第三章--立體表面基本元素的投影.第一頁，共133頁。第三章立體表面基本

元素的投影

點(diǎn)、線、面

第一頁第二頁，共133頁。第一節(jié)點(diǎn)的投影點(diǎn)、線、面是構(gòu)成各種形體的基本幾何元素空間點(diǎn)A在P面上的投影是過投影中心S和A的投射線與P面的交點(diǎn)a。第二頁第三頁，共133頁。HVOX點(diǎn)的兩面投影前面提到；在正投影的條件下，點(diǎn)的單面投影不能唯一確定該點(diǎn)的空間位置，那么，兩面投影呢？Aaa

點(diǎn)的兩面投影能夠唯一確定點(diǎn)的空間位置。兩面投影體系的建立：V——正面投影面H——水平投影面OX——投影軸ax第三頁第四頁，共133頁。點(diǎn)的兩面投影圖的形成Aaa

HVOXaxa

VHaaxOXa

aaxOX展開

去邊框第四頁第五頁，共133頁。點(diǎn)的兩面投影圖的性質(zhì)Aaa

HVOXaxa

aaxOX正面投影與水平投影的連線垂直于OX軸；正面投影到OX軸的距離等于A點(diǎn)的高度；水平投影到OX軸的距離等于A點(diǎn)的深度；第五頁第六頁，共133頁。HVOXYZ點(diǎn)的三面投影Aaa

axa

'

ayaz通常我們用大寫字母表示空間的點(diǎn)，相應(yīng)的小寫字母表示其水平投影，小寫字母加一撇表示其正面投影，小寫字母加兩撇表示其側(cè)面投影。W第六頁第七頁，共133頁。AHVOXYZaa

axa

'ayazWa

aa

'OXYHZYW點(diǎn)的三面投影圖axayazay第七頁第八頁，共133頁。a

aa

'OXYHZYW點(diǎn)的投影規(guī)律axayazay水平投影和正面投影的連線垂直于OX軸（長對正）；正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸（高平齊）；水平投影到OX軸的距離等于側(cè)面投影到OZ軸的距離（寬相等）。第八頁第九頁，共133頁?？傻贸鳇c(diǎn)的投影特性如下：（1）點(diǎn)的投影的連線垂直于相應(yīng)的投影軸。（2）點(diǎn)的投影到投影軸的距離，反映該點(diǎn)到相應(yīng)的投影面的距離。第九頁第十頁，共133頁。【例3-1】已知點(diǎn)A的水平投影a和正面投影a′，求其側(cè)面投影a″解:作圖步驟如下第十頁第十一頁，共133頁。二、點(diǎn)的投影與坐標(biāo)

1．投影與坐標(biāo)

引入直角坐標(biāo)的概念，將三面投影體系中的三個(gè)投影面看作是直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)面，則三條投影軸相當(dāng)于坐標(biāo)軸，原點(diǎn)相當(dāng)于坐標(biāo)原點(diǎn)。點(diǎn)A的空間位置可用其直角坐標(biāo)表示為A(x,y,z),x坐標(biāo)反映空間點(diǎn)A到W面的距離；y坐標(biāo)反映空間點(diǎn)A到V面的距離；z坐標(biāo)反映空間點(diǎn)A到H面的距離。點(diǎn)的一個(gè)投影能反映兩個(gè)坐標(biāo)，反之點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)可確定一個(gè)投影。第十一頁第十二頁，共133頁。點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系A(chǔ)HVOXYZaa

