求函數(shù)值域的常見方法總結(jié)【觀察法】有的函數(shù)結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以通過基本函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)直接觀察出函數(shù)的值域。例題：求函數(shù)【配方法】配方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法。的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法，解題過程中，要特別關(guān)注自變量的取值范圍。例題：確定函數(shù)（1）的值域；（2）的值域。【分離常數(shù)法】此方法適合與分式函數(shù)的值域問題，思路是用分母表示分子，分離出常數(shù)，使分子不含變量，再借助基本函數(shù)的值域求解。例題：確定下列函數(shù)的值域（1）（2）【判別式法】把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次方程，通過方程有實根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域。形如（不同時為）的函數(shù)的值域常用此法求得。前提是定義域為且分子、分母沒有公因式。例題：求下列函數(shù)的值域（1）（2）【反解法】將視為變量，利用數(shù)式的性質(zhì)或已知函數(shù)的值域求，體現(xiàn)了方程思想。例題：求下列函數(shù)的值域（1）（2）【換元法】運(yùn)用代數(shù)或者三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。形如（均為常數(shù)，且）的函數(shù)常用此法求解。令，且，使之變?yōu)槎魏瘮?shù)，再利用配方法；對于含有的結(jié)構(gòu)的函數(shù)，可利用三角代換，令，，或令，。例題：求下列函數(shù)的值域（1）（2）【不等式法】利用基本不等式，用此法求值域時，要注意條件“一正二定三相等”即①，；②（）為定值；③取等號條件。例題：求下列函數(shù)的值域（1）（）；（2）；（3）（）【單調(diào)性法】先確定函數(shù)的定義域（或定義域的某個子集上）的單調(diào)性，再求出函數(shù)的值域的方法為單調(diào)性法。考慮用單調(diào)性法求值域常見的有（均為常數(shù)，且）看與是否同號，若同號用單調(diào)性求值域，若異號則用換元法求值域；還有在利用重要不等式求值域失效（等號不滿足）的情況下，可采用單調(diào)性求值域，但須熟悉下述結(jié)論。函數(shù)（），，函數(shù)遞減；，函數(shù)遞增。例題：求下列函數(shù)的值域（1）（2）【求導(dǎo)法】當(dāng)一個函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時，可根據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值。例題：設(shè)，試求在上的最大值和最小值。【課堂練習(xí)】1．求下列函數(shù)的值域（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）確定函數(shù)解析式的常見方法【配湊法】根據(jù)具體解析式湊出復(fù)合變量的形式，從而求出解析式。例題：已知，求的表達(dá)式【換元法】換元法就是通過引入一個或幾個新的變量來替換原來的某些量的解題方法，它的基本功能是化難為易、化繁為簡，以快速實現(xiàn)從未知向已知的轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到順利解題的目的。常見的換元法是多種多樣的，諸如：局部換元、整體換元、三角換元、分母換元、平均換元等等，它的應(yīng)用及其廣泛。例題：已知函數(shù)滿足（其中，，），求的表達(dá)式【待定系數(shù)法】已知函數(shù)的特征，求函數(shù)解析式，可用待定系數(shù)法，設(shè)出待定系數(shù)，根據(jù)已知條件建立方程組求出待定系數(shù)的值。例題：設(shè)是一次函數(shù)，且，求?！鞠ā看朔椒ǖ膶嵸|(zhì)是解函數(shù)方程。例題：已知，求的解析式。【賦值法】賦值法是指給定的關(guān)于某些變量的一般關(guān)系式，賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式后，通過運(yùn)算推理，最后得出結(jié)論的一種解題方法。例題：已知，，求。【典型例題】例題1：已知二次函數(shù)滿足，，且的最大值是，試確定此二次函數(shù)。例題2：已知，，求和的表達(dá)式。例題3：已知是定義在上的奇函數(shù)，它在上式一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且當(dāng)時，，，求的解析式。【課后練習(xí)】1、設(shè)二次函數(shù)的最小值為，且，求的解析式。2、已知函數(shù)，，求和的表達(dá)式。3、是定義在上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時，，求當(dāng)時的表達(dá)式。判斷函數(shù)奇偶性的方法【定義法】基本步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域，看定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；（2）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，函數(shù)表達(dá)式能化簡的，則對函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)化簡，以便進(jìn)行判斷；（3）若函數(shù)較復(fù)雜，可利用變形式子，用求和（或差）法，即看與的關(guān)系，或用求商法，即看與的關(guān)系；（4）分段函數(shù)應(yīng)分段討論，要注意根據(jù)的范圍取相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式判斷。例題：判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）；（2）；（3）；（4）；【圖像法】可借助圖像的對稱性來判定函數(shù)的奇偶性：①為奇函數(shù)其圖像關(guān)于原點成中心對稱圖形；②為偶函數(shù)其圖像關(guān)于軸成軸對稱圖形；例題：求函數(shù)【性質(zhì)法】（1）奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；（2）在定義域的公共部分內(nèi)，兩奇函數(shù)的積（或商）為偶函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積（或商）為奇函數(shù)，兩奇函數(shù)（或兩偶函數(shù)）的和、差為奇函數(shù)（偶函數(shù)）。函數(shù)單調(diào)區(qū)間的幾種確定方法【數(shù)形結(jié)合法】數(shù)形結(jié)合法是確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間形象直觀地反映在函數(shù)的圖像中。例題：函數(shù)在區(qū)間上式增函數(shù)，那么的區(qū)間是（）【復(fù)合函數(shù)法】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一般由函數(shù)和的單調(diào)性來確定：（1）當(dāng)和的單調(diào)性相同時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；（2）當(dāng)和的單調(diào)性相反時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；例題：求函數(shù)（且）的單調(diào)區(qū)間。【定義探索法】判斷函數(shù)的單調(diào)性，可根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，即在的定義域內(nèi)