第三節(jié)空間向量基本定理考點梳理1、空間向量基本定理如果空間中的三個向量，，不共面，那么對空間中的任意一個向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，空間中不共面的三個向量，，組成的集合{，，},常稱為空間向量的一組基底.此時，、、都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式.說明空間中的任意三個不共面的向量都可以作為一組基底；（2）向量分別稱為向量在、、上的分解向量.2、空間向量的正交分解（1）單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示.（2）正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.說明（1）一般選擇有公共端點的三條長度和夾角均已知的棱為基底；（2）有了單位正交基底，我們就可以建立空間直角坐標系，進而確定空間向量的直角坐標了.例題分析一、基底的辨析與判斷例1、（2022·深圳市羅湖外語學校高二期末）（多選）給出下列命題，其中正確的有（

）A．空間任意三個向量都可以作為一個基底B．已知向量，則，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底C．、、、是空間中的四個點，若，，不能構(gòu)成空間的一個基底，那么，，，共面D．已知是空間的一個基底，若，則a,b,答案．BCD【分析】作為空間中基底的性質(zhì)，結(jié)合各選項的描述判斷正誤即可.【詳解】A：空間中共面的三個向量不能作為基底，故錯誤；B：向量，即，可平移到一條直線上，它們與其它任何向量都會共面，故不能作為基底，正確；C：，，不能構(gòu)成空間的一個基底，即它們共面，則，，，共面，正確；D：是空間的一個基底，即它們不共面，由即共面，故與不共面，則是空間的一個基底，正確.故選：BCD例2、（2023·重慶市育才中學高二練習）（多選題）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ABD【詳解】對于A：設，則，此方程組無解，所以，，不共面，故選項A符合題意；對于B：設，則，此方程組無解，所以，，不共面，故選項B符合題意；對于C：，所以，，共面，故選項C不符合題意；對于D：設，則，此方程組無解，所以，，不共面，故選項D符合題意；故選：ABD.點睛：不共面的三個向量才能構(gòu)成空間向量的一組基底，通常用觀察法，即看能否用其中的任意兩個向量把第三個向量表示出來.對于比較復雜，不好觀察的，可建立向量方程求解，如果方程有解，則不能構(gòu)成基底.二、用空間基底表示向量例3、（2022秋·安徽阜陽太和中學高二?？几傎悾┰谒拿骟wOABC中，E為OA中點，，若，，，，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】利用空間向量線性運算的幾何表示及空間向量基本定理求出，利用對數(shù)的運算即可得出結(jié)論．【詳解】

由題意，，又，不共面，則，所以.故選：B.三、基底的應用例4、（2022·廣州協(xié)和中學高二期末）已知是空間的一個基底，且，，若，則（

）A． B． C．3 D．答案．C【分析】由，可得存在實數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結(jié)果【詳解】，，因為，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C例5、已知是空間的一個基底，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則B．兩兩共面，但不共面C．一定存在x，y，使得D．一定能構(gòu)成空間的一個基底【答案】C【分析】利用向量的線性關(guān)系、向量的基底的定義和空間向量基本定理，即可求解．【解析】對于A，若不全為0，則共面，與題意矛盾，故A正確；對于B，是空間的一個基底,則兩兩共面，但不共面，故B正確；對于C，不共面，則不存在實數(shù)，使得，故C錯誤；對于D，若共面，，無解，故

不共面，一定能構(gòu)成空間的一個基底，故D正確故選∶C．例6、（2023·全國·高二專練）半正多面體又稱“阿基米德多面體”，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.把正四面體的每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個有八個面的半正多面體，如圖，點P，A，B，C，D為該半正多面體的頂點，若，，，則（

）A． B．C．D．【答案】A【解析】如下圖所示，所以.故選：A.四、正交分解例7、（2022·全國·高二練習）設是空間向量的一個單位正交基底，，則，的坐標分別為．【答案】【詳解】由題可知：，故答案為：點睛：如果是空間的一個基底，且,那么三維有序數(shù)組稱為向量在基底下的坐標,記作.例8、（2022·江蘇·南京市中華中學高二開學考試）（多選題）如圖，已知正方體的棱長2，以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則以下坐標表示的點在平面中的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】建立空間坐標系，標出點坐標，可得，，若點在平面中，則由共面向量定理得，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使，依次驗證即可【詳解】在正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立如圖所示空間直角坐標系則，，，則，，若點，在平面中，則由共面向量定理得，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使，所以，即，在A中，代入點坐標，可解出，故A正確；在B中，代入點坐標，無解，故B錯誤；在C中，代入點坐標，無解，故C錯誤；在D中，代入點坐標，可解出，故D正確，故選：AD.例9、（2021·安徽·桐城市第八中學高二練習）已知向量是空間的一基底，向量是空間的另一基底，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B解：設；，解得，在基底下的坐標為．故選：B．五、綜合能力提高例10、（2023·全國·高二專題練習）如圖，正四棱柱中，，動點滿足，且．則下列說法正確的是（

）A．當時，三棱錐的體積為B．當時，的最小值為C．若直線與所成角為，則動點的軌跡長為D．當時，三棱錐外接球半徑的取值范圍是【答案】BCD【詳解】對于A，取相交于點的中點為，如下圖所示：當時，即，由平面向量線性運算法則可知，點在線段上，又,；即A不正確；對于B，當時，由，利用共線定理可得，三點共線，即點在線段上；由對稱性可知，線段上的點到兩點之間的距離相等，所以；取平面進行平面距離分析，如下圖所示：所以，當且僅當三點共線時，等號成立，此時點為線段的中點，即的最小值為，故B正確；對于C，由圖可知，與所成角都為，由可知，點在平面內(nèi)，若直線與所成角為，在線段上取點，使，則直線與所成角為；則點的軌跡是以為圓心，半徑為，且在平面內(nèi)的半圓弧，如下圖所示：所以動點的軌跡長為，故C正確；對