等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式教學(xué)設(shè)計(jì)課題等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式單元第一單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二教材分析《等比數(shù)列》是人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第四章的內(nèi)容。本節(jié)是數(shù)列這一章的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過程中蘊(yùn)涵的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。等比數(shù)列是另一個(gè)常見的簡(jiǎn)單數(shù)列，研究內(nèi)容可與等差數(shù)列類比，首先歸納出等比數(shù)列的定義，導(dǎo)出通項(xiàng)公式，給出等比中項(xiàng)的概念，進(jìn)而研究圖象，最后是通項(xiàng)公式的應(yīng)用。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)1數(shù)學(xué)抽象：等比數(shù)列的概念2邏輯推理：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)3數(shù)學(xué)運(yùn)算：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用4數(shù)學(xué)建模：等比數(shù)列的函數(shù)特征5直觀想象：等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系6數(shù)據(jù)分析：學(xué)習(xí)等比數(shù)列的概念，同時(shí)探究等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法，提高學(xué)生數(shù)學(xué)判斷的能力，以及參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力重點(diǎn)等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式難點(diǎn)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和運(yùn)用教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課將一張很大的薄紙對(duì)折，對(duì)折30次后有多厚？不妨假設(shè)這張紙的厚度為0.01毫米。1看一看紙的厚度的變化提示：折1次折2次折3次折4次…折30次厚度2(21)4(22)8(232想一想你能折到30次嗎？當(dāng)折到30次時(shí)（紙的厚度為0.01毫米），估算紙的厚度。提示：0.0130次后，紙厚度為230×0.01×10這個(gè)厚度超過了世界最高的山峰——珠穆朗瑪峰的高度。如果紙?jiān)俦∫恍?，比如紙?.001毫米，對(duì)折34次就超過珠穆朗瑪峰的高度了。情景引入大家動(dòng)手操作，看能折多少次？目前，查到的，用工業(yè)上用的壓軋機(jī)，最多就是13次。大家也可以自己去查閱資料。通過讓學(xué)生動(dòng)手做小實(shí)驗(yàn)，激發(fā)興趣這種折紙的方式涉及到我們學(xué)過的哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？指數(shù)科學(xué)是需要想象的講授新課等差數(shù)列的特征是“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)”，類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運(yùn)算的角度出發(fā)，你覺得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？等比數(shù)列的概念請(qǐng)看下面幾個(gè)問題中的數(shù)列.1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥板上記錄了下面的數(shù)列：9，92100，10025，522.《莊子?天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是12，14，18，1163.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個(gè)這種細(xì)菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個(gè)數(shù)是2，4，8，16，32，64，…=5\*GB3⑤4.某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是a1+r,a(1+r)2,a(1+r)探究類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？我們可以通過除法運(yùn)算研究以上數(shù)列的取值規(guī)律.如果用{an}a2a1=9，a3a這表明，數(shù)列①有這樣的取值規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)比都等于9.其余幾個(gè)數(shù)列也有這樣的取值規(guī)律，請(qǐng)你寫出相應(yīng)的規(guī)律.思考類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（顯然q≠0）即a注：(1)“從第2項(xiàng)起”，也就是說等比數(shù)列中至少含有三項(xiàng)；(2)“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比”不可理解為“每相鄰兩項(xiàng)的比”；(3)任意一項(xiàng)a(4)“同一常數(shù)q”，q是等比數(shù)列的公比，即q=anan?1特別注意，q不可以為零，當(dāng)q＝1時(shí)，等比數(shù)列為非零常數(shù)列，非零常數(shù)列是特殊的等比數(shù)列．例如，數(shù)列①~=6\*GB3⑥的公比依次是9，100，5，12，2，1+r.等比中項(xiàng)與等差數(shù)列類似，如果在a和b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí)G2=ab注：(1)G是a與b的等比中項(xiàng)，則a與b的符號(hào)相同，符號(hào)相反的兩個(gè)實(shí)數(shù)不存在等比中項(xiàng)．