空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.了解空間直角坐標(biāo)系，理解空間向量的坐標(biāo)表示，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；2.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；3.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)；4.掌握空間向量的模夾角以及兩點(diǎn)間距離公式，能運(yùn)用公式解決問題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng)。重點(diǎn)：理解空間向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算難點(diǎn)：運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的立體幾何問題閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容。問題1：在平面向量中，我們借助平面直角坐標(biāo)系得到了平面向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算．在平面直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示向量呢？【答案】在平面直角坐標(biāo)系中，分別取x軸、y軸正方向上的單位向量i，j作為基底，由平面向量基本定理可知，平面內(nèi)任一向量a，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)（x，y），使a＝xi＋yj．實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）叫作向量a在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作a＝（x，y）．問題2：類似于平面向量基本定理，類比推廣到空間向量基本定理，能否將平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示向量類比推廣到空間呢？知識(shí)點(diǎn)一空間直角坐標(biāo)系在空間中選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}．以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较颉⒁运鼈兊拈L(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣我們就建立了空間直角坐標(biāo)系．(1)空間直角坐標(biāo)系的定義：在空間中選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较?、以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸．這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz，O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．(2)畫法：畫空間直角坐標(biāo)系O-xyz時(shí)，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)右手直角坐標(biāo)系：在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)軸為右手直角坐標(biāo)系．本書建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系．(4)空間點(diǎn)的坐標(biāo)表示：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．(5)空間向量的坐標(biāo)表示：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記為a＝(x，y，z)．【探究1】與坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面垂直的向量坐標(biāo)有何特點(diǎn)？【提示】xOy平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y,0)，xOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0，z)，yOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y，z)，x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0,0)，y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y,0)，z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0，z)．【探究2】在空間直角坐標(biāo)系中,向量OP的坐標(biāo)與終點(diǎn)P的坐標(biāo)有何關(guān)系?【提示】相同。1.若a=3i+2jk,且{i,j,k}為空間的一個(gè)單位正交基底,則a的坐標(biāo)為.

【答案】(3,2,1)知識(shí)點(diǎn)二空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1、若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)．(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(5)若b≠0，則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．(6)若a⊥b，則有a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(7)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).(8)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中的范圍是②.③用此公式求異面直線所成角等角度時(shí)，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。=4\*GB3④與任意空間向量平行或垂直【思考】若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，則eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)對(duì)嗎？【提示】不一定正確，因?yàn)閎1，b2，b3可能為0，只有b1≠0，b2≠0，b3≠0時(shí)才有eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)成立．2、若，則①即:一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。②，或.兩點(diǎn)間距離公式是模長(zhǎng)公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長(zhǎng)公式推出。3、空間線段中點(diǎn)坐標(biāo)空間中有兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.已知棱長(zhǎng)為1正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試完成下列問題：試求出正方體各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若是的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，=此時(shí)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為若，則的坐標(biāo)為，若是線段上一點(diǎn)，若，則的坐標(biāo)為【答案】1、A（1,0,0），B（1,1,0），C（0，1,0），D（0,0,0），A1（1,0,1），B1（1,1,1），C1（0,1,1），D1（0,0,1），，1考點(diǎn)一求空間點(diǎn)的坐標(biāo)角度1根據(jù)空間直角坐標(biāo)系求坐標(biāo)例1如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐的底面是正方形，平面，且，若，則點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算.【詳解】由題意得，，所以，所以，所以的坐標(biāo)為．故選：B．求空間點(diǎn)、向量的坐標(biāo)一般步驟(1)建系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；(2)運(yùn)算：找出點(diǎn)在x軸、y軸、z軸上的射影的坐標(biāo)；綜合利用向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算表示向量；(3)定結(jié)果：根據(jù)射影坐標(biāo)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；將所求向量用已知的基底向量表示出來確定坐標(biāo).【對(duì)點(diǎn)演練】1.正方體的棱長(zhǎng)為2，是上的點(diǎn)，且，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】D2.已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為10，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】∵正四棱錐P－ABCD的底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為10，∴正四棱錐的高為2eq\r(23).