axa

'ayazWxzyA點(diǎn)的x坐標(biāo)＝aay=a'azA點(diǎn)的y坐標(biāo)＝aax=a''azA點(diǎn)的z坐標(biāo)＝a’ax=a''ay第十二頁第十三頁，共133頁?！纠?-2】已知點(diǎn)A(14,10，20)，作其三面投影圖。解:作圖步驟如下（1）方法一（2）方法二第十三頁第十四頁，共133頁。2．特殊位置點(diǎn)的投影（1）投影面上的點(diǎn)（2）投影軸上的點(diǎn)第十四頁第十五頁，共133頁。三、兩點(diǎn)的相對位置空間兩點(diǎn)的相對位置，是以其中一個(gè)點(diǎn)為基準(zhǔn)，來判斷另一個(gè)點(diǎn)在該點(diǎn)的前或后、左或右、上或下。第十五頁第十六頁，共133頁。[例3.4]試判斷C、D兩點(diǎn)的相對位置。[解]如圖3.22。圖3.22判別兩點(diǎn)的相對位置第十六頁第十七頁，共133頁。在投影面的重影點(diǎn)H面的重影點(diǎn)W面的重影點(diǎn)V面的重影點(diǎn)第十七頁第十八頁，共133頁。[例3.5]已知點(diǎn)C的三面投影如圖3.24（a），且點(diǎn)D在點(diǎn)C的正右方5mm，點(diǎn)B在點(diǎn)C的正下方10mm，求作D、B兩點(diǎn)的投影，并判別重影點(diǎn)的可見性。

圖3.24求作點(diǎn)的投影并判別可見性

第十八頁第十九頁，共133頁。圖3.24求作點(diǎn)的投影并判別可見性

[解](1)d″與c″重合，如圖3.24（b）。(2)兩點(diǎn)的水平投影b、c重合，如圖3.24（c）。(3)c″可見，d″不可見，d″加上括號以示區(qū)別。從上向下投影時(shí)，c可見，b不可見，不可見的投影b加括號以示區(qū)別第十九頁第二十頁，共133頁。第二節(jié)直線的投影一、直線投影的概念二、特殊位置直線三、一般位置直線四、無軸投影圖第二十頁第二十一頁，共133頁。一、直線投影的概念

由于直線的投影一般情況下仍為直線，且兩點(diǎn)決定一直線，故要獲得直線的投影，只需作出已知直線上的兩個(gè)點(diǎn)的投影，再將它們相連即可。VHXOBAa'b'ab第二十一頁第二十二頁，共133頁。直線的分類直

線一般位置直線特殊位置直線投影面垂直線投影面平行線第二十二頁第二十三頁，共133頁。二、特殊位置直線1.投影面垂直線垂直于一個(gè)投影面，同時(shí)平行于其它兩個(gè)投影面的直線。鉛垂線——垂直于H面，同時(shí)平行于V、W面的直線。正垂線——垂直于V面，同時(shí)平行于H、W面的直線。側(cè)垂線——垂直于W面，同時(shí)平行于H、V面的直線。第二十三頁第二十四頁，共133頁。VWHXYZOAB鉛垂線（垂直于H面，同時(shí)平行于V、W面的直線）Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

b

a(b)a

a

b

水平投影積聚為一點(diǎn)；正面投影及側(cè)面投影平行于OZ軸，且反映實(shí)長。第二十四頁第二十五頁，共133頁。VWHXYZOAB正垂線（垂直于V面，同時(shí)平行于H、W面的直線）ZX(a

)b

b

aOYHYWa

bba

b

a

b

a正面投影積聚為一點(diǎn)；水平投影及側(cè)面投影平行于OY軸，且反映實(shí)長。第二十五頁第二十六頁，共133頁。VWXYZOABH側(cè)垂線（垂直于W面，同時(shí)平行于H、V面的直線）ba

a

b

ab

YWZXa

(b

)b

aOYHa

b側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)；水平投影及正面投影平行于OX軸，且反映實(shí)長。第二十六頁第二十七頁，共133頁。投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性可概括如下：（1）直線在它所垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)；（2）該直線在其他兩個(gè)投影面上的投影分別垂直于相應(yīng)的投影軸，且都等于該直線的實(shí)長。

