橢圓及其標準方程一、教學目標(一)知識目標使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程．(二)能力目標通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養(yǎng)學生分析探索問題的能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．(三)情感態(tài)度與價值觀通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力．提高學生與生產(chǎn)、生活相結合的能力二、教材分析1．重點：掌握橢圓的定義和橢圓的標準方程，理解坐標的基本思想(解決辦法：用模型演示橢圓，用多媒體給出衛(wèi)星的運轉軌道，再給出橢圓的定義，最后加以強調；對橢圓的標準方程單獨列出加以比較．)2．難點：橢圓的標準方程的推導與化簡；以及坐標法的應用(解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關鍵步驟加以補充說明．)3．疑點：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡．)三、活動設計提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答．四、教學過程(一)橢圓概念的引入問題1：通過觀察多媒體中衛(wèi)星的運轉軌道，能說出他的大致圖形嗎？問題2：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？一般學生能回答：“平面內到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”．對同學提出的軌跡命題如：“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡．”“到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡．”“到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡．”教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神．比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導學生繪圖：取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等……在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距．學生開始只強調主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強調：(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內”．(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．（這里教師可通過多媒體進行演示）(二)橢圓標準方程的推導1．標準方程的推導由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．問題3：觀察橢圓的形狀如何建立適當?shù)淖鴺讼挡拍苁箼E圓的方程更簡單呢？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設點；(2)點的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟．(1)建系設點建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)模詢啥cF1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)．設|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．(2)點的集合由定義不難得出橢圓集合為：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程(4)化簡方程化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：①原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要(a＞b＞0)．關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2．2．兩種標準方程的比較(引導學生歸納)0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到．結論：教師引導學生得出：（1）在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．（2）在兩種標準方程中，都有a>b>0(3)橢圓的焦點總在長軸上,如焦點在X軸上，則焦點坐標為(c,0)，(-c,0)；如焦點在Y軸上，則焦點坐標為(0,c)，(0,-c)（4）a,b,c始終滿足關系式a2-b2=c2(三)例題與練習例題分析例1：平面內兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程．解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3因此，這個橢圓的標準方程是請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分練習1下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是[]由學生口答，答案為D．例2：已知橢圓的兩個焦點坐標分別為（-2，0）（2，0），且過點（5/2，3/2），求它的標準方程練習2：寫出適合下列條件的橢圓的標準方程（1）a=4，b=1，焦點在X軸上（2）a=4，c=3，焦點y軸上(四)小結1．定義：橢圓是平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡．3．圖形如圖4．焦點：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．五、布置作業(yè)1．如圖2-17，在橢圓上的點