第第頁(yè)2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)德強(qiáng)學(xué)校高三（上）開(kāi)學(xué)驗(yàn)收數(shù)學(xué)試卷（二卷）（含解析）2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)德強(qiáng)學(xué)校高三（上）開(kāi)學(xué)驗(yàn)收數(shù)學(xué)試卷（二卷）

一、單選題（本大題共7小題，共35.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.命題：，的否定是()

A.，B.，

C.，D.，

2.設(shè)全集為，，則()

A.B.或

C.D.或

3.已知，則，，的大小關(guān)系是()

A.B.C.D.

4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列，若，，則()

A.B.C.D.

5.已知，則()

A.B.C.D.

6.已知，則()

A.B.C.D.

7.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

8.下列各式中值為的是()

A.B.

C.D.

9.若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的可能取值是()

A.B.C.D.

10.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若存在，使得，則稱(chēng)是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”，則下列函數(shù)中，存在“巧值點(diǎn)”的是()

A.B.C.D.

11.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽(tīng)到的聲音是由純音合成的，稱(chēng)之為復(fù)合音若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)一定有()

A.三個(gè)不同零點(diǎn)B.在上單調(diào)遞增

C.極大值，且極大值為D.一條切線(xiàn)為

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

12.寫(xiě)出一個(gè)定義域?yàn)榍覉D象不經(jīng)過(guò)第二象限的冪函數(shù)______．

13.設(shè)，則______．

14.若函數(shù)在處取得極小值，則______．

15.已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，若將方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)記為，則______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

16.本小題分

已知函數(shù)

求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

求函數(shù)在上的值域．

17.本小題分

已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．

求函數(shù)的解析式；

若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

18.本小題分

已知函數(shù)．

Ⅰ若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

Ⅱ若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

19.本小題分

已知數(shù)列為正項(xiàng)等差數(shù)列，數(shù)列為遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列，，．

求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．

20.本小題分

某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品每件包裝成一箱，每箱含，，件次品的概率分別為，，在出廠前需要對(duì)每箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，質(zhì)檢員甲擬定了一種檢測(cè)方案：開(kāi)箱隨機(jī)檢測(cè)該箱中的件產(chǎn)品，若無(wú)次品，則認(rèn)定該箱產(chǎn)品合格，否則認(rèn)定該箱產(chǎn)品不合格．

在質(zhì)檢員甲認(rèn)定一箱產(chǎn)品合格的條件下，求該箱產(chǎn)品不含次品的概率；

若質(zhì)檢員甲隨機(jī)檢測(cè)一箱中的件產(chǎn)品，抽到次品的件數(shù)為，求的分布列及期望．

21.本小題分

已知函數(shù)，其中．

討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

求證：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：命題：，的否定是，．

故選：．

存在改任意，將結(jié)論取反，即可求解．

本題主要考查特稱(chēng)命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：，，

．

故選：．

根據(jù)交集的定義運(yùn)算即可．

本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：，

，

，

，，的大小關(guān)系是．

故選：．

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接求解．

本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：根據(jù)等比中項(xiàng)，可得，

又是正項(xiàng)數(shù)列，故負(fù)值舍去，

設(shè)等比數(shù)列的公比為，

由，可得，

解得正項(xiàng)等比數(shù)列公比不可是負(fù)數(shù)，負(fù)值舍去，

故．

故選：．

根據(jù)等比中項(xiàng)，先求出，然后根據(jù)求出公比，最后求．

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?/p>

所以

．

故選：．

利用誘導(dǎo)公式、余弦的倍角公式可得答案．

本題主要考查了誘導(dǎo)公式及二倍角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：令，，

則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

因?yàn)?，，?/p>

，

所以．

故選：．

構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得，，的大?。?/p>

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)值大小的比較，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．

7.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)的極值點(diǎn)，屬于中檔題．

先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象由兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象，由圖可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解答】

解：函數(shù)，

則，

令得，

函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，

等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象如圖，

當(dāng)直線(xiàn)與的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，

對(duì)于，，

則，解得，

由圖可知，當(dāng)時(shí)，

與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．

則實(shí)數(shù)的取值范圍是

故選B．

8.【答案】

【解析】解：對(duì)于，，選項(xiàng)A不合題意；

對(duì)于，，選項(xiàng)B不合題意；

對(duì)于，，選項(xiàng)C滿(mǎn)足題意；

對(duì)于，，選項(xiàng)D正確．

故選：．

利用三角函數(shù)恒等變換公式逐個(gè)計(jì)算判斷即可．

本題考查了三角函數(shù)恒等變換公式應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．

9.【答案】

【解析】解：函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，

等價(jià)于有個(gè)根，

即函數(shù)與函數(shù)有個(gè)交點(diǎn)，

令，

則，

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

又，，

所以的大致圖象為：

所以，所以，故A錯(cuò)誤．

故選：．

根據(jù)已知，把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，再分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．

10.【答案】

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：易知，

令，

解得，

所以函數(shù)有“巧值點(diǎn)”；

對(duì)于選項(xiàng)B：易知，

令，

作出函數(shù)，的圖象：

可知方程有解，有“巧值點(diǎn)”，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：易知，

令，

即，

解得，無(wú)解，不存在“巧值點(diǎn)”，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：易知，

令，

整理得，

不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

得，

所以函數(shù)在上為增函數(shù)，

又，，

所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，

即方程在上有解，

則有“巧值點(diǎn)”，故選項(xiàng)D正確．

故選：．

由題意，結(jié)合“巧值點(diǎn)”的定義，逐個(gè)求解是否有解即可．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力．

