【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)正切函數(shù)的定義域和值域都是R. (

)(2)正切函數(shù)在整個定義域上是增函數(shù). (

)(3)正切函數(shù)在定義域內(nèi)無最大值和最小值. (

)(4)正切函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形. (

)提示:(1)×.正切函數(shù)的定義域為,值域為R,故(1)錯;(2)×.正切函數(shù)在區(qū)間,k∈Z上單調(diào)遞增,但在整個定義域內(nèi)不單調(diào),故(2)錯;(3)√.正切函數(shù)的值域為R,無最大值和最小值,故(3)正確;(4)×.正切函數(shù)的圖象是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形,故(4)錯.2.函數(shù)y=tan的定義域是 (

)A.B.C.D.【解析】選A.由x-≠+kπ,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z.所以y=tan的定義域為

3.函數(shù)y=5tan(2x+1)的最小正周期為 (

)A.

B.

C.π

D.2π【解析】選B.最小正周期T=.4.(教材二次開發(fā):例題改編)函數(shù)y=tan的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】選A.由-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,解得x∈,k∈Z.

關鍵能力·合作學習類型一求正切函數(shù)的定義域(數(shù)學運算)【典例】求函數(shù)的定義域:(1)y=tan;(2)y=.【思路導引】(1)根據(jù)x+≠+kπ,k∈Z求解;(2)根據(jù)正切函數(shù)的圖象解關于正切函數(shù)的不等式即可.【解析】(1)由x+≠kπ+(k∈Z)得x≠kπ+,k∈Z,所以函數(shù)y=tan的定義域為.(2)由-tanx≥0得tanx≤.結合y=tanx的圖象可知在上,滿足tanx≤的角x應滿足-<x≤,所以函數(shù)y=的定義域為.【解題策略】求正切函數(shù)定義域的方法(1)求與正切函數(shù)有關的函數(shù)的定義域時,除了求函數(shù)定義域的一般要求外,還要保證正切函數(shù)y=tanx有意義,即x≠+kπ,k∈Z.而對于構建的不等式,常利用三角函數(shù)的圖象求解.(2)求正切型函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定義域時要將“ωx+φ”視為一個“整體”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z解得x的取值范圍.【跟蹤訓練】(2020·武漢高一檢測)求函數(shù)y=的定義域.【解析】要使函數(shù)有意義,則有1+tanx≠0,所以tanx≠-1,所以x≠kπ-且x≠kπ+,k∈Z.因此函數(shù)y=的定義域為.類型二與正切函數(shù)有關的周期性、奇偶性問題(邏輯推理)【典例】(1)求f(x)=tan的周期;(2)判斷y=sinx+tanx的奇偶性.四步內(nèi)容理解題意條件:已知函數(shù)解析式結論:求函數(shù)的周期或判斷函數(shù)的奇偶性思路探求(1)根據(jù)函數(shù)周期性的定義求解;(2)利用奇偶性的定義判斷.題后反思判斷函數(shù)的奇偶性,除了利用定義外,還可以根據(jù)復合函數(shù)的奇偶性進行判斷.如奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇等.【解題策略】1.函數(shù)f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法:(1)定義法.(2)公式法:對于函數(shù)f(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=.(3)觀察法(或圖象法):觀察函數(shù)的圖象,看自變量間隔多少,函數(shù)值重復出現(xiàn).2.判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域,判斷其是否關于原點對稱.若不對稱,則該函數(shù)無奇偶性,若對稱,再判斷f(-x)與f(x)的關系.【跟蹤訓練】判斷函數(shù)f(x)=lg的奇偶性.【解析】由>0得tanx>1或tanx<-1.所以函數(shù)定義域為∪(k∈Z),關于原點對稱.f(-x)+f(x)=lg+lg=lg=lg1=0.所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).類型三正切函數(shù)的單調(diào)性及應用(邏輯推理、直觀想象)角度1求單調(diào)區(qū)間

【典例】(2020·濰坊高一檢測)求函數(shù)y=tan的單調(diào)區(qū)間.【思路導引】利用整體法,根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性進行求解.【解析】y=tan=-tan,由kπ-<x-<kπ+(k∈Z)得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,所以函數(shù)y=tan的單調(diào)遞減區(qū)間是,k∈Z.角度2比較大小

