對A,令。=21=1,m=-1,則2處％=±1=O.A錯誤；

a2a+m2-1

對B,令。=2,〃=l,c=0,貝！la/=兒2=0.B錯誤；

對C,因為Q+:一(〃■1]=(Q—----=(6F—/?)[Id|,而則Q-Z?>0,1+'>0,所以

bya)ab<a"ah

ClH---1b-\—|>0,即a+」>/?+，.C正確；

h\a)ba

對D,令a=8=—1,則"=-1<必=1.口不正確.

2

故選：C.

8、D

【解析】?.?由X—3=l得X=4,

...函數(shù)y=loga(x-3)+l(a>0且awl)的圖像恒過定點A(4,l),

■:點A在直線如+ny—\=。上，:.4m+題=1,4m+〃24m?n，

當(dāng)且僅當(dāng)4機=〃=,，即加=L,時取等號，

282

mn4—,/.mn最大值為—，

1616

故選D

【名師點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定積或

和為定值；三相等——等號能否取得“，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤

9、C

【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和嘉函數(shù)的概念，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.

詳解】由〃，+4/"=0，即〃z(加+4)=0,解得/%=0或=

WI

當(dāng)機=0時，〃x)=x3=，此時函數(shù)/(九)的定義域為(9,0)U(0,+8)關(guān)于原點對稱，且

〃、-1_1

"一")"行=存=/(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù);

-4-Z[

當(dāng)機=-4時，f(x)=x~=/=上，此時函數(shù)/(X)的定義域為(—8,0)U(0,+8)關(guān)于原點對稱，且

x~

/(一幻=$尸=Jr=/(x),所以函數(shù)y(x)為偶函數(shù),

所以充分性成立；

所2

反之：幕函數(shù)/(1)=(/_62_20根+])]丁，則滿足〃一加一20〃2+1=1，

解得根=0或相=-4或〃2=5,

當(dāng)加=0時，/(幻=蘇，此時函數(shù)/(X)為偶函數(shù)；

當(dāng)機=Y時，/(x)=5，此時函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)加=5時，/(x)=x,此時函數(shù)/(X)為奇函數(shù)函數(shù)，

綜上可得，實數(shù)加=0或，〃=T,即必要性成立，

所以“m2+4m=0”是"幕函數(shù)/(X)為偶函數(shù)”的充要條件.

故選：C.

10、C

【解析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定形式，全稱命題的否定是特稱命題，可得答案.

【詳解】命題：“Vx>0,21nx+2'>0”是全稱命題，

它的否定是特稱命題：玉>0,21nx+2v<0.

故選：C

11、C

【解析】根據(jù)題中的條件進行驗證即可.

【詳解】當(dāng)x=l時，有/(g(l))=/(O)=O2O成立，故x=l是不等式/(g(x))N0的解；

當(dāng)*=2時，有/(g(2))=/(l)=—120不成立，故x=2不是不等式/(g(x))N0的解；

當(dāng)x=3時，有/(g(3))=〃-1)=120成立，故x=3是不等式〃g(x)”0的解.

綜上：可知不等式/(g(x))20的解集為{L3}.

故選：C

12、A

【解析】逐一檢驗，對A,取。=-3/=-2,判斷可知；對B,。2>0,可知；對c,利用作差即可判斷；對D根

據(jù)不等式同向可加性可知結(jié)果.

【詳解】對A,取。=-3,6=-2,所以故錯誤；

ab

ab一一

對B,由，>0,-r>-7,所以故正確；

CC

對Ca+ma_ah+hm—ab—am_m\h-aj

'b+mbb?(b+m)b?(b+m)

由。〉a>0,m>0,所以4—v>0,所以一>-,故正確；

b\b+m)b+mb

對D,由c<d,所以一c>-d,y.a>b,所以a—c>h-d

故選：A

二、填空題(本大題共4小題，共20分)

13、AC_L8。(答案不唯一)

【解析】直四棱柱A8CO-A4G2,AG是AC在上底面A4GA的投影，當(dāng)時，可得耳2,

當(dāng)然底面ABCD滿足的條件也就能寫出來了.

【詳解】根據(jù)直四棱柱ABC?！?4G2可得：BB、〃DD\,且8M=。4,所以四邊形8BQQ是矩形，所以

BD〃B、D\,同理可證：AC〃AG，當(dāng)時，可得：AG上BQ,,且eq，底面而底

面44GQ,所以CG_L4A，而46口。&=&,從而平面因為平面A0G，所以

AC，4p,所以當(dāng)AC_LQ滿足題意.

故答案為：ACVBD.

14、①?

57r7iTC57r

【解析】??,2x(--)+-=--/.圖象。關(guān)于直線x=--對稱；所以①對；

123212

7T7F(兀'

???2、(一二)+—=0，圖象。關(guān)于點一二』對稱；所以②錯；

63<6)

xw2x+5￡(—],]),所以函數(shù)/(X)在區(qū)間[一行■，方]內(nèi)是增函數(shù)；所以③對;

因為把函數(shù)/(x)=4sin[x+?J+l的圖象上點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半(縱坐標(biāo)不變)可以得到

TT

y=4sin(2x+[)+l,所以④錯；填①③.

6

15、①.P(3,6)[0,1]

【解析】令x-3=0,求得y=6,即可得到函數(shù)的圖象恒過定點；令-/+2XN0,求得函數(shù)的定義域為[0,2],利

用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)y=2a'T+4(”>0且。。1),

令x—3=0,即x=3,可得y=2a°+4=6,即函數(shù)的圖象恒過定點P(3,6),

令-X2+2x>0>BPx2-2x=x(x-2)<0>解得0<x<2?

