三角形內(nèi)角和定理第七章平行線的證明導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)八年級(jí)數(shù)學(xué)上（BS）教學(xué)課件第2課時(shí)

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解并掌握三角形的外角的定義．（重點(diǎn)）2.掌握三角形的外角的性質(zhì)，利用外角的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和計(jì)算．（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入1.在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,則∠C=

.3.什么是三角形的內(nèi)角？其內(nèi)角和等于多少？48°三角形相鄰兩邊組成的角叫作三角形的內(nèi)角，它們的和是180°.2.如圖，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,

則∠ACB=

，∠ACD=

.ABCD50°130°BDCAO●40°70°？●●●問(wèn)題：發(fā)現(xiàn)懶洋洋獨(dú)自在O處游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先從A前進(jìn)到C處，然后再折回到B處截住懶洋洋返回羊村的去路，紅太狼則直接在A處攔截懶洋洋，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.灰太狼從C處要轉(zhuǎn)多少度角才能直達(dá)B處？利用“三角形的內(nèi)角和為180°”來(lái)求∠BCD，你會(huì)嗎？思考：像∠BCD這樣的角有什么特征嗎？猜想它的性質(zhì).這節(jié)課讓我們一起來(lái)探討吧.BDCAO●40°70°？●●●由三角形內(nèi)角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.講授新課三角形的外角的概念一定義如圖，把△ABC的一邊BC延長(zhǎng)，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一個(gè)外角CBAD問(wèn)題1

如圖，延長(zhǎng)AC到E,∠BCE是不是△ABC的一個(gè)外角？∠DCE是不是△ABC的一個(gè)外角？E在三角形每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角.∠ACD與∠BCE為對(duì)頂角，∠ACD=∠BCE；CBAD∠BCE是△ABC的一個(gè)外角，∠DCE不是△ABC的一個(gè)外角.問(wèn)題2

如圖，∠ACD與∠BCE有什么關(guān)系？在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處有多少個(gè)外角？ABC畫(huà)一畫(huà)

畫(huà)出△ABC的所有外角，共有幾個(gè)呢?

每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角．

每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有2個(gè)，且這2個(gè)角為對(duì)頂角.三角形的外角應(yīng)具備的條件：①角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長(zhǎng)線.∠ACD是△ABC的一個(gè)外角CBAD

每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角．總結(jié)歸納FABCDE如圖,∠BEC是哪個(gè)三角形的外角？∠AEC是哪個(gè)三角形的外角？∠EFD是哪個(gè)三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.練一練三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角三角形的外角的性質(zhì)二問(wèn)題1

如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關(guān)系？∠BCD與∠ACB互補(bǔ).問(wèn)題2

如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關(guān)系？三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行線的方法證明此結(jié)論嗎？D證明：過(guò)C作CE平行于AB，ABC12∴∠1=∠B，（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠A，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.驗(yàn)證結(jié)論如圖，試比較∠2、∠1的大??；如圖，試比較∠3、∠2、∠1的大小.

圖圖解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.拓展探究性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.

ABCD三角形外角的性質(zhì)：∠B+∠C=∠CAD∠CAD>∠B，∠CAD>∠C歸納總結(jié)練一練：說(shuō)出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)：ABCD(((80°60°(21(1)ABC((((2150°32°(2)∠1=40°,∠2=140°∠1=18°,∠2=130°例1如圖,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求證:AD∥BC.ACDBE典例精析例題是運(yùn)用了定理“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”得到了證實(shí).證法一:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和),∠B=∠C(已知),∴∠C=∠EAC(等式的性質(zhì)).∵AD平分∠EAC(已知).∴∠DAC=∠EAC(角平分線的定義).∴∠DAC=∠C(等量代換).∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).證法二:推理可得:∠DAC=∠C(已證),∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形內(nèi)角和定理).∴∠BAC+∠B+∠DAC=180°(等量代換).∴AD∥BC(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).這里是運(yùn)用了定理“同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行”得到了證實(shí).ACDBE例2如圖,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PB，PC.∠B=∠C.求證:∠BPC＞∠A.證明:如圖，延長(zhǎng)BP，交AC于點(diǎn)D.∵∠BPC是△PDC的一個(gè)外角(外角定義),∴∠BPC>∠PDC(三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角).∵∠PDC是△ABD的一個(gè)外角(外角定義),∴∠PDC>∠A(三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角).∴∠BPC>∠A.（不等式的性質(zhì)）ABCPD還有其他證明方法嗎？1.若一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角,則這個(gè)三角形是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無(wú)法確定C2.如圖所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,則∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°FEDCBAB練一練例3如圖,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC

