第18章勾股定理一：勾股定理（1）對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（2）結(jié)論：①有一個角是30°的直角三角形，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。②有一個角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。③直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。（3）勾股定理的驗證例題：例1：已知直角三角形的兩邊，利用勾股定理求第三邊。（1）在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，則c=___________；②若a=15，c=25，則b=___________；③若c=61，b=60，則a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10則Rt△ABC的面積是=________。（2）如果直角三角形的兩直角邊長分別為，2n（n>1），那么它的斜邊長是（）A、2n B、n+1 C、n2－1 D、（3）在Rt△ABC中，a,b,c為三邊長，則下列關系中正確的是（）A.B.C.D.以上都有可能（4）已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）A、25 B、14 C、7 D、7或25例2：已知直角三角形的一邊以及另外兩邊的關系利用勾股定理求周長、面積等問題。（1）直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為__________。（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積是（）A、24 B、36 C、48 D、60（3）已知x、y為正數(shù)，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（） A、5 B、25 C、7 D、15例3：探索勾股定理的證明有四個斜邊為c、兩直角邊長為a,b的全等三角形，拼成如圖所示的五邊形，利用這個圖形證明勾股定理。二：勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有關系，，那么這個三角形是直角三角形。（2）常見的勾股數(shù)：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..（n為正整數(shù)）（3）直角三角形的判定方法：①如果三角形的三邊長a,b,c有關系，，那么這個三角形是直角三角形。②有一個角是直角的三角形是直角三角形。③兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形。④如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。例題：例1：勾股數(shù)的應用（1）下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構成直角三角形的是（）A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，17（2）若線段a，b，c組成直角三角形，則它們的比為（）A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7例2：利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀（1）下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三邊長分別為8，15，17．其中是直角三角形的個數(shù)有（）．A．1個B．2個C．3個D．4個（2）若三角形的三邊之比為，則這個三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等邊三角形（3）已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，則它的形狀為（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形（4）將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù),得到的三角形是()A．鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形（5）若△ABC的三邊長a,b,c滿足試判斷△ABC的形狀。（6）△ABC的兩邊分別為5,12，另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應為，此三角形為。例3：求最大、最小角的問題（1）若三角形三條邊的長分別是7,24,25，則這個三角形的最大內(nèi)角是度。（2）已知三角形三邊的比為1：：2，則其最小角為。三：勾股定理的應用例題：例1：面積問題（1）下圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（）A.13B.26C.47D.94（圖1）（圖2）（圖3）（3）如圖，△ABC為直角三角形，分別以AB，BC，AC為直徑向外作半圓，用勾股定理說明三個半圓的面積關系，可得（）A.S1+S2>S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.以上都不是（2）如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個正三角形，其面積分別是S1、S2、S3，則它們之間的關系是（）A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.S2-S3=S1例2：求長度問題（1）小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。（2）在一棵樹10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20m處的池塘A處；另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A外，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高？例3：最短路程問題（1）如圖1，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線，若一只小蟲從A點出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點，則小蟲爬行的最短路線的長度是。（結(jié)果保留根式）（2）如圖2，有一個長、寬、高為3米的封閉的正方體紙盒，一只昆蟲從頂點A要爬到頂點B，那么這只昆蟲爬行的最短距離為。（圖1）（圖2）例4：航海問題（1）一輪船以16海里/時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時以12海里/時的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1.5小時后，它們相距________海里．（2）（深圳）如圖1，某貨船以24海里／時的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達B處，此時又測得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險？試說明理由。（圖1）（圖2）（3）如圖2，某沿海開放城市A接到臺風警報，在該市正南方向260km的B處有一臺風中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=100km，那么臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？例5：網(wǎng)格問題（1）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3（2）如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對（3）如圖，小方格都是邊長為1的正方形,則四邊形ABCD的面積是()A．25B.12.5C.9D.8.5（圖1）（圖2）（圖3）例6：圖形問題（1）如圖1，求該四邊形的面積（2）如圖2，已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=eq\r(\s\do1(),2)，AB=eq\r(\s\do1(),3)+1，則邊BC的長為．（圖1）（圖2）（3）某公司的大門如圖所示,其中四邊形ＡＢＣＤ是長方形,上部是以ＡＤ為直徑的半圓,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車,高為2.5ｍ,寬為1.6ｍ,問這輛卡車能否通過公司的大門?并說明你的理由.（4）（太原）將一根長24㎝的筷子置于地面直徑為5㎝，高為12㎝的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長為h㎝，則h的取值范圍?！緦ｍ椨柧殹?.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為（A）4cm （B）5cm（C）6cm（D）10cmABABCD2．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，CD＝5㎝，求AB的長．3.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：①使三角形的三邊長分別為3、、（在圖甲中畫一個即可）；②使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖乙中畫一個即可）．4．下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（）A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.4，5，65．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，則該三角形為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形6.已知△ABC是邊長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE，…，依此類推，第n個等腰直角三角形的斜邊長是．