則正四棱錐各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,2eq\r(23))．角度2根據(jù)對(duì)稱性求坐標(biāo)例2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(－2,1,4)．(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．解(1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱后，它在x軸的分量不變，在y軸，z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為P1(－2，－1，－4)．(2)由點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱后，它在x軸，y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為P2(－2,1，－4)．(3)設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐標(biāo)為(6，－3，－12)．【對(duì)點(diǎn)演練】1、已知空間點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空間直角坐標(biāo)系點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的特點(diǎn)求解作答.【詳解】依題意，點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D2、已知點(diǎn)P(2,3，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為P1，點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)為P2，點(diǎn)P2關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為P3，則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為________．答案(2，－3,1)解析點(diǎn)P(2,3，－1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2,3,1)，點(diǎn)P1關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－2,3,1)，點(diǎn)P2關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)P3的坐標(biāo)是(2，－3,1)．角度3根據(jù)向量的運(yùn)算求坐標(biāo)例3（2023北京高二北京第一六一中期中）已知平行四邊形，且，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，由題意得：，即，解得：，故頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D【對(duì)點(diǎn)演練】1.已知點(diǎn)，向量，則點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】D2.若空間一點(diǎn)在軸上，則（）A．1B．0C．D．【答案】D3、（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）平行六面體中，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，∵，又，∴，解得，即.故選：B.4.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，向量，且平行四邊形OACB對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖：因?yàn)橄蛄?，向量，且平行四邊形OACB對(duì)角線的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，所以，解得，所以.故選：A5.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若?，點(diǎn)C在線段AB上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是___________.【答案】【解析】點(diǎn)?，為線段上一點(diǎn)，且，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，則，即，解得，即；故答案為：．考點(diǎn)二求空間向量的坐標(biāo)例4.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M為BC1的中點(diǎn)，N為A1B1的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))的坐標(biāo)．解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝i，eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝j(luò)，eq\f(1,4)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝k，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)，∴eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4)．【對(duì)點(diǎn)演練】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為棱BB1，DC的中點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系．(1)寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)寫出向量eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(B1F,\s\up6(→))，eq\o(A1E,\s\up6(→))的坐標(biāo)．【解析】(1)設(shè)x軸，y軸，z軸的單位向量分別為i，j，k.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＝2i，eq\o(DC,\s\up6(→))＝2j，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝2k.因?yàn)镈(0,0,0)，所以A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)．又因?yàn)閑q\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝2i＋2j，所以B(2,2,0)．同理可得，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)．(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱BB1，DC的中點(diǎn)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))－(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝－2i－j－k＝(－2，－1，－1)，eq\o(B1F,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DB1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))－(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝－2i－j－2k＝(－2，－1，－2)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(DD1,\s\up6(→))＝2j－k＝(0,2，－1)．所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－2，－1，－1)，eq\o(B1F,\s\up6(→))＝(－2，－1，－2)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝(0,2，－1)．考點(diǎn)三空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示例5.已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，則＝（）A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)【答案】A【解析】．故選：A【對(duì)點(diǎn)演練】1.（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，則向量（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以向量．故選：B.2.若，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算求即可.【詳解】.故選：D考點(diǎn)四空間向量的共線與共面例6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，，若與共線，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C． D．2【答案】B【解析】∵，，∴，.