事實(shí)上，在直線的三面投影中，若有兩面投影平行于同一投影軸，則另一投影必積聚為一點(diǎn)；只要空間直線的三面投影中有一面投影積聚為一點(diǎn)，則該直線必垂直于積聚投影所在的投影面。第二十七頁第二十八頁，共133頁。特殊位置直線2.投影面平行線平行于一個(gè)投影面，同時(shí)傾斜于其它兩個(gè)投影面的直線。水平線——平行于H面，同時(shí)傾斜于V、W面的直線。正平線——平行于V面，同時(shí)傾斜于H、W面的直線。側(cè)平線——平行于W面，同時(shí)傾斜于H、V面的直線。第二十八頁第二十九頁，共133頁。ABVWHXYZO水平線（平行H面，同時(shí)傾斜于V、W面的直線）aa

b

a

bb

Xa

b

a

b

baOZYHYW

水平投影反映實(shí)長及傾角，正面投影及側(cè)面投影垂直于OZ軸

第二十九頁第三十頁，共133頁。VWHXYZOAB正平線（平行V面，同時(shí)傾斜于H、W面的直線）

aa

b

a

b

b正面投影反映實(shí)長及傾角，水平投影及側(cè)面投影垂直于OY軸

Xa

b

a

b

baOZYHYW

第三十頁第三十一頁，共133頁。VWHXYZOAB側(cè)平線（平行W面，同時(shí)傾斜于H、V面的直線）

aa

b

a

b

b側(cè)面投影反映實(shí)長及傾角，水平投影及正面投影垂直于OX軸

b

XZa

b

baOYHYWa

第三十一頁第三十二頁，共133頁。投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性可概括如下：（1）直線在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)長，且反映對其他兩個(gè)投影面傾角的實(shí)形；（2）該直線在其他兩個(gè)投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實(shí)長。

事實(shí)上，在直線的三面投影中，若有兩面投影垂直于同一投影軸，而另一投影處于傾斜狀態(tài)，則該直線必平行于傾斜投影所在的投影面，且反映與其他兩投影面夾角的實(shí)形。第三十二頁第三十三頁，共133頁。ABVWHXYZO三、一般位置直線對三個(gè)投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。

ZXa

b

aOYHYWa

bb

bb

a

b

aa

第三十三頁第三十四頁，共133頁。一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性：1）三面投影均不反映直線的實(shí)長（均小于實(shí)長）；2）直線與投影面之間的傾角在投影圖中均不反映實(shí)形。

事實(shí)上，只要空間直線的任意兩個(gè)投影都呈傾斜狀態(tài)，則該直線一定是一條一般位置直線。第三十四頁第三十五頁，共133頁。直線上點(diǎn)的投影特性

點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必定在該直線的同面投影上，并且符合點(diǎn)的投影規(guī)律，如圖3.29中的K點(diǎn)。若直線上的點(diǎn)分線段成比例，則該點(diǎn)的各投影也相應(yīng)分線段的同面投影成相同的比例。在圖3.29中，K點(diǎn)把直線AB分為AK、KB兩段，則有：第三十五頁第三十六頁，共133頁。圖3.29直線上的點(diǎn)第三十六頁第三十七頁，共133頁。[例3.6]已知直線AB的投影ab及a′b′，如圖3.30(a)，求作直線上一點(diǎn)C的投影，使AC∶CB=3∶2。[解]圖3.30利用定比性作直線上點(diǎn)的投影

第三十七頁第三十八頁，共133頁。[例3.7]已知側(cè)平線AB的V、H投影及線上一點(diǎn)K的V面投影k′，試求點(diǎn)K的H投影，如圖3.31(a)。[解]圖3.31求作直線上點(diǎn)的投影第三十八頁第三十九頁，共133頁。[例3.8]已知側(cè)平線CD和點(diǎn)E的H、V面投影，試判斷點(diǎn)E是否在直線CD上，如圖3.32。[解]圖3.32判斷點(diǎn)是否在直線上

