第13講函數(shù)與方程激活思維1.(人A必一P143例1改)f(x)＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(B)A.0 B.1C.2 D.3【解析】因?yàn)閒(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＞0，所以f(x)在(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)．又因?yàn)閒(x)為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn)．2.若x0是方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＝eq\r(x)的解，則x0所在的區(qū)間是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))【解析】構(gòu)造函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－eq\r(x)，易知定義域?yàn)閇0，＋∞)，且f(x)是減函數(shù)．因?yàn)閒(0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0－eq\r(0)＝1>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up7(\f(1,3))－eq\r(\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up7(\f(1,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up7(\f(1,2))>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up7(\f(1,2))－eq\r(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up7(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(1,2))<0，所以由零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－eq\r(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))上存在零點(diǎn)．3.(人A必一P155習(xí)題2改)(多選)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)值表：x123f(x)136.13615.552－3.92x456f(x)10.88－52.488－232.064在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點(diǎn)的區(qū)間為(BCD)A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)【解析】由所給的函數(shù)值的表格可以看出，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，所以函數(shù)f(x)在(2,3)，(3,4)，(4,5)內(nèi)必有零點(diǎn)．4.(人A必一P160復(fù)習(xí)參考題5(3))已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為(B)A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.b>a>c【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝2x，y＝log2x，y＝x3及y＝－x的圖象，如圖所示，由圖象可知b>c>a.(第4題)5.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x<2，,\f(6,x)，x≥2，))若方程f(x)－a＝0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(A)A.(0,1) B.(0,2)C.(0,3) D.(1,3)【解析】若方程f(x)－a＝0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a有3個(gè)不同的交點(diǎn)．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y＝f(x)的圖象與直線y＝a，如圖所示．由圖可得，若函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則0<a<1.(第5題)基礎(chǔ)回歸1.函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)，也等價(jià)于方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根.2.如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此時(shí)c就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．但反之，不成立．3.函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件．4.常用結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)．舉題說法函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定例1(1)函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(B)A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)【解析】函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2的定義域?yàn)?0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，圖象是一條連續(xù)曲線．由題意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)f(x)＝log3x＋x－2有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)．(2)已知函數(shù)f(x)＝e－x－2x－5的零點(diǎn)位于區(qū)間(m，m＋1)(m∈Z)上，則m等于(A)A.－2 B.－1C.0 D.1【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝e－x－2x－5是連續(xù)減函數(shù)，f(－2)＝e2－1>0，f(－1)＝e－3<0，所以f(－2)·f(－1)<0，函數(shù)f(x)＝e－x－2x－5的零點(diǎn)位于區(qū)間(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2.確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法：(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0易解時(shí)，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上．(2)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，判斷圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)．變式在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋3x－4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(C)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))【解析】由題意知f(x)＝ex＋3x－4為R上的增函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(e)－eq\f(5,2)<0，f(1)＝e－1>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·f(1)<0，所以由零點(diǎn)存在性定理知f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)．函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定例2(2022·重慶三模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≤0，,|log2x|，x＞0，))則函數(shù)g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(C)A.0 B.1C.2 D.3【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，令g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\f(1,2)＝0，解得x＝1，舍去；當(dāng)x>0時(shí)，令g(x)＝|log2x|－eq\f(1,2)＝0，解得x＝eq\r(,2)或x＝eq\f(\r(,2),2)，滿足x>0，所以x＝eq\r(,2)或x＝eq\f(\r(,2),2).綜上，函數(shù)g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理，應(yīng)注意：滿足條件的零點(diǎn)可能不唯一；不滿足條件時(shí)，也可能有零點(diǎn)；(3)作出兩函數(shù)的圖象，觀察其交點(diǎn)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．變式函數(shù)y＝|x＋1|－2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(D)A.0 B.1C.2 D.3【解析】由y＝|x＋1|－2x＝0可得|x＋1|＝2x，所以函數(shù)y＝|x＋1|－2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為方程|x＋1|＝2x的根的個(gè)數(shù)，也即為兩個(gè)函數(shù)y1＝|x＋1|，y2＝2x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)y1＝|x＋1|，y2＝2x的圖象，如圖所示，由圖可知函數(shù)y1＝|x＋1|，y2＝2x的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)y＝|x＋1|－2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.