即函數(shù)y=J—x2+2x的定義域為[0,2],

又由函數(shù)/(x)=—V+2x的圖象開口向下，對稱軸的方程為》=1,

所以函數(shù)/(x)在[(),1]上單調(diào)遞增，在口,2]上單調(diào)遞減，

結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)/(x)=-x2+2x的遞增區(qū)間為[(),1].

故答案為：P(3,6)；[0,1].

16、①.一②.6

2

【解析】利用基本不等式可知孫當(dāng)且僅當(dāng)"X=上=!”時取等號.而‘+2+-1運用基本不等式后，結(jié)合二次

222xy孫

函數(shù)的性質(zhì)可知恰在X=2=，時取得最小值，由此得解.

22

【詳解】解：由題意可知：4X2+V=1+2盯22.y2=4孫，即個當(dāng)且僅當(dāng)"x=]=；"時取等號，

>21—?—+—-=+2I--=f+V2—2>（>/2+V2]—2=6,當(dāng)且僅當(dāng)"x=）=—”時取

xy孫孫孫,孫（丫孫J\）22

等號.

故答案為：—>6.

【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，同時也考查了配方法及二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題（本大題共6小題，共70分）

17、(1)~—+2k7i,—+2k7i,ZGZ；(2)4上一③

L33J10

TT

【解析】⑴首先化簡函數(shù)〃x）=2sin28+看再根據(jù)是函數(shù)的一條對稱軸，代入求。，再求函數(shù)的單

調(diào)遞增區(qū)間；⑵先根據(jù)函數(shù)圖象變換得到g（x）=2cosgx,并代入g（2a+?）[后，得cos（a+?3

再利

5

用角的變換求sina的值.

/(x)=cos2cox+V3sin2cox=2sinl2cox+?)，

【詳解】（1）

TT0rr-rrrr\Wk

當(dāng)工=。時,^yx—+-=-+^,A：6Z,n(o=-+—,k&Z,

336222

1

0<69<1,CD——9

2

即/(x)=2sin[x+TTTTTT"

令----\-2k7T<x+—<——\-2k7T,

262

）rrTT

解得：-----—12kji,kEZ9

33

24TT

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是—y+2Z肛§+22乃八Z；

71=2COSL,

+—

62

I，得cosY713

g2T=2cosa+-

[665

..(乃)71.’兀、兀(.7t

sina=sina-\■一=sina-\■一cos---cosa+—sm—

I6J~6I6j6I6)6

4A/331473-3

=-x------x-=

525210

【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)的圖象變換，以及y=Asin(5+9)的性質(zhì)，屬于中檔題型，y=Asin(x+°)的

橫坐標(biāo)伸長(或縮短)到原來的5倍，得到函數(shù)的解析式是y=Asin(s+8),若丫=/^皿妙向右(或左)平移。

(0>0)個單位，得到函數(shù)的解析式是y=45m[0(％-°)]或丁=Asin[<y(x+。)].

5

--

9

81)

±、8(2)(3,-1)或(5,3)

--

9

【解析】(1)根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求解即可.

(2)設(shè)向量d=(x,)，)再根據(jù)平行與模長的公式列式求解即可.

【詳解】(1)由已知條件以及￡=+

可得(3,2)=m(-l,2)+n(4,l)=(-m+4n,2m+n),

5

m=—,

—m+4n=3,9

即《cc解得

2m+n-2,8

n=—.

9

(2)設(shè)向量7=(x,y),則J-c=(x-4,y-1),a+=(2,4).

V(J-c)//(a+S),|J-c|=V5,

4(%-4)-2(y-l)=0,Jx=3,x-5,

或<

(x-4)+(y-l)=5,[y=-ly=3,

，向量2的坐標(biāo)為(3,T)或(5,3).

【點睛】本題主要考查了向量坐標(biāo)的運算以及平行的與模長的公式，屬于中等題型.

19、(1)x2+(y+4)2=5

(2)(x+l)2+(y+2)2=10

【解析】(D以A8為直徑的圓即為面積最小的圓，由此可以算出中點坐標(biāo)和長度，

即可求出圓的方程；

(2)設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意代入數(shù)值解方程組即可.

【小問1詳解】

要使圓C的面積最小，則A3為圓。的直徑，

圓心C((),T),半徑/

所以所求圓。的方程為：f+(y+4)2=5.

【小問2詳解】

設(shè)所求圓C的方程為(x-a)2+(y—b)2=r2,

222

(2-a)+(-3-b)=ra=-l

根據(jù)已知條件得<(—2-4+(-5-32=，=>/=—2,

3a+/?+5=0r=y/10

所以所求圓C的方程為(x+l)2+(y+2p=10.

20、(I)x-y-1=0；(II)(x+2)2+(y-3)2=4

【解析】(I)由兩點式，可得直線1的方程；(II)利用圓C的圓心在直線1上，且與y軸相切于(0,3)點，確定圓心

坐標(biāo)與半徑，即可求圓C的方程

試題解析：(I)由已知，直線/的斜率左=之土=1,

4-2

所以，直線/的方程為》一丁一1=0.

(n)因為圓c的圓心在直線/上，可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a—i),

因為圓C與)'軸相切于(0,3)點，所以圓心在直線y=3上.

所以。=4.

所以圓心坐標(biāo)為(4,3),半徑為4.

所以，圓。的方程為(x—4>+(y—3)2=16.

考點：直線、圓的方程

21、(1)x+y=0；

(2)〃z=-l或加=-3；

(3)m=±5/2?

x-m

【解析】(1)配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo)滿足，消去加可得圓心所在直線方程；

y=-m

(2