2021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.092021.03.09 2021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.09幾何經(jīng)典難題時間：2021.03.09時間：2021.03.09創(chuàng)作：歐陽法求證：CD=GF.（初三）2、已知：如圖，求證：CD=GF.（初三）2、已知：如圖，P是正方形人86口內(nèi)點/PAD=/PDA=15o.EAB1、已知：如圖，。是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CDXAB,EFXAB,EGXCO.求證：APBC是正三角形.（初二）3、如圖，已知四邊形ABCD、、81《口1都是正方形，A?、B2、q、D?分別是aA的中點．求證：四邊形A282c2D2是正方ADCDB2AD=B(C,、A14、已知：如圖，在四邊形ABCD"中M、N分別是AB、…cF”AD、BC/的E延長線交MN于E、F．求證：/DEN=/F.5、已知：AABC中，HCD的中點，BCND為垂心（各邊高線M的交點），。為外心，且DMLBC于M.2021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.092021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.09C(1)求證：AH=2OM;(2)若/BAC=60o,求證：AH=AO.6、設(shè)MN是圓O外一直線，過。作人，自人引圓的兩條直線，交圓于B、直線68及CD分別交MN于P、Q.求證：AP=AQ.（初三）AEMDC貝汗由“此ABHGEoA，mnzE7、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，可得以下命題：M設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE,設(shè)CD、EB分別交MN于cP、求證：AP=AQ.(初三)M/P8、如圖，分別以AABC的AC和BC為ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBF是EF的中點.求證：點P到邊AB的距離E等半．（初二）AQN一，.BGDBPFE△O的一9、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE//ACAAE=Q BAC,AE與6口相交于F.求證：10、如圖CE=CF.(初二)四邊形ABCD為正方形，DE/A2021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.092021.03.09C2021.03.09C66=6人，直線66交DA延長線于F.求證：AE=AF.（初二）F—11、設(shè)P是正方形AB±AP,CF平分/DCE.求證：PA=PF.（初二）A一邊BC上的任BA為圓的直徑，PEF12、如圖，PC切圓。于C,為圓的割線，AE、人卜與直線口。證：AB=DC,BC=AD.（初三13、已知：4人86是正MPA=3,PB=4,PC=5.求：/APB的度數(shù).（初二）FACAODECADC相交于B、三角形P內(nèi)一點C14、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點，PBA=/PDA.求證：/PAB=/PCB.（初二）且PA15、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，AD?BC=AC?BD.（初三）16、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、上的一點，AE與6卜相交于P,ADB且2021.03.09歐陽法創(chuàng)編PE求證：BBF分另愧AE=CF.求證：/DPA=/DPC.（（初二A

BF/2021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.092021.03.09 2021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.0917、設(shè)P是邊長為1的正AABC內(nèi)任一點，L=PA+PB+PC,求證：指WL<2.18、已知：口是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點，求PA+PB+PC的最小值.19、P為正方內(nèi)的一點，BP2a,「6=3明'/正方形的邊長.B C20、如圖，AABC中，/ABC=/ACB=80o,D、E分別是AB、AC上的點，/DCA=30o,ZEBA=20o,求/BED的度數(shù).解答1.如下圖做GHLAB,連接EO。由于GO圓，所以/GFH=/OEG,DA并且PAEOBGF=gh=CD，又即△GHFs△OGE,可得CO=EO,所以CD=GF得證。2.如下圖做ADGC使與AADP全等，可得4口口仃為等邊△，從而可得△DGCW^APDW^CGP,得出PC二AD二口6,和/DCG=/PCG=15。所以/DCP=30o,從而得出APBC是正三角形.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點F,E.連接C2F與AE并延長相交于Q點，2連接682并延長交C2Q于H點，連接FB2并延長交AQ于G點，2由 A2E=2A1B1=2B1C1= FB2 ,EB2=iAB=2BC=FC1,又/GFQ+/Q=90o和/GEB2+/Q=90o,所以/GEB2=/GFQ又/B2FC2=ZA2EB2,可得482卜62里AAzEB?，所以A2B2=B2C2,又/GFQ+ZHB2F=90o和/GFQ=ZEB2A2,從而可得/人282C2=90o,同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2c2D2是正方形。.如下圖連接AC并取其中點Q,連接QN和QM,所以可得/QMF=ZF,ZQNM=ZDEN和ZQMN=ZQNM,從而得出ZDEN=/F。.⑴延長AD到F連BF,做OG^AF,又ZF=ZACB=ZBHD,