∵與共線，∴，即.故選：B.【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023·福建漳州·高二?？计谥校┡c向量共線的單位向量可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋耘c向量共線的單位向量可以是或.故選：D【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·河南安陽·高二安陽一中校聯(lián)考開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，若三點(diǎn)共線，則有，得，解得，，.故選：B例7（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，若四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)為_______.【答案】8【分析】根據(jù)空間中四點(diǎn)共面可得向量共面，進(jìn)而可求解.【詳解】四點(diǎn)共面，存在實(shí)數(shù)，使得，，解得.故答案為：8【對(duì)點(diǎn)演練1】（2022·福建寧德·高二期中）若向量，，，且、、共面，則______．【答案】【分析】設(shè)，可得出關(guān)于、、的方程組，即可解得的值.【詳解】因?yàn)?、、共面，設(shè)，其中、，所以，，解得.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)演練2】（2022·全國(guó)·高二期末）已知，，，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則λ=___________.【答案】【分析】由已知可得共面，根據(jù)共面向量的基本定理，即可求解.【詳解】由P，A，B，C四點(diǎn)共面，可得共面，，，解得.故答案為：考點(diǎn)五空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示角度1求空間向量的數(shù)量積例8.若，，，則的值為（）A．B．5C．7D．36【答案】B【對(duì)點(diǎn)演練】1.)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，則(2a＋3b)·(a－2b)＝________.答案(1)－244解析(1)(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－244.【對(duì)點(diǎn)演練】1已知向量，，若，則k的值等于（）A．1B．C．D．【答案】D2.（2023·廣東佛山·高二佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┮阎臻g直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，則，設(shè)，于是有，因?yàn)?，，所以，，因此，，于是得，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)Q，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：C角度2求空間向量的投影向量例9．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出向量在向量上的投影，再求解向量在向量上的投影向量即可．【詳解】因?yàn)椋?，，，2，，則向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量是．故選：．【對(duì)點(diǎn)演練1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求出向量在向量上的投影，從而求出投影向量，【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以向量在向量上的投影為設(shè)向量在向量上的投影向量為，則且，所以，所以，解得所以故選：B【對(duì)點(diǎn)演練2】已知，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C【對(duì)點(diǎn)演練3】在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，已知向量，，求向量在和上的投影．【答案】－2；3.【分析】求出坐標(biāo)，利用投影公式即可計(jì)算.【詳解】，在上的投影為，在上的投影為角度3空間向量的夾角問題例10（1）（2022·四川內(nèi)江·高二期末（理））已知，，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用空間向量的夾角余弦值公式即可求得.【詳解】解：，，.故選：B.（2）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H是C1G的中點(diǎn)．(1)求FH的長(zhǎng)；(2)求EF與C1G所成角的余弦值．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決．【解析】如圖所示，以DA，DC，DD1為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，E(0,0，eq\f(1,2))，F(xiàn)(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，eq\f(3,4)，0)．(1)∵H是C1G的中點(diǎn)，∴H.又F，∴FH＝|eq\o(FH,\s\up6(→))|＝＝eq\f(\r(41),8).(2)∵eq\o(C1G,\s\up6(→))＝，則|eq\o(C1G,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(17),4).又|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，且eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(C1G,\s\up6(→))＝eq\f(3,8)，∴cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(C1G,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(C1G,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))||\o(C1G,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(51),17)，即EF與C1G所成角的余弦值為eq\f(\r(51),17).運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問題的一般步驟(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫出向量的坐標(biāo)；(3)論證、計(jì)算：結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；(4)轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．【對(duì)點(diǎn)演練】1．（2022·江蘇宿遷·高二期中）若向量，，則向量與的夾角為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】利用向量數(shù)量積的定義，直接計(jì)算即可.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，且，所以，，所以，故選：D2..若向量，，，，，，且與的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為A． B．11 C．3 D．或11【答案】A【解析】向量，，，，，，，，，且與的夾角余弦值為，，整理得，解得或（不合題意，舍去），的值為．3.已知，，且，則向量與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】C4．已知，，向量與的夾角，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量夾角的坐標(biāo)表示直接計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角，所以又，解得.故選：B5.已知向量，若a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_____________．答案解析由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－eq\f(52,5)，因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以a·b<0，即3t－eq\f(52,5)<0，所以t<eq\f(52,15).若a與b的夾角為180°，則存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，即(5,3,1)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，t，－\f(2,5)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝－2λ，,3＝tλ，,1＝－\f(2,5)λ，))所以t＝－eq\f(6,5)，故t的取值范圍是6.如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N為A1A的中點(diǎn)．(1)求BN的長(zhǎng)；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值．【解析】如圖，以eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→))為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.