第三十九頁第四十頁，共133頁。求解一般位置直線的實(shí)長及傾角

根據(jù)一般位置直線的投影求解其實(shí)長及傾角是畫法幾何綜合習(xí)題中的常遇見的基本問題之一，也是工程實(shí)際中經(jīng)常需要解決的問題。而用直角三角形法求解實(shí)長及傾角最為簡便、快捷。第四十頁第四十一頁，共133頁。XOaba'b'ABaba'b'XOαB0直角三角形法(求直線的實(shí)長及對水平投影面的夾角α)mmαABABαmAB0=abBB0=AB兩點(diǎn)的高度差mab第四十一頁第四十二頁，共133頁。ABaba'b'XOβXOaba'b'直角三角形法（求直線的實(shí)長及對正立投影面的夾角β）nnnA0BA0=a'b'AA0=AB兩點(diǎn)的寬度差nβABa'b'AB第四十二頁第四十三頁，共133頁。直角三角形法

直角三角形法的四要素：投影長、坐標(biāo)差、實(shí)長、傾角。已知四要素中的任意兩個(gè)，便可確定另外兩個(gè)。

解題時(shí)，直角三角形畫在任何位置都不影響解題結(jié)果，但用哪個(gè)長度來作直角邊不能搞錯(cuò)。課堂練習(xí)：第四十三頁第四十四頁，共133頁。3.2.5兩直線的相對位置

空間兩直線有三種不同的相對位置，即相交、平行和交叉。兩相交直線或兩平行直線都在同一平面上，所以它們都稱為共面線。兩交叉直線不在同一平面上，所以稱為異面線。第四十四頁第四十五頁，共133頁。兩直線相交時(shí)，如圖3.33的AB和CD，它們的交點(diǎn)E既是AB線上的一點(diǎn)，又是CD線上的一點(diǎn)。3.2.5.1兩相交直線

圖3.33兩相交直線的投影第四十五頁第四十六頁，共133頁。[例3.9]給出平面四邊形ABCD的V投影及其兩條邊的H投影，試完成整個(gè)H投影。[解]作圖步聚如圖3.34。圖3.34求四邊形的H投影第四十六頁第四十七頁，共133頁。

根據(jù)平行投影的特性可知，兩平行直線在同一投影面上的投影相互平行。如圖3.35所示。

3.2.5.2兩平行直線

圖3.35兩平行直線的投影第四十七頁第四十八頁，共133頁。[例3.10]給出平行四邊形ABCD的兩邊AB和AC的投影，試完成ABCD的投影。[解]作圖步驟如圖3.36所示。圖3.36作平行四邊形的投影第四十八頁第四十九頁，共133頁。兩交叉直線既不平行，也不相交。雖然兩交叉直線的某一同面投影有時(shí)可能平行，但所有同面投影不可能同時(shí)都相互平行。兩交叉直線的同面投影也可能相交，但這個(gè)交點(diǎn)只不過是兩直線的一對重影點(diǎn)的重合投影。例如圖3.37。兩交叉直線有一個(gè)可見性問題。3.2.5.3兩交叉直線

第四十九頁第五十頁，共133頁。圖3.37兩交叉直線第五十頁第五十一頁，共133頁。兩直線的夾角，其投影有下列三種情況：當(dāng)兩直線都平行于某投影面時(shí)，其夾角在該投影面上的投影反映實(shí)形。當(dāng)兩直線都不平行于某投影面時(shí)，其夾角在該投影面上的投影一般不反映實(shí)形。當(dāng)兩直線中有一直線平行于某投影面時(shí)，如果夾角是直角，則它在該投影面上的投影仍然是直角。如圖3.39所示，直線AB垂直于BC，其中AB是水平線。兩交叉直線也有相互垂直的。3.2.5.4兩相互垂直直線

第五十一頁第五十二頁，共133頁。圖3.39兩相互垂直的直線

第五十二頁第五十三頁，共133頁。[例3.12]求點(diǎn)A到水平線BC的距離（圖3.40）。

[解]