【典例】比較tan與tan的大小.【思路導引】利用誘導公式及正切函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【解析】tan=tan=tan=-tan,tan=tan=tan=-tan,因為0<<<且y=tanx在內(nèi)遞增,tan<tan,所以-tan>-tan,所以tan>tan.角度3求最值或值域

【典例】(2020·合肥高一檢測)已知f(x)=tan2x-2tanx,求f(x)的值域.【思路導引】利用換元法轉化為二次函數(shù)求值域問題來解決.【解析】令u=tanx,因為|x|≤,所以u∈[-,],所以函數(shù)化為y=u2-2u.對稱軸為u=1∈[-,].所以當u=1時,ymin=12-2×1=-1.當u=-時,ymax=3+2.所以f(x)的值域為[-1,3+2].【變式探究】若將本例中的x改為x∈,結果又將如何?【解析】令u=tanx,易得u∈[0,1],當u=1時,ymin=12-2×1=-1.當u=0時,ymax=0.所以f(x)的值域為[-1,0].【解題策略】1.求函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法(1)若ω>0,由于y=tanx在每一個單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù),故可用“整體代換”的思想,令kπ-<ωx+φ<kπ+,求得x的范圍即可.(2)若ω<0,可利用誘導公式先把y=Atan(ωx+φ)轉化為y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系數(shù)化為正值,再利用“整體代換”的思想,求得x的范圍即可.2.運用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的方法(1)運用函數(shù)的周期性或誘導公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).(2)運用單調(diào)性比較大小關系.1.(2020·南昌高一檢測)在tan,tan,tan,tan中值最大的是 (

)

A.tan B.tanC.tan D.tan【解析】選B.由題知,因為0<<<<<<π,故tan,tan>0且tan,tan<0.又正切函數(shù)在上單調(diào)遞增,故tan<tan.故tan最大.2.(2020·上海高一檢測)求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)y=tan;(2)y=lgtanx.【解析】(1)y=tan=-tan,由kπ-<2x-<kπ+,k∈Z,解得

-<x<+,k∈Z.故y=tan的單調(diào)遞減區(qū)間為,k∈Z.(2)因為y=lgx為增函數(shù)且x>0.故y=lgtanx的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.3.(2020·長沙高一檢測)求函數(shù)f(x)=tan2x+2tanx+5在x∈時的值域.【解析】因為x∈,所以tanx∈[1,+∞),因為f(x)=tan2x+2tanx+5=+4,所以tanx=1時,f(x)min=8,函數(shù)無最大值,所以值域為[8,+∞).1.在(0,π)內(nèi),使tanx>-成立的x的取值范圍為 (

)

A. B.∪C.∪ D.【解析】選B.畫出y=tanx(0<x<π)和直線y=-的圖象,由圖象可得tanx>-,在(0,π)上解集為∪.課堂檢測·素養(yǎng)達標2.函數(shù)y=tan是 (

)A.最小正周期為4π的奇函數(shù)B.最小正周期為2π的奇函數(shù)C.最小正周期為4π的偶函數(shù)D.最小正周期為2π的偶函數(shù)【解析】選B.該函數(shù)為奇函數(shù),其最小正周期為T==2π.

3.關于函數(shù)y=tan,下列說法正確的是 (

)A.是奇函數(shù)B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.為其圖象的一個對稱中心D.最小正周期為π【解析】選C.2×+=,所以是函數(shù)y=tan圖象的一個對稱中心.4.設函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則k=________.

【解析】已知tanx和f(x)都是奇函數(shù),且定義域的交集關于原點對稱,由奇偶性的運算性質(zhì),得(x+2)(x+k)=f(x)tanx是偶函數(shù),則(x+2)(x+k)=x2+(k+2)x+2k的對稱軸為y軸,所以k+2=0,即k=-2.答案:-25.(教材二次開發(fā):練習改編)(2020·西安高一檢測)不通過求值,比較下列各組中兩個正切值的大小.(1)tan與tan;(2)tan與tan.【解析】(1)-90°<-52°<-47°<0°,且y=tanx在內(nèi)為增函數(shù),所以tan<tan.(2)tan=tan=tan,tan=tan=tanπ,因為0<<π<且y=tanx在內(nèi)為增函數(shù),所以tan<tanπ,故tanπ<tan