(1)依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\r(1－02＋0－12＋1－02)＝eq\r(3)，∴線段BN的長(zhǎng)為eq\r(3).(2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(1，－1,2)，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(0,1,2)，∴eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up6(→))·\o(CB1,\s\up6(→)),|\o(BA1,\s\up6(→))||\o(CB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(30),10).故A1B與B1C所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).角度4平行與垂直問題例11已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c；(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.【解析】(1)因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－1,2)，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以設(shè)c＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c|＝eq\r(－2λ2＋－λ2＋2λ2)＝3|λ|＝3，解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)因?yàn)閍＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．又因?yàn)?ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－eq\f(5,2).(1)平行與垂直的判斷①應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線．②判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.(2)平行與垂直的應(yīng)用①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)a＝λb)，建立關(guān)于參數(shù)的方程．②選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的．【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，若，則______.【答案】/【解析】空間向量，，由，得，解得，所以.故答案為：【對(duì)點(diǎn)演練2】已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若AB→∥AC→，則y﹣2A．﹣20 B．﹣17 C．11 D．4【解答】解：∵A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），∴AB→=(-1，∵AB→∥AC→，∴-12=2y-1=-2z-3，解得y＝﹣3【對(duì)點(diǎn)演練3】已知向量a→=（1，1，0），b→=（﹣1，0，2），且ka→-A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2【解答】解：向量a→=（1，1，0），b→=（1，0，2），∴ka→-b→=（k﹣1，k，﹣2），2a→+b→=（3，2，2），∵k【對(duì)點(diǎn)演練4】正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點(diǎn)，P，Q分別為線段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3eq\o(B1P,\s\up6(→))＝eq\o(PD1,\s\up6(→))，若PQ⊥AE，eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(DQ,\s\up6(→))，求λ的值．【解析】如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a,1)，因?yàn)?eq\o(B1P,\s\up6(→))＝eq\o(PD1,\s\up6(→))，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得a＝eq\f(3,4)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b，b,0)，因?yàn)镻Q⊥AE，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝0，所以＝0，解得b＝eq\f(1,4)，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(DQ,\s\up6(→))，所以(－1，－1,0)＝λ，所以eq\f(λ,4)＝－1，故λ＝－4.【變式】若G是A1D的中點(diǎn)，點(diǎn)H在平面xDy上，且GH∥BD1，試判斷點(diǎn)H的位置．【解析】因?yàn)镚是A1D的中點(diǎn)，所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2))，因?yàn)辄c(diǎn)H在平面xDy上，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(m，n,0)，因?yàn)閑q\o(GH,\s\up6(→))＝(m，n,0)－(eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2))＝(m－eq\f(1,2)，n，－eq\f(1,2))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)且eq\o(GH,\s\up6(→))∥eq\o(BD1,\s\up6(→))，所以eq\f(m－\f(1,2),－1)＝eq\f(n,－1)＝eq\f(－\f(1,2),1)，解得m＝1，n＝eq\f(1,2).所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1，eq\f(1,2)，0)，所以H為線段AB的中點(diǎn)．角度5空間向量的長(zhǎng)度（模）問題例12.設(shè)、，向量，，且，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)椋瑒t，解得，則，因?yàn)?，則，解得，即，所以，，因此，.【對(duì)點(diǎn)演練】1.在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，，則（）A．2B．C．6D．【答案】D2.（2023·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）已知.則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以，解得，則，故，所以.故答案為：．3.已知點(diǎn)，，則，兩點(diǎn)的距離的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，所以有二次函數(shù)易知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為的最小值為故選：C.4..在正方體中，，O是側(cè)面的中心，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在線段，上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A．B．3C．D．【答案】C【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別在線段，上運(yùn)動(dòng)，所以設(shè)，，所以，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，故選：C.1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則點(diǎn)B的坐標(biāo)應(yīng)為()A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)【答案】B【解析】eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝(9,1,1)．2．若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】A【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5,1,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－3,1)．由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＞0，得A為銳角；由eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＞0，得C為銳角；由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞0，得B為銳角．所以△ABC為銳角三角形．3．已知a＝(2，－3,1)，則下列向量中與a平行的是()A．(1,1,1) B．(－4,6，－2)C．(2，－3,5) D．