G=±(2)當(dāng)G2=ab時(shí)，G不一定是a與b的等比中項(xiàng)．例如探究你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？設(shè)一個(gè)等比數(shù)列{an}an+1=所以aa3=a4……由此可得an又a1=a因此，首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列{ana等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系類似于等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，由an當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，等比數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an是指數(shù)函數(shù)f(x)=a即an=f(n)（如圖4.3反之，任給指數(shù)函數(shù)f則f構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列{kan}，其首項(xiàng)為ka，等比數(shù)列的單調(diào)性由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系可得等比數(shù)列的單調(diào)性如下：（1）當(dāng)a1>0,q>1或（2）當(dāng)a1>0,0<q<1或（3）當(dāng)ｑ＝１時(shí)，數(shù)列{a（4）當(dāng)ｑ＜０時(shí)，數(shù)列{a下面，我們利用通項(xiàng)公式解決等比數(shù)列的一些問題.例1若等比數(shù)列{an}的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12分析：等比數(shù)列{an}由a1，q唯一確定，可利用條件列出關(guān)于a解法1：由a4a②的兩邊分別除以①的兩邊，得q解得

q=把q=12代入a此時(shí)a把q=?12代入a此時(shí)a因此，{an}的第5項(xiàng)是2解法2：因?yàn)閍5是a4與a所以a因此，{an}的第5項(xiàng)是2例2已知等比數(shù)列{an}的公比為q，試用{an}解：由題意，得aa②的兩邊分別除以①的兩邊，得a所以a注：a這個(gè)式子也稱為等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣例3數(shù)列{an}共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80，第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136分析：先利用已知條件表示出數(shù)列的各項(xiàng)，再進(jìn)一步根據(jù)條件列方程組求解.解：設(shè)前三項(xiàng)的公比為q，后三項(xiàng)的公差為d，則數(shù)列的各項(xiàng)依次為80于是得80解方程組，得q=2d=16或所以這個(gè)數(shù)列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，48.課堂練習(xí)：1（教材P31T5改編）已知數(shù)列{aa3,a5，a7成等比數(shù)列a1,a3，a9成等比數(shù)列an,an+1，an+2成等比數(shù)列n>3時(shí)，an3,an，an+3成等比數(shù)列答案：B提示：在等比數(shù)列中，若m+n=2p，則am即am拓展（等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)）在等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q（m,n,p,q∈特別地，當(dāng)m+n=2k（m,n,k∈N對(duì)有窮等比數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積，即a2（等比數(shù)列的通項(xiàng)公式）（1）在等比數(shù)列{an}中，aA.3B.4C.5D.6（2）已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a52=a10，2解：(1)因?yàn)閍n=所以12×(解得n＝5.(2)由2an由a5又?jǐn)?shù)列{an}遞增，所以a所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式a答案：(1)C(2)23（等比中項(xiàng)）（1）方程x2±2B.1和4C.2和4D.2和（2）若b是a，c的等比中項(xiàng)，則方程ax2+bx+c=0解：（1）答案：A提示：由韋達(dá)定理可得方程的兩根之積為4，而4=(±2)2，故方程的兩根的等比中項(xiàng)是（2）答案：0提示：因?yàn)閎是a，c的等比中項(xiàng)，所以b2所以，方程ax2+bx+c=0的判別式4（等比數(shù)列的判定與證明）在數(shù)列{an}中，若an>0，且an+1證明：（法一定義法）因?yàn)閍n>0，所以a又因?yàn)閍所以a所以數(shù)列{an+3}（法二等比中項(xiàng)法）因?yàn)閍n>0，所以a又因?yàn)閍所以an+2=4所以an+2即an所以，數(shù)列{an注：證明數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法定義法：an+1a{a等比中項(xiàng)法：an+1古巴比倫人用60進(jìn)制記數(shù)，這里轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制等比中項(xiàng)1前提：三個(gè)數(shù)a，G，b成等比數(shù)列.2結(jié)論：G叫做a與b的等比中項(xiàng).3滿足的關(guān)系式：G類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，說說公比q>0的等比數(shù)列的單調(diào)性.公比q>0且q≠1的等比數(shù)列{a等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示.通過與等差數(shù)列進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、歸納出等比數(shù)列的定義。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。類比等差數(shù)列，得到等比中項(xiàng)的概念。發(fā)