.十二正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)【基礎通關—水平一】(15分鐘30分)1.(2020·青島高一檢測)與函數(shù)y=tan的圖象不相交的一條直線是(

)

A.x= B.x=-C.x= D.x=【解析】選D.當x=時,2x+=,而的正切值不存在,所以直線x=與函數(shù)y=tan的圖象不相交.課時素養(yǎng)評價2.已知函數(shù):①y=tanx;②y=sin;③y=;④y=,其中周期為π,且在上單調(diào)遞增的是 (

)A.①② B.①③ C.①②③ D.①③④【解析】選B.對于①,y=tanx周期為π,由正切函數(shù)的圖象可得在上單調(diào)遞增,所以①正確;對于②,y=sin為偶函數(shù),根據(jù)圖象判斷它不是周期函數(shù),所以②不正確;對于③,由于函數(shù)y=周期為·2π=π,利用正弦函數(shù)的圖象可得在上單調(diào)遞增,故③正確;對于④,y=的周期為π,利用余弦函數(shù)的圖象可得在上單調(diào)遞減,故④不正確.3.下列關于函數(shù)y=tan的說法正確的是 (

)A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.最小正周期是πC.圖象關于點成中心對稱D.圖象關于直線x=成軸對稱【解析】選B.kπ-<x+<kπ+,k∈Z,解得kπ-<x<kπ+,k∈Z,顯然不滿足上述關系式,故A錯誤;易知該函數(shù)的最小正周期為π,故B正確;令x+=,解得x=-,k∈Z,任取k值不能得到x=,故C錯誤;正切曲線沒有對稱軸,因此函數(shù)y=tan的圖象也沒有對稱軸,故D錯誤.4.函數(shù)y=2tan,x∈的值域是 (

)A. B.C. D.【解析】選C.對于函數(shù)y=2tan,因為x∈,所以x-∈,所以y=2tan∈.5.直線y=a(a為常數(shù))與函數(shù)y=tanωx(ω>0)的圖象相鄰兩支的交點的距離為______.

【解析】直線y=a與函數(shù)y=tanωx的圖象相鄰兩支的交點的距離正好是一個周期.答案:

6.(2020·寧波高一檢測)函數(shù)y=lg的定義域為________.

【解析】由題可知-tanx>0,所以tanx<.所以-+kπ<x<+kπ,k∈Z,所以函數(shù)的定義域是.答案:

【能力進階—水平二】(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.在下列函數(shù)中,同時滿足以下三個條件的是 (

)①在上單調(diào)遞增;②以2π為周期;③是奇函數(shù).A.y=tanx B.y=cosxC.y=tan

D.y=-tanx【解析】選C.對A,y=tanx周期為π,不滿足②,故排除A;對B,y=cosx在

上單調(diào)遞減,且為偶函數(shù),故排除B;對C,y=tan

滿足條件.對D,y=-tanx在上單調(diào)遞減,且周期為π,故排除D.2.(2020·寧波高一檢測)已知函數(shù)f=tan,則下列說法錯誤的是(

)A.函數(shù)f的最小正周期為B.函數(shù)f的值域為RC.點是函數(shù)f的圖象的一個對稱中心D.f<f【解析】選D.因為f=tan,所以函數(shù)f的最小正周期T=,故A正確.由正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知函數(shù)f的值域為R,故B正確.由2x-=,k∈Z,得x=+,k∈Z,當k=0時x=,所以點是函數(shù)f的圖象的一個對稱中心,故C正確.因為f=tan=tan>0,f=tan=tan<0,所以f>f,故D不正確.3.(2020·北京高一檢測)已知函數(shù)f(x)=-2tan(2x+φ),,其函數(shù)圖象的一個對稱中心是,則該函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是(

)A. B.C.D.【解析】選D.因為是函數(shù)的對稱中心,所以2×+φ=(k∈Z),解得φ=-(k∈Z),因為0<φ<,所以φ=,f(x)=-2tan,令-+kπ<2x+<+kπ(k∈Z),解得-+<x<+(k∈Z),當k=0時函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是.4.已知a=tan2,b=tan3,c=tan5,不通過求值,判斷下列大小關系正確的是

(

)A.a>b>c B.a<b<cC.