(變式)利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)例3已知函數(shù)f(x)＝|x－1|·(x＋1)，若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的值為(D)A.0 B.1C.0和－1 D.0和1【解析】f(x)＝|x－1|·(x＋1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x>1，,－x2－1，x≤1，))畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象得k＝1或k＝0時(shí)，方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．(例3)已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)取值范圍；(2)值域法：將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合求解．1.(2022·潮州二模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,ln2x，x>0，))若函數(shù)F(x)＝f(x)－a的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(A)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，ln2)) B.(0,1)C.(ln2,1) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))【解析】作出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,ln2x，x>0))的圖象，如圖所示．令f(x)＝a，在區(qū)間(－1,0)內(nèi)時(shí)，ex＝a，x＝lna，可知－1<lna<0，所以eq\f(1,e)<a<1.在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)時(shí)，ln2x＝a，x＝eq\f(ea,2)，可知eq\f(1,2)<eq\f(ea,2)<1，解得1<ea<2，所以0<a<ln2.綜上，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，ln2)).(第1題)2.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(C)A.[－1,0) B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)【解析】由g(x)＝0，得f(x)＝－x－a，作出函數(shù)f(x)的圖象和直線y＝－x－a，如圖所示．(第2題)由圖可知，當(dāng)直線y＝－x－a的截距－a≤1，即a≥－1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1，＋∞)．3.(2022·鞍山二測)(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|，0<x<2，,x2－8x＋13，x≥2，))若f(x)＝a有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，x4，且滿足x1<x2<x3<x4，則下列結(jié)論正確的是(ACD)A.0<a<1B.x1＋2x2∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(,2)，\f(9,2)))C.x1＋x2＋x3＋x4∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(21,2)))D.2x1＋x2∈[2eq\r(,2)，3)【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f(x)，y＝a的圖象，如圖所示．(第3題)由圖象知，若f(x)＝a有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則0<a<1，故A正確；因?yàn)閨log2x1|＝|log2x2|，即－log2x1＝log2x2，則eq\f(1,x1)＝x2，所以x1＋2x2＝eq\f(1,x2)＋2x2,1<x2<2，因?yàn)閥＝eq\f(1,x2)＋2x2在(1,2)上單調(diào)遞增，所以eq\f(1,x2)＋2x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(9,2)))，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閤1＋x2＝eq\f(1,x2)＋x2,1<x2<2，y＝eq\f(1,x2)＋x2在(1,2)上單調(diào)遞增，所以eq\f(1,x2)＋x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))，而x3＋x4＝8，所以x1＋x2＋x3＋x4∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(21,2)))，故C正確；因?yàn)?x1＋x2＝eq\f(2,x2)＋x2,1<x2<2，y＝eq\f(2,x2)＋x2在(1，eq\r(,2))上單調(diào)遞減，在(eq\r(,2)，2)上單調(diào)遞增，則eq\f(2,x2)＋x2∈[2eq\r(,2)，3)，故D正確．*備選嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題例4已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ln－x－1，x<－1，,2x＋1，x≥－1，))若函數(shù)g(x)＝f(f(x))－a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1，＋∞).【解析】設(shè)t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，得a＝f(t)．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝a，y＝f(t)的圖象(如圖)．當(dāng)a≥－1時(shí)，y＝a與y＝f(t)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．(例4)設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t1，t2(不妨設(shè)t2>t1)，則t1<－1，t2≥－1.當(dāng)t1<－1時(shí)，t1＝f(x)有一解；當(dāng)t2≥－1時(shí)，t2＝f(x)有兩解．綜上，當(dāng)a≥－1時(shí)，函數(shù)g(x)＝f(f(x))－a有三個(gè)不同的零點(diǎn)．對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解．對(duì)于復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，求解思路如下：(1)確定內(nèi)層函數(shù)u＝g(x)和外層函數(shù)y＝f(u)；(2)確定外層函數(shù)y＝f(u)的零點(diǎn)u＝ui(i＝1,2,3，…，n)；(3)確定直線u＝ui(i＝1,2,3，…，n)與內(nèi)層函數(shù)u＝g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為a1，a2，a3，…，an，則函數(shù)y＝f(g(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為a1＋a2＋a3＋…＋an.變式已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2|x－4|，x≠4，,1，x＝4，))若關(guān)于x的方程f2(x)＋mf(x)＋n＝0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，x4，x5，則x1＋x2＋x3＋x4＋x5的值為(C)A.12 B.16C.20 D.24【解析】設(shè)t＝f(x)，則關(guān)于x的方程f2(x)＋mf(x)＋n＝0等價(jià)于t2＋mt＋n＝0，作出f(x)的圖象(如圖)．由圖象可知當(dāng)t＝1時(shí)，方程f(x)＝1有3個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)t≠1時(shí)，方程f(x)＝t有2個(gè)不同的實(shí)根，所以若關(guān)于x的方程f2(x)＋mf(x)＋n＝0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，x4，x5，則等價(jià)于t2＋mt＋n＝0有2個(gè)根，一個(gè)根為t＝1，另外一個(gè)根為t≠1.不妨設(shè)x1<x2<x3<x4<x5，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)根x1與x5，x2與x4分別關(guān)于x＝4對(duì)稱，且x3＝4，則x1＋x5＝8，x2＋x4＝8，故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝20.(變式)隨堂內(nèi)化1.函數(shù)f(x)＝lnx與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(B)A.3 B.2C.1 D.0【解析】由題知g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)＝lnx與g(x)＝(x－2)2的圖象，如圖所示，由圖可知兩個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．(第1題)2.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，則f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(C)A.(0,1) B.(2,3)C.(3,4) D.(4，＋∞)【解析】易知f(x)是減函數(shù)，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝eq\f(3,2)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)<0，故f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(3,4)．3.已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點(diǎn)，則a等于(C)A.－eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.1(提示：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱)【解析】由題知f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，則f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