的度數(shù).∵∠BEC是△AEC的一個(gè)外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE，∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一個(gè)外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF，∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.解：FACDEB典例精析例4如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝150°，

∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數(shù)．解析：延長(zhǎng)BP交AC于E或連接AP并延長(zhǎng)，構(gòu)造三角形的外角，再利用外角的性質(zhì)即可求出∠A的度數(shù)．E解：延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE

＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.【變式題】

(一題多解)如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).ABCD(((51°20°30°思路點(diǎn)撥：添加適當(dāng)?shù)妮o助線將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題.ABCD((20°30°解法一：連接AD并延長(zhǎng)于點(diǎn)E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因?yàn)椤螧DC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.E

))12)3)4你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？ABCD(((51°20°30°E

)1解法二：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.解法三:連接延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)F（解題過(guò)程同解法二）.)2F

解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造三角形，利用三角形外角的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化的思想，把未知角與已知角聯(lián)系起來(lái)求解.總結(jié)三角形的外角和三例5如圖，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？解：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.ABCEFD((((((213你還有其他解法嗎？解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213解法三：過(guò)A作AM平行于BC，∠3＝∠4BC1234A∠2＝∠BAM，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°M∠2＋∠

3＝∠

4＋∠BAM，結(jié)論：三角形的外角和等于360°.思考

你能總結(jié)出三角形的外角和的數(shù)量關(guān)系嗎？DEF當(dāng)堂練習(xí)1.判斷下列命題的對(duì)錯(cuò).（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）（2）三角形的外角和等于它的內(nèi)角和的2倍.（）（3）三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和.（）（4）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.（）（5）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角.（）（6）三角形的一個(gè)內(nèi)角小于任何一個(gè)與它不相鄰的外角.（）2.如圖，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F等于（）FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A3.（1）如圖，∠BDC是________

的外角,也是

的外角；(2)若∠B=45°，∠BAE=36°,

∠BCE=20°,試求∠AEC的度數(shù).ABCDE△ADE△ADC解：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)有∠ADC=∠B+∠BCE,∠AEC=∠ADC+∠BAE.所以∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE=45°+20°+36°=101°.解：因?yàn)椤螦DC是△ABD的外角.4

.如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn),∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B的度數(shù)；（2）∠C的度數(shù).在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，∠C=180o-40o-70o=70°.所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又因?yàn)椤螧=∠BAD，ABCDABCDE12FG解：∵∠1是△FBE的外角,∴∠1=∠B+∠E,同理∠2=∠A+∠D.在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180o,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180o.5.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).能力提升：課堂小結(jié)三角形的外角定義角一邊必須是三角形的一邊，另一邊必須是三角形另一邊的延長(zhǎng)線性質(zhì)1.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和三角形的外角和三角形的外角和等于360°2.三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角三角形內(nèi)角和定理

第七章平行線的證明知識(shí)點(diǎn)1

三角形的內(nèi)角和定理1.△ABC中,∠A=∠B+∠C,則對(duì)△ABC的形狀判斷正確的是(A)A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形【變式拓展】已知△ABC中,2(∠B+∠C)=3∠A,則∠A的度數(shù)是(B)A.54° B.72° C.108° D.144°2.如圖,已知在△ABC中,∠A=60°,∠C=70°,點(diǎn)D,E分別在AB和AC上,且DE∥BC.則∠ADE的度數(shù)是(B)A.40° B.50°C.60° D.70°3.已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是2∶3∶4,則這個(gè)三角形中最大角的度數(shù)是

80°

.

知識(shí)點(diǎn)2

三角形的外角性質(zhì)4.如圖,在△ABC中,D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),∠B=40°,∠ACD=120°,則∠A等于(C)A.60° B.70° C.80° D.90°5.如圖所示,在△ABF中,D,E分別是AB,AF上的點(diǎn).DE的延長(zhǎng)線與BF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C,∠1=30°,∠B=60°,∠C=20°,則∠2=

50°

,∠A=

70°

.

6.(改編)如圖,∠1,∠2,∠3之間的大小關(guān)系為

∠2<∠3<∠1

(用“<”連接).

7.(教材母題變式)如圖,AD,CE分別是△ABC的中線和角平分線.若∠B=∠ACB,∠BAC=40°,則∠ACE的度數(shù)是(B)A.20° B.35° C.40° D.70°8.如圖,在△ABC中,∠C=70°.若沿圖中虛線截去∠C,則∠1+∠2等于(B)A.360° B.250° C.180° D.140°9.一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示,若∠3=50°,則∠1+∠2等于(