圖3.40求一點(diǎn)到水平線的距離第五十三頁第五十四頁，共133頁。第三節(jié)平面的投影一、平面的表示方法二、各類平面的投影特性第五十四頁第五十五頁，共133頁?；疽蟮谖迨屙摰谖迨摚?33頁。一、平面的表示法1、用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)；一直線和直線外一點(diǎn)；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。2、平面的跡線表示法平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可以用在它們所垂直的投影面上的跡線來表示。第五十六頁第五十七頁，共133頁。一、平面的表示方法下列五種方式可表達(dá)一平面：（1）不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)；（2）一直線和直線外一點(diǎn)；（3）兩相交直線；（4）兩平行直線；（5）任意平面圖形。VXWHYZACB第五十七頁第五十八頁，共133頁。1、用幾何元素表示平面b

a

ac

bcb

a

ac

bca

ab

c

bca

b

c

abcd

dXXXXXOOOOO第五十八頁第五十九頁，共133頁。二、各類平面的投影特性空間平面特殊位置平面投影面垂直面投影面平行面一般位置平面第五十九頁第六十頁，共133頁。1.投影面平行面

對一個(gè)投影面平行，同時(shí)垂直于其它兩個(gè)投影面的平面。水平面——平行于H面，同時(shí)垂直于V、W的平面正平面——平行于V面，同時(shí)垂直于H、W的平面?zhèn)绕矫妗叫杏赪面，同時(shí)垂直于H、V的平面第六十頁第六十一頁，共133頁。VXHWYZO水平面的投影特性p'p"p水平投影反映實(shí)形；正面投影和側(cè)面投影積聚為一條直線并平行于相應(yīng)的投影軸。XYWZOYHp'p"pP第六十一頁第六十二頁，共133頁。VXHWYZO正平面的投影特性正面投影反映實(shí)形；水平投影和側(cè)面投影積聚為一條直線并平行于相應(yīng)的投影軸。pp'p"XYWZOYHpp'p"P第六十二頁第六十三頁，共133頁。VXHWZOY側(cè)平面的投影特性pp'p"側(cè)面投影反映實(shí)形；水平投影和正面投影積聚為一條直線并平行于相應(yīng)的投影軸。XYWZYHOpp'p"P第六十三頁第六十四頁，共133頁?？偨Y(jié)

投影面平行面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形；（2）平面在另外兩個(gè)投影面上的投影積聚成直線，且分別平行于相應(yīng)的投影軸。

事實(shí)上，在平面的兩面投影中，若有一面投影積聚為平行于某投影軸的直線，則此平面必為該投影軸相鄰的投影面的平行面。第六十四頁第六十五頁，共133頁。2.投影面垂直面

垂直于一個(gè)投影面，同時(shí)傾斜于其它兩個(gè)投影面的平面。鉛垂面——垂直于H面，同時(shí)傾斜于V、W的平面正垂面——垂直于V面，同時(shí)傾斜于H、W的平面?zhèn)却姑妗怪庇赪面，同時(shí)傾斜于H、V的平面第六十五頁第六十六頁，共133頁。VXHWZOYXZOYHYWβγ鉛垂面的投影特性水平投影積聚為直線，并反映傾角β、γ的實(shí)形；正面投影和側(cè)面投影均不反映實(shí)形且變小。βγβγ第六十六頁第六十七頁，共133頁。VXHWZOY正垂面的投影特性正面投影積聚為直線，并反映傾角α、γ的實(shí)形；水平投影和側(cè)面投影均不反映實(shí)形且變小。XZOYHYWαγαγαγ第六十七頁第六十八頁，共133頁。VXHWZOY側(cè)垂面的投影特性側(cè)面投影積聚為直線，并反映傾角α、β的實(shí)形；水平投影和正面投影均不反映實(shí)形且變小。βαβαXZOYHYWβα第六十八頁第六十九頁，共133頁?？偨Y(jié)投影面垂直面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所垂直的投影面上的投影積聚為一條斜線，該斜線與投影軸的夾角反映該平面與相應(yīng)投影面的夾角；（2）平面在另外兩個(gè)投影面上的投影不反映實(shí)形，且變小。

