【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)函數(shù)y=sin的周期是π. (

)(2)將函數(shù)y=sinx圖象上點的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到函數(shù)y=sin2x的圖象. (

)(3)將函數(shù)y=2sin中,初相是.

(

)提示:(1)×.周期為2π.(2)×.得到函數(shù)y=sinx的圖象.(3)×.初相為-.2.函數(shù)y=sin+1的最小正周期為 (

)A.

B.π

C.2π

D.4π【解析】選B.T==π.3.(教材二次開發(fā):例題改編)將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得____的圖象.

【解析】依題意知將y=sinx圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的后可得y=sin6x的圖象.答案:y=sin6x關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象變換(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)【典例】1.將函數(shù)y=sin圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個單位得到的圖象對應(yīng)的解析式是 (

)A.y=sinx B.y=sinC.y=sin2x D.y=sin

2.(2020·白銀高一檢測)把函數(shù)y=sin的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度,所得圖象正好關(guān)于原點對稱,則φ的最小值為________.

【思路導(dǎo)引】1.逐一代入變換條件,求解析式.2.先表示出平移后的解析式,再利用圖象關(guān)于原點對稱求最小值.【解析】1.選B.將函數(shù)y=sin圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),可得y=sin的圖象;再向右平移個單位,得到的圖象對應(yīng)的解析式為y=sin=sin.2.將函數(shù)的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度,可得y=sin的圖象,再根據(jù)所得圖象關(guān)于原點對稱,可得+φ=kπ,k∈Z,當(dāng)φ取最小值時,得+φ=2π,φ=.答案:

【解題策略】(1)變換的要點:①ω(ω>0):縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?②φ:左右平移的單位是.(2)變換的方向:進行圖象變換時還要注意變換的順序,分清是由哪一個函數(shù)變換到另一個函數(shù).【跟蹤訓(xùn)練】1.(2020·汕頭高一檢測)為了得到函數(shù)y=sin的圖象,只要把y=sinx的圖象上所有的點 (

)A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度【解析】選C.y=sin=sin,所以得到函數(shù)y=sin的圖象,只要把y=sinx的圖象上所有的點向左平移個單位.2.(2020·岳陽高一檢測)將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移1個單位長度后得到g(x)的圖象,則g(x)=(

)A.sin(2x-1) B.sin(2x+1)C.sin(2x-2) D.sin(2x+2)【解析】選C.將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移1個單位長度后得到g(x)=sin=sin(2x-2)的圖象,所以g(x)=sin(2x-2).類型二函數(shù)y=sin(ωx+φ)中φ的求法(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)【典例】已知函數(shù)f(x)=sin+1(0<φ<π,ω>0)為偶函數(shù),且函數(shù)f(x)的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.(1)求f的值;(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后,再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.【思路導(dǎo)引】(1)由函數(shù)為偶函數(shù)確定φ-的值進而得到φ的值,再根據(jù)相鄰對稱軸間的距離得出周期,從而求得ω的值便可獲得函數(shù)解析式,最后求得f的值;(2)先根據(jù)圖象變換規(guī)則求出g(x)的解析式,再求單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)因為f(x)為偶函數(shù),所以φ-=kπ+(k∈Z)即φ=kπ+(k∈Z),又0<φ<π,所以φ=,故f(x)=sin+1=cosωx+1,因為函數(shù)f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為,所以T==2×,解得ω=2.因此f(x)=cos2x+1,故f=cos+1=+1.(2)將f(x)的圖象向右平移個單位長度后,得到函數(shù)f的圖象,再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍,縱坐標(biāo)不變,得到f的圖象,所以g(x)=f=cos+1,由2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),解得4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z),故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z).【解題策略】確定y=sin(ωx+φ)中參數(shù)φ的方法(1)把圖象上的一個已知點的坐標(biāo)代入來求;(2)尋找“五點作圖法”中的某一個點來求,具體如下:利用“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)時,令ωx+φ=0;利用“第二點”(即圖象的“峰點”)時,令ωx+φ=;利用“第三點”時,令ωx+φ=π;利用“第四點”(即圖象的“谷點”)時,令ωx+φ=π;利用“第五點”時,令ωx+φ=2π.注意:要觀察題目所給圖象是否適合用“五點作圖法”.【變式探究】本例(2)中,若改為“將f(x)的圖象向右平移φ個單位長度,再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)h(x)的圖象,使h(x)的一個對稱軸為x=-”,求φ的值.【解析】依題意有h(x)=f=cos+1,因為其圖象的對稱軸為x=-,所以·-2φ=kπ,解得φ=--(k∈Z),又因為0<φ<,所以取k=-1得φ=.類型三函數(shù)y=sin(ωx+φ)的性質(zhì)與圖象的應(yīng)用(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)【典例】設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=.(1)求此函數(shù)的解析式;(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.【思路導(dǎo)引】(1)利用相位2x+φ等于kπ+,k∈Z求φ.(2)利用相位2x+φ在正弦函數(shù)y=sinx單調(diào)增區(qū)間內(nèi)求單調(diào)增區(qū)間.【解析】(1)因為x=是函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱軸,所以sin(2×+φ)=±1,所以+φ=kπ+(k∈Z),因為-π<φ<0,所以φ=-.因此y=sin.(2)由(1)知y=sin.由題意得2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),即kπ+≤x≤kπ+π(k∈Z),所以函數(shù)y=sin的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).【解題策略】函數(shù)y=sin(ωx+φ)單調(diào)性問題的解題策略求y=sin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時,首先把x的系數(shù)ω化為正值,然后利用整體代換,把ωx+φ代入相應(yīng)不等式中,求出相應(yīng)的自變量x的范圍.【跟蹤訓(xùn)練】函數(shù)y=sin(ωx+φ)在x∈(0,7π)內(nèi)只取到一個最大值和一個最小值,且當(dāng)x=π時最大值為1,當(dāng)x=6π時,最小值為-1.(1)求此函數(shù)的解析式.(2)求此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】(1)由題意得T=5π,所以T=10π,所以ω=,則y=sin.因為點(π,1)在此函數(shù)圖象上,則sin=1,又因為0≤φ≤,有φ==,所以y=sin.(2)當(dāng)-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,即-4π+10kπ≤x≤π+10kπ,k∈Z時,函數(shù)y=sin單調(diào)遞增.所以此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-4π+10kπ,π+10kπ](k∈Z).1.函數(shù)y=sin(-2x),x∈[0,2π]的簡圖是 (

