Fourier級數(shù)前面兩節(jié)我們討論了普通項(xiàng)是非負(fù)整數(shù)次冪冪函數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)------冪級數(shù)，給出了冪級數(shù)收斂半徑和收斂域求法，討論了函數(shù)展開為冪級數(shù)條件及函數(shù)展開為冪級數(shù)直接展開法、間接展開法。從本節(jié)開始我們來討論普通項(xiàng)是三角函數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)------三角級數(shù)，重點(diǎn)討論怎樣把函數(shù)展開為三角級數(shù)問題，它主要應(yīng)用之一是對周期信號進(jìn)行頻譜分析，是學(xué)習(xí)積分變換基礎(chǔ)，也可利用三角級數(shù)展開式求出一些數(shù)項(xiàng)級數(shù)和第1頁一、問題提出在自然科學(xué)與工程技術(shù)問題中，常會(huì)碰到周期現(xiàn)象含有周期現(xiàn)象量，每經(jīng)過時(shí)間

T

后所取值就重復(fù)出現(xiàn)，這么量在數(shù)學(xué)上可表示成時(shí)間t周期函數(shù)

f(t+T)=f(t)正弦函數(shù)是一類比較簡單周期函數(shù)，而且是應(yīng)用十分廣泛一類周期函數(shù)。如在簡諧振動(dòng)和正弦電路電流分析中常碰到正弦型函數(shù)不過在實(shí)際問題中，除了正弦函數(shù)外，還會(huì)碰到非正弦周期函數(shù)，它們反應(yīng)了較復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)第2頁非正弦型周期函數(shù)：巨形波怎樣深入地研究非正弦型周期函數(shù)呢？聯(lián)絡(luò)到前面介紹過用函數(shù)冪級數(shù)展開式表示和討論函數(shù)，我們也想將周期函數(shù)展開成簡單周期函數(shù)如正弦函數(shù)組成級數(shù)不一樣頻率正弦波逐一疊加第3頁第4頁第5頁第6頁以電路計(jì)算為例，往往將以T為周期函數(shù)化成一系列不一樣頻率正弦量之和。將周期函數(shù)按上述方式展開，其物理意義是很明確，這就是把一個(gè)比較復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)看成一系列不一樣頻率簡諧振動(dòng)疊加第7頁二、三角級數(shù)三角函數(shù)系正交性1.三角級數(shù)諧波分析三角級數(shù)2.三角函數(shù)系正交性三角函數(shù)系第8頁第9頁三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)問題:1.若能展開,是什么?2.展開條件是什么?1.傅里葉系數(shù)第10頁第11頁傅里葉系數(shù)第12頁傅里葉級數(shù)問題:第13頁以上我們是在f(x)能夠展開成三角級數(shù)并能夠逐項(xiàng)積分前提下討論問題，下面我們撇開這個(gè)前提只要公式中積分都存在，就能夠定出系數(shù)并可唯一地寫出f(x)F-----級數(shù)至于這個(gè)級數(shù)是否收斂，如收斂是否收斂到f(x)問題，有以下定理第14頁2.狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)第15頁注意:函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)條件比展開成冪級數(shù)條件低多.解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.第16頁和函數(shù)圖象為第17頁所求函數(shù)傅氏展開式為第18頁展開步驟①驗(yàn)證f(x)滿足Dirichlet條件，并確定f(x)全部間斷點(diǎn)，可作圖，結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷②依據(jù)公式計(jì)算Fourier系數(shù)③寫出Fourier級數(shù)展開式，并注明展開式成立范圍注求Fourier系數(shù)普通要用分部積分法，有時(shí)甚至要屢次分部積分，較麻煩且輕易犯錯(cuò)，另外，某些an,bn需要單獨(dú)計(jì)算，輕易忽略而造成錯(cuò)誤第19頁求函數(shù)Fourier級數(shù)展開式，主要工作是計(jì)算Fourier系數(shù)，利用函數(shù)奇偶性可簡化Fourier系數(shù)計(jì)算，當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)此時(shí)其Fourier級數(shù)展開式是只含有正弦項(xiàng)而沒有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)正弦級數(shù)第20頁當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)此時(shí)其Fourier級數(shù)展開式是只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)而沒有正弦項(xiàng)余弦級數(shù)第21頁例2f(x)在一個(gè)周期內(nèi)表示式為解f(x)如右圖所表示滿足收斂定理?xiàng)l件第22頁例3試求其Fourier級數(shù)和函數(shù)解第23頁f(x)在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)，其Fourier級數(shù)處處收斂于f(x)本身第24頁四、小結(jié)1.基本概念；2.傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分條件；4.非周期函數(shù)傅氏展開式；5.傅氏級數(shù)意義——整體迫近第25頁思索題第26頁思索題解答第27頁第28頁傅氏級數(shù)意義——整體迫近第29頁第30頁第31頁第32頁第33頁第34頁第35頁第36頁第37頁第38頁第39頁第40頁第41頁第42頁傅里葉(1768–1830)法國數(shù)學(xué)家.他著作《熱解析理論》(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)利用了三角級數(shù)和三角積分,他學(xué)生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分.

最卓越工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來文件,他深信數(shù)學(xué)是處理實(shí)際問題傅里葉分析對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響.第43頁狄利克雷(1805–1859)德國數(shù)學(xué)家.對數(shù)論,數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn),是解析數(shù)論他是最早提倡嚴(yán)格化方法數(shù)學(xué)家.函數(shù)f(x)傅里葉級數(shù)收斂第一個(gè)充