平面向量數(shù)量積物理背景及其含義第1頁(yè)一、向量數(shù)量積物理背景

在物理課中，我們學(xué)過(guò)功概念，即假如一個(gè)物體在力作用下產(chǎn)生位移，那么力所做功第2頁(yè)

我們將功運(yùn)算類比到兩個(gè)向量一個(gè)運(yùn)算，得到向量“數(shù)量積”概念。第3頁(yè)二、向量與數(shù)量積概念

已知兩個(gè)非零向量與，它們夾角為θ，則我們把數(shù)量叫做與數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作：.要求：零向量和任一向量數(shù)量積為0第4頁(yè)

向量數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，不是一個(gè)向量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？思考：·=|

||

|cosθ當(dāng)0°≤θ＜

90°時(shí)·為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)·為負(fù)。當(dāng)θ=90°時(shí)·為零?！?|

||

|cosθ第5頁(yè)解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a與b夾角θ=120°，求a·b。

第6頁(yè)，過(guò)點(diǎn)B作垂直于直線OA，垂足為，則|b|cosθOABabOABab|b|cosθ叫向量b

在a

方向上投影．θ為銳角時(shí)，|b|cosθ＞0θ為鈍角時(shí)，|b|cosθ＜0θ為直角時(shí)，|b|cosθ=0BOAab幾何意義幾何意義數(shù)量積a·b等于a長(zhǎng)度|a|與b在a方向上投影|b|cos

乘積.第7頁(yè)主要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同單位向量，夾角，則尤其地OABθ

abB1第8頁(yè)四.數(shù)學(xué)利用

例1:第9頁(yè)注意：“·”不能省略不寫，也不能寫為“×”，數(shù)學(xué)中“a×b”表示兩個(gè)向量向量積(或外積)a·b表示數(shù)量而不表示向量，與實(shí)數(shù)a·b不同,a+b、a-b表示向量；（3）在實(shí)數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；不過(guò)在數(shù)量積中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏os有可能為0.（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b

0)，則ab=bca=c.不過(guò)ab=bc不能得到a=c(5)在實(shí)數(shù)中，有(ab)c=a(bc)，不過(guò)(ab)c

a(bc)

數(shù)量積:a·b=|a||b|cos

第10頁(yè)練習(xí)判斷以下說(shuō)法是否正確(×)(√)(×)(×)(√)(√)第11頁(yè)二、平面向量數(shù)量積運(yùn)算律：數(shù)量積運(yùn)算律：其中，是任意三個(gè)向量，注：第12頁(yè)

則

(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上射影數(shù)量分別是OM、MN、ON,證實(shí)運(yùn)算律(3)第13頁(yè)例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證實(shí)：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·