7.如圖，每個小正方形的邊長為1，的三邊的大小關系式：（A）（B）（C）（D）8．（本題滿分10分）[問題情境]勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，著名數(shù)學家華羅庚曾提出把“數(shù)形關系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言。[定理表述]請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；（3分）[嘗試證明]以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a、b為底，以為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；（4分）[知識拓展]利用圖2中的直角梯形，我們可以證明其證明步驟如下：=。又∵在直角梯形ABCD中有BCAD（填大小關系），即第19章四邊形知識脈絡：1．四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1）四邊形的內(nèi)角和等于360°；（2）四邊形的外角和等于360°.2．多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1）n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°；（2）任意多邊形的外角和等于360°.3．平行四邊形的性質(zhì)：因為ABCD是平行四邊形4.平行四邊形的判定：.5.矩形的性質(zhì)：因為ABCD是矩形 6.矩形的判定：四邊形ABCD是矩形.7．菱形的性質(zhì)：因為ABCD是菱形8．菱形的判定：四邊形四邊形ABCD是菱形.9．正方形的性質(zhì)：因為ABCD是正方形（1）（2）（3）10．正方形的判定：四邊形ABCD是正方形.(3)∵ABCD是矩形又∵AD=AB∴四邊形ABCD是正方形11．等腰梯形的性質(zhì)：因為ABCD是等腰梯形12．等腰梯形的判定：四邊形ABCD是等腰梯形(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC ∵AC=BD∴ABCD四邊形是等腰梯形14．三角形中位線定理：三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半.15．梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.一基本概念：四邊形，四邊形的內(nèi)角，四邊形的外角，多邊形，平行線間的距離，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，中心對稱，中心對稱圖形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位線，梯形中位線.二定理：中心對稱的有關定理※1．關于中心對稱的兩個圖形是全等形.※2．關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.※3．如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱.三公式：1．S菱形=ab=ch.（a、b為菱形的對角線,c為菱形的邊長，h為c邊上的高）2．S平行四邊形=ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高）3．S梯形=（a+b）h=Lh.（a、b為梯形的底，h為梯形的高,L為梯形的中位線）四常識：※1．若n是多邊形的邊數(shù)，則對角線條數(shù)公式是：.2．規(guī)則圖形折疊一般“出一對全等，一對相似”.3．如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關系.4．常見圖形中，僅是軸對稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯形……；僅是中心對稱圖形的有：平行四邊形……；是雙對稱圖形的有：線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓…….注意：線段有兩條對稱軸.※5．梯形中常見的輔助線：邊形的的性質(zhì)：（1）邊形的內(nèi)角和等于；（2）任意多邊形的外角和等于；（3）邊形共有條對角線；（4）在平面內(nèi)，內(nèi)角都相等且邊都相等的多邊形叫做正多邊形。（5）正多邊形的每個內(nèi)角等于四邊形：四邊形的內(nèi)角和等于360°,外角和等于360°1、四邊形內(nèi)角中最多有三個鈍角，四個直角，三個銳角；2、四邊形外角中最多有三個鈍角、四個直角、三個銳角，最少沒有鈍角，沒有直角，沒有銳角；3、四邊形內(nèi)角與同一個頂點的一個外角互為鄰補角．平行四邊形的性質(zhì):(1)平行四邊形的鄰角互補，對角相等．(2)平行四邊形的對邊平行且相等．(3)夾在兩條平行線間的平行線段相等．(4)平行四邊形的對角線互相平分．(5)中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。(6)若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，且這條直線二等分四邊形的面積．平行四邊形的判定:(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．(3)定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．(5)定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離．平行線間的距離處處相等平行四邊形的面積：=BC·AE=CD·BF同底(等底)同高（等高）的平行四邊形面積相等.=矩形的性質(zhì)：(1)對邊平行且相等。(2)矩形的四個角都是直角．(3)矩形的對角線相等．(4)矩形是軸對稱、中心對稱圖形．(5)矩形面積＝長×寬矩形的判定：(1)定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．(2)定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形．(3)定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形．菱形的性質(zhì)(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)．(2)菱形的四條邊都相等．(3)菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．(4)菱形是軸對稱、中心對稱圖形．(5)菱形面積＝底×高＝對角線乘積的一半菱形的判定(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．(2)定理1：四邊都相等的四邊形是菱形．(3)定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．正方形的性質(zhì)(1)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．(2)正方形的四個角都是直角，四條邊都相等．(3)正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角．(4)正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸．(5)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個小的全等的等腰直角三角形．(6)正方形一條對角線上一點和另一條對角線的兩端距離相等．(7)正方形的面積：若正方形的邊長為，對角線長為，則正方形的判定:(1)判定一個四邊形為正方形主要根據(jù)定義，途徑有兩種：①先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等．②先證它是菱形，再證它有一個角為直角．(2)判定正方形的一般順序：①先證明它是平行四邊形；②再證明它是菱形(或矩形)；③最后證明它是矩形(或菱形)．梯形的判定：(1)定義法：判定四邊形中①一組對邊平行；②另一組對邊不平行．(2)有一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形．注意：此判定可由梯形定義和一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出等腰梯形的性質(zhì)(1)等腰梯形兩腰相等、兩底平行．(2)等腰梯形在同一底上的兩個角相等．(3)等腰梯形的對角線相等．(4)等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，一底的垂直平分線是它的對稱軸．等腰梯形的判定(1)兩腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形．(3)對角線相等的梯形是等腰梯形．梯形的面積(1)．(2)梯形中有關圖形面積：①．②．③．中位線三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（三角形有三條中位線）三角形中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。梯形中位線定義：連接梯形兩腰中點的線段，叫做梯形的中位線。（梯形的中位線有且只有一條）梯形中位線性質(zhì)：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。中心對稱圖形：定義：在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180O，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心.中心對稱圖形的性質(zhì)：中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分軸對稱圖形中心對稱圖形有一條對稱軸——直線有一個對稱中心——點沿對稱軸對折繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180O對折后與原圖形重合旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合如果把一個圖形沿著一條直線翻折過來，直