)課堂檢測·素養(yǎng)達標(biāo)【解析】選D.y=sin(-2x),x∈[0,2π],可得函數(shù)的最小正周期為π,函數(shù)y的圖象為兩個周期,故A,B均錯;由x∈可得2x∈,y=sin(-2x)<0.2.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+),將其圖象向右平移φ(φ>0)個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)為偶函數(shù),則φ的最小值為 (

)A. B. C. D.【解析】選B.由題意得g(x)=sin=sin,因為g(x)為偶函數(shù),所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x=0對稱,所以當(dāng)x=0時,函數(shù)g(x)取得最大值或最小值,所以sin=±1,所以-2φ+=kπ+,k∈Z,解得φ=--,k∈Z,因為φ>0,所以當(dāng)k=-1時φmin=.3.已知函數(shù)y=sin,則該函數(shù)的最小正周期、初相分別是____,______.

【解析】由函數(shù)y=sin的解析式知,最小正周期為T==10π,初相為

.答案:10π

4.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0)在一個周期內(nèi),當(dāng)x=時有最大值1,當(dāng)x=時有最小值-1,則ω=________.

【解析】由題意知T=2×=π,所以ω==2.答案:2九探究ω對y=sinωx的圖象的影響探究φ對y=sin(x+φ)的圖象的影響【基礎(chǔ)通關(guān)—水平一】(15分鐘30分)

1.將函數(shù)y=sin的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得圖象向左平移個單位長度,則所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為(

)A.y=sin

B.y=sin

C.y=sin

x

D.y=sin

課時素養(yǎng)評價【解析】選D.函數(shù)y=sin的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得y=sin的圖象,再將此圖象向左移個單位長度,得y=sin=sin的圖象.2.若x1=,x2=是函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)兩個相鄰的最值點,則ω=(

)A.2

B.

C.1

D.【解析】選A.由題意及函數(shù)y=sinωx的圖象與性質(zhì)可知,T=-,所以T=π,所以=π,所以ω=2.3.函數(shù)f(x)=sin,x∈[-π,0]的單調(diào)遞增區(qū)間是 (

)A.

B.C. D.【解析】選D.令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,又-π≤x≤0所以-≤x≤0.4.已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ≤π)的圖象如圖所示,則φ=_______.【解析】由題意得=2π-π,所以T=π,ω=.又由x=π時y=-1得-1=sin,-<π+φ≤π,所以π+φ=π,所以φ=π.答案:π5.已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin在上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是________.

【解析】結(jié)合y=sinωx的圖象可知y=sinωx在上單調(diào)遞減,而y=sin=sin,可知y=sinωx的圖象向左平移個單位之后可得y=sin的圖象,故y=sin在上單調(diào)遞減,應(yīng)有?

,解得≤ω≤.答案:

6.已知函數(shù)f(x)的圖象上每一點的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍,再把所得的圖象沿x軸向左平移個單位長度,這樣得到的圖象與y=sinx的圖象相同,求f(x)的解析式.【解析】(反過來想)y=sinx的圖象

y=sin的圖象

y=sin的圖象,即所求解析式為y=sin.向右平移個單位橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹灸芰M階—水平二】

(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.若將函數(shù)y=sin(3x+φ)的圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于點對稱,則|φ|的最小值是 (

)A. B. C. D.【解析】選A.將函數(shù)y=sin(3x+φ)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為y=sin=sin,由3x+=kπ(k∈Z),得x=(k∈Z).令=(k∈Z).所以φ=kπ-(k∈Z),|φ|的最小值為.2.將函數(shù)f(x)=sin的圖象分別向左、向右平移φ(φ>0)個單位長度后,所得的圖象都關(guān)于y軸對稱,則φ的最小值分別為 (

)A.

B.C.

D.【解析】選A.函數(shù)f(x)的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度得到函數(shù)g(x)=sin的圖象,向右平移φ(φ>0)個單位長度得函數(shù)h(x)=sin的圖象,于是2φ+=+kπ,k∈Z,-2φ+=+kπ,k∈Z,于是φ的最小值分別為.3.函數(shù)y=sinωx(ω>0)在區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)50個最小值,則ω的最小值是(

)A.98π

B.98.5πC.99.5π

D.100π【解析】選C.由題意得×T≤1即×≤1,所以ω≥99.5π.4.已知曲線C1:y=sinx,C2:y=sin,則下面結(jié)論中正確的是 (

)A.把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2B.把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2C.把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原米的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移