11.【答案】

【解析】解：對(duì)于，由得：，即或，

，，解得或，A錯(cuò)誤；

對(duì)于，，

，，，，且當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，B正確；

對(duì)于，由選項(xiàng)B知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

因此當(dāng)時(shí)，取得極大值，C正確；

對(duì)于，顯然函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，，且，因此的圖象在原點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，

因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，因此直線(xiàn)不是圖象在原點(diǎn)處的切線(xiàn)，

令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，即，于是函數(shù)在上的圖象總在直線(xiàn)的下方，

所以直線(xiàn)不可能為圖象的切線(xiàn)，D錯(cuò)誤．

故選：．

A.由得，然后可求出的零點(diǎn)，從而可判斷的正誤；

B.，根據(jù)求出的范圍，從而得出，然后可判斷的正誤；

C.根據(jù)選項(xiàng)B求出的導(dǎo)數(shù)，可得出時(shí)，；時(shí)，，從而得出時(shí)取得極大值，從而可判斷的正誤；

D.可根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷不是圖象在原點(diǎn)的切線(xiàn)，令，，從而得出，即得出，然后即可判斷的正誤．

本題考查了二倍角的正弦和余弦公式，函數(shù)零點(diǎn)的定義及求法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，函數(shù)極值的求法，函數(shù)在圖象上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程的求法，考查了計(jì)算能力，屬于難題．

12.【答案】答案不唯一

【解析】解：，定義域?yàn)?，圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，且為冪函數(shù)，符合題意．

故答案為：答案不唯一．

根據(jù)已知條件，結(jié)合冪函數(shù)的定義，以及性質(zhì)，即可求解．

本題主要考查冪函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

13.【答案】

【解析】解：因?yàn)?，解得?/p>

所以．

故答案為：．

利用正切的差角公式化簡(jiǎn)求出的值，再利用正切的和角公式化簡(jiǎn)即可求解．

本題考查了正切的和差角公式，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

可得，

若函數(shù)在處取得極小值，

此時(shí)，

解得，

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，

則符合題意．

故答案為：．

由題意，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，將函數(shù)在處取得極小值，轉(zhuǎn)化成，解出的值，將其代入函數(shù)解析式中，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行檢驗(yàn)，進(jìn)而即可求解．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．

15.【答案】

【解析】解：因?yàn)槎x域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿(mǎn)足，

所以，，所以，

所以函數(shù)是以為周期得周期函數(shù)，

方程的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)，

即函數(shù)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

不難發(fā)現(xiàn)也是偶函數(shù)，

所以?xún)珊瘮?shù)的交點(diǎn)是關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)的，

這里只分析的情況．

結(jié)合條件作出兩函數(shù)簡(jiǎn)要圖象如下：

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即，

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)有個(gè)交點(diǎn)，即，

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)有個(gè)交點(diǎn)，即，以此類(lèi)推，可知，

故，

所以．

故答案為：．

由條件分析得函數(shù)的周期性，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性作出草圖，分析兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，得出數(shù)列通項(xiàng)，裂項(xiàng)相消求和即可．

本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、函數(shù)與方程思想，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題．

16.【答案】解：，

的最小正周期；

令，，解得：，，

的單調(diào)遞減區(qū)間為，；

當(dāng)時(shí)，，

，，

即在上的值域?yàn)椋?/p>

【解析】由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)，由周期公式可得周期，由整體法求解可得單調(diào)區(qū)間；

由的范圍利用換元法可得值域．

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】解：的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

所以，．

由于，

故，

所以；

根據(jù)，

所以，

當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，

當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，

且，，，

由于函數(shù)在上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

【解析】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．

直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和函數(shù)的圖象的變換的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式；

利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出的取值范圍．

18.【答案】解：Ⅰ由題意得，當(dāng)時(shí)，，，

，，

切線(xiàn)方程為，即．

Ⅱ在上單調(diào)遞增，在上恒成立，

令，即在上恒成立，

令，其對(duì)稱(chēng)軸方程為，

問(wèn)題等價(jià)于，

解得，

實(shí)數(shù)的取值范圍是．

【解析】Ⅰ根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式即可求解；

Ⅱ求導(dǎo)，利用在上恒成立，令，利用一元二次不等式的性質(zhì)求解即可．

本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

19.【答案】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，

因?yàn)?，?/p>

所以得，解得或，

因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，為正項(xiàng)遞增數(shù)列，

所以，，

所以，；

由得，

所以數(shù)列的前項(xiàng)和為

．

【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，然后根據(jù)已知條件列方程組可求出，，從而可求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

由得，然后利用分組求和法可求得結(jié)果．

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的分組求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

20.【答案】解：記“質(zhì)檢員甲認(rèn)定一箱產(chǎn)品合格”為事件，“該箱產(chǎn)品不含次品”為事件，

則，

，

由條件概率公式得，

所以在質(zhì)檢員甲認(rèn)定一箱產(chǎn)品合格的條件下，該箱產(chǎn)品不含次品的概率為．

由題意可得可以取，，，

則，

，

，

所以隨機(jī)變量的分布列為：

所以．

【解析】利用條件概概率的公式即可；

列出的取值，并根據(jù)題意得到各值的概率求出期望即可．

本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列、期望的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

21.【答案】解：，，

，

時(shí)，，在單調(diào)遞減，

而，故在上有個(gè)零點(diǎn)，

時(shí)，令，解得，令，解得，

故在遞增，在遞減，

故，

令，則，

令，解得，令，解得，

故在遞