可得BH=BF,從而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)＜接OB,06,既得/806=1200,從而可得/80乂=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。6.證明：作E點關(guān)于6.證明：作E點關(guān)于GA的對稱點F,連FQ、FC,,/OAXMN,EFXOA,則有/FAP=/EAQ,/EAP=/FAQ,,「/PAF=/AFE=/AEF=180-/FCD,.「/PAF=180-/FAQ,，/FCD=/FAQ,.?.FCAQ四點共圓，/AFQ=/ACQ=/BED,FA,在AEPA和4FQA中FA,NPEA=NQFAAF=AENPAE=NQAF，??. △EPA叁△FQA,???AP=AQ..作OF^CD,OGXBE,連接OP,OA,OF,AF，OG，AG，OQ。ADACCD2FDFD由于ABAEBE2BGBG,由此可得△ADF空AABG,從而可得/AFC=/AGE。又因為PFOA與QGOA四點共圓，可得/AFC=/AOP和/AGE=/AOQ,/AOP=/AOQ,從而可得人口二AQ。.過E,C,F點分別作AB所在直線的高EG,CI,EGFHFH?？傻肞Q=一2一。由△EGAW^AlC,可得EG=AI,由△BFHW4CBI,可得FH=BI。AIBIAB從而可得PQ==T,從而得證。+.順時針旋轉(zhuǎn)AADE,到AAEG,連接CG.由于/ABG=ZADE=9Oo+45o=135o從而可得B,G,D在一條直線上，可得AAGB^ACGBo推出AE=AG=AC=GC,可得4AGC為等邊三角形。ZAGB=30,既得/EAC=30,從而可得/AEC=75oo又/EFC=ZDFA=45o+3Oo=75o.可證：CE=CFO.連接BD作CHXDE,可得四邊形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH,可得/CEH=3Oo,所以/CAE=/CEA=/AED=15o,又/FAE=9Oo+45o+15o=15Oo,從而可知道/F=15o,從而得出AE二AF。.作FGXCD,FEXBE,可以得出GFEC為正方形。令A(yù)B=Y,BP=X,CE=Z，可得PC=Y-Xo

XZtanZBAP=tan/EPF=-y~~X~~Z)可得YZ=XY-X2+XZ, 工一十即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出△ABPZA得至］PA=PF,得證。.證明：作CQLPD于Q,連接EO,EQ,EC,OF,QF,CF,所以PC2=PQ?PO(射影定理)，又PC2=PE*PF)所以EFOQ四點共圓，ZEQF=zEOF=2zBAD)又zPQE=zOFE=zOEF=/OQF,而CQLPD,所以/EQC=/FQC,因為/AEC=/PQC=90°,故B、E、C、Q四點共圓，所以/EBC=ZEQC=l/2ZEQF=l/2/EOF=ZBAD)/.CB//AD,所以BO二口。，即四邊形ABCD是平行四邊形，「.AB=DC,BC=AD..順時針旋轉(zhuǎn)4人8口600，連接PQ，則APBQ是正三角形?？傻谩鱌QC是直角三角形。所以/APB=150o。.作過P點平行于人口的直線，并選一點6,使人6//DC,BE//PC.可以得出/ABP=/ADP=/人6口，可得：AEBP共圓(一邊所對兩角相等)?？傻?BAP=/BEP=/BCP,得證。.在BD取一點6,使/866=/ACD,既得ABEC“△人口6,可得：BEADBC=AC,即AD?BC=BE?AC, ①又/ACB=/口66,可得4人8684口66,既得ABDEAC=DC,即AB?CD=DE?AC, ②由①+②可得:AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=AC?BD，得證。.過D作AQ，AE,AG±CF,由SS=~^2CD=S,可得：ADE DFC口AEPQAEPQA-2―=—2—,由AE=FC。可得DQ=DG,可得/DPA=/DPC（角平分線逆定理）。.（1）順時針旋轉(zhuǎn)ABPC600,可得APBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要人口，PE，EF在一條直線上，即如下圖：可得最小1二套；（2）過P點作BC的平行線交AB,AC與點D，F(xiàn)。由于/APD>/ATP=/ADP,推出AD>AP①TOC\o"1-5"\h\z又BP+DP>BP ②和PF+FC>PC ③又DF二AF ④由①②③④可得：最大1<2;2021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.09 歐陽法創(chuàng)編2021.03.09由⑴和(2)既得：后＜LV2。.順時針旋轉(zhuǎn)48口6600,可得APBE為等邊三角形。既得口人+口8+口6=人口+口日+日鹿使最小只要AP,PE,EF在一條直線上，即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF。]1史1)2 '42“既得AF=，42 =；23==/2?_++=\：'4=4”1)瓷一十= 2 。.順時針旋轉(zhuǎn)4ABP900，可得如下圖:既得正方形邊長L>52<2a.在AB上找一點F,使/BCF=600,連接EF,DG,既