(－2，－3,5)【答案】B【解析】若b＝(－4,6，－2)，則b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是()A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(7,5)【答案】D【解析】依題意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝eq\f(7,5).5．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，則|a－b＋2c|等于()A．3eq\r(10)B．2eq\r(10)C.eq\r(10)D．5【答案】A【解析】a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3eq\r(10).6．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a與b為共線向量，則()A．x＝1，y＝1 B．x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2) D．x＝－eq\f(1,6)，y＝eq\f(3,2)【答案】C【解析】∵a＝(2x,1,3)與b＝(1，－2y,9)共線，∴eq\f(2x,1)＝eq\f(1,－2y)＝eq\f(3,9)(y≠0)，∴x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2).7．（2023·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各組空間向量不能構(gòu)成空間的一組基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，設(shè)，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，所以三個(gè)向量共面，故不可以作為空間向量一個(gè)基底，故B正確.對(duì)于C，設(shè)，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，無解,即向量不共面，故可以作為空間向量一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.故選：B.8．（2023·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（

）A． B． C．或 D．2【答案】A【解析】因?yàn)椋?，，又與夾角的余弦值為，，所以，解得，注意到，即，所以.故選：A.多選題9.已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．與夾角的余弦值為【答案】BCD【解析】因?yàn)椋?，而，故A不正確；因?yàn)?，，所以，故B正確；因?yàn)?，故C正確；又，故D正確.故選BCD.10．（2023·浙江·高二浙江省開化中學(xué)校聯(lián)考期中）空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（

）A．B．是等腰直角三角形C．與平行的單位向量的坐標(biāo)為或D．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】AC【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，，選項(xiàng)A正確；計(jì)算可得，三條邊不相等，選項(xiàng)B不正確；與平行的單位向量為：選項(xiàng)C正確；在方向上的投影向量與向量共線，，選項(xiàng)D不正確，故選：AC.11．（2023·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學(xué)校考期末）已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得D．若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由可得，解得，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由可得，解得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則，所以不存在實(shí)數(shù)，使得，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由可得，解得，所以，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.11．（2023·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？计谥校┫铝嘘P(guān)于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若向量是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底B．若，則的夾角是鈍角C．已知，，若與垂直，則D．已知A、B、C是空間中不共線的三個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)O滿足，則點(diǎn)O是唯一的，且一定與A、B、C共面【答案】ACD【解析】因?yàn)橄蛄渴强臻g的一個(gè)基底，則不共面，所以也不共面，所以也可以作為空間的一個(gè)基底，故A正確；當(dāng)與的夾角為時(shí)，也可得，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，則，，且與垂直，所以，解得，故C正確；因?yàn)?，所以，所以共面，所以四點(diǎn)共面，如圖，取中點(diǎn)為，取中點(diǎn)為，則，又因?yàn)?，故，所以，即，則在上且靠近的三等分點(diǎn)處，即滿足此關(guān)系的點(diǎn)只有一個(gè)，所以點(diǎn)唯一，且與共面，故D正確；故選:ACD12．（2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）如圖，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD兩兩垂直，且，若線段DE上存在點(diǎn)P，使得，則邊CG長(zhǎng)度的可能值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】CD【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，即，又，所以，由，得，顯然且，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：CD.填空題13．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為________．【答案】eq\f(π,3)【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，又∵〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3).14．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，則k＝________.【答案】－eq\r(39)【解析】∵a·b＝2k，|a|＝eq\r(13)，|b|＝eq\r(k2＋9)，且k＜0，∴cos120°＝eq\f(2k,\r(13)×\r(k2＋9))，∴k＝－eq\r(39).15．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，則x＋y的值為________．【答案】4【解析】由題意知a∥b，所以eq\f(x,1)＝eq\f(x2＋y－2,2)＝eq\f(y,3)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x，①,x2＋y－2＝2x，②))把①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2或x＝1.當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝－6；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3.當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－6))時(shí)，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，向量a，b反向，不符合題意，所以舍去．當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3))時(shí)，b＝(1,2,3)＝a，a與b同向，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))此時(shí)x＋y＝4.16.（2023·遼寧大連·高二大連市第三十六中學(xué)校考期中）已知向量，若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】且【解析】因?yàn)?，所以，，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為銳角，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為且.故答案為：且.四、解答題17．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)當(dāng)(λa＋b)∥(a－3b)時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的值；(2)當(dāng)(a－3b)⊥(λa＋b)時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的值．【解析】∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．(1)∵(λa＋b)∥(a－3b)，∴eq\f(λ－2,7)＝eq\f(5λ＋3,－4)＝eq\f(－λ＋5,－16)，解得λ＝－eq\f(1,3).(2)∵(a－3