第四章

多元函數(shù)微分學(xué)第四章多元函數(shù)的定義定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．多元函數(shù)的定義定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．專升本高數(shù)第一輪--第四章--多元函數(shù)微分學(xué)課件圖6-15例6示意圖圖6-15例6示意圖（1）鄰域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．（2）區(qū)域概念（1）鄰域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．（2）區(qū)域概念多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限說明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．說明：（1）定義中的方式是任意的例1

求極限解無(wú)窮小乘有界量仍是無(wú)窮小例1求極限解無(wú)窮小乘有界量仍是無(wú)窮小例2解例2解定義設(shè)二元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn)

.則稱二元函數(shù)連續(xù).連續(xù),

多元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)二元函數(shù)定義在D上,如果函數(shù)在D上偏導(dǎo)數(shù)1、偏導(dǎo)數(shù)1、專升本高數(shù)第一輪--第四章--多元函數(shù)微分學(xué)課件解例1

求

在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù).

例2

求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解解例1求在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù).例2求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解2、高階偏導(dǎo)數(shù)混合偏導(dǎo)定義二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).2、高階偏導(dǎo)數(shù)混合偏導(dǎo)定義二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱解例3設(shè)求解例3設(shè)求例4.

求函數(shù)解

:的二階偏導(dǎo)數(shù).例4.求函數(shù)解:的二階偏導(dǎo)數(shù).全微分概念全微分概念例5.

計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例6.

計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

例5.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例6.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱專升本高數(shù)第一輪--第四章--多元函數(shù)微分學(xué)課件解解例9.設(shè)求全導(dǎo)數(shù)解:例9.設(shè)求全導(dǎo)數(shù)解:隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)法則專升本高數(shù)第一輪--第四章--多元函數(shù)微分學(xué)課件解令則解令則多元函數(shù)的極值及其求法二元函數(shù)極值的概念條件極值拉格朗日乘子法多元函數(shù)的極值及其求法二元函數(shù)極值的概念1、二元函數(shù)的極值定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義,對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的任意一點(diǎn)如果則稱函數(shù)在有極大值;如果則稱函數(shù)在有極小值;極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).1、二元函數(shù)的極值定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義,對(duì)于該2、多元函數(shù)取得極值的條件定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)處有極值,的偏導(dǎo)數(shù)必然為零,即則它在該點(diǎn)與一元函數(shù)的情形類似,對(duì)于多元函數(shù),一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).凡是能使2、多元函數(shù)取得極值的條件定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏可偏導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)(定理1），但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)!注意：可偏導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)(定理1），但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)!注時(shí),具有極值定理2(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0

時(shí)取極大值;A>0

時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)時(shí),具有極值定理2(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連條件極值極值問題無(wú)條件極值:條件極值:對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制下面我們要介紹求解一般條件極值問題的拉格朗日乘子法.條件極值極值問題無(wú)條件極值:條件極值:對(duì)自變量只有定拉格朗日乘子法問題:求目標(biāo)函數(shù)在所給條件下的極值.下面介紹拉格朗日函數(shù)即構(gòu)造將條件極值問題化為上述拉格朗日函數(shù)拉格朗日乘數(shù)法來(lái)求解,的無(wú)條件極值