事實(shí)上，在平面的投影中，若某一投影面上的投影積聚為一條斜線，則該平面必為該投影面的垂直面。第六十九頁第七十頁，共133頁。3.一般位置平面對三個(gè)投影面都傾斜的平面。VXHWZOYXZOYHYW三個(gè)投影均為類似形，不反映實(shí)形和傾角，也不積聚。第七十頁第七十一頁，共133頁?！纠?-4】如圖3-14a所示，已知正方形平面ABCD垂直于V面以及AB的兩面投影，求作此正方形的三面投影圖。解：(1)作圖分析(2)作圖步驟第七十一頁第七十二頁，共133頁。3.3.5平面上的直線與點(diǎn)平面上的直線

一直線若通過平面內(nèi)的兩點(diǎn)，則此直線必位于該平面上，由此可知，平面上直線的投影，必定是過平面上兩已知點(diǎn)的同面投影的連線。平面上的點(diǎn)

若點(diǎn)在直線上，直線在平面上，則點(diǎn)必定在平面上。在平面上取點(diǎn)、取線

在平面上取點(diǎn)，首先要在平面上取線。而在平面上取線，又離不開在平面上取點(diǎn)。第七十二頁第七十三頁，共133頁。[例3.14]已知一平行四邊形ABCD和K點(diǎn)的兩面投影，試判斷K點(diǎn)是否在平面上，如圖3.45(a)。[解]

圖3.45點(diǎn)和平面相對位置判斷

第七十三頁第七十四頁，共133頁。[例3.15]已知四邊形ABCD，求作過A點(diǎn)且在該平面上的一條水平線。[解]

如圖3.46所示。圖3.46求作平面上水平線的投影第七十四頁第七十五頁，共133頁。[例3.16]已知三角形ABC及其上一點(diǎn)K的正面投影k′，如圖3.47（a），求作K點(diǎn)的水平投影k。[解]圖3.47作平面上點(diǎn)的投影

第七十五頁第七十六頁，共133頁。[例3.17]已知五邊形ABCDE的Ｖ面投影及一邊AB的H面投影，并知AC為正平線，試完成其Ｈ面投影（如圖3.48(a)）。[解]圖3.48作平面的投影

第七十六頁第七十七頁，共133頁。3.3.6平面上的特殊直線

常用的有平面上的正平線和水平線。要在一般面ABC上作一條正平線，可根據(jù)正平線的H投影是水平的這個(gè)投影特點(diǎn)，先在ABC的水平投影上作一任意水平線，作為所求正平線的H投影，然后作出它的V投影，如圖3.49所示。在ABC上作水平線，也要抓住它的V投影一定水平的投影特點(diǎn)，作圖步驟如圖3.49所示。3.4.6.1平面上的投影面平行線

第七十七頁第七十八頁，共133頁。圖3.49面上作正平線和水平線

第七十八頁第七十九頁，共133頁。直線與平面及兩平面的相對位置§5-1直線與平面平行?兩平面平行§5-2直線與平面的交點(diǎn)?兩平面的交線§5-3直線與平面垂直?兩平面垂直

基本要求第七十九頁第八十頁，共133頁?！熘本€與平面平行、兩平面平行一．直線與平面平行幾何條件：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。

例題1

例題2二．平面與平面平行幾何條件：若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線對應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的投影。

例題3

例題4

例題5第八十頁第八十一頁，共133頁。一、直線與平面平行若一直線平行于屬于給定平面的一直線，則該直線與平面平行PCDBA第八十一頁第八十二頁，共133頁。例題1試判斷直線AB是否平行于定平面fg

f

gb

a

abc

e

d

edc結(jié)論：直線AB不平行于定平面第八十二頁第八十三頁，共133頁。例題2試過點(diǎn)K作水平線AB平行于ΔCDE平面b

a

af

fbc

e

d

edk

kc第八十三頁第八十四頁，共133頁。二、兩平面平行若屬于一平面的相交兩直線對應(yīng)平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行PSEFDACB第八十四頁第八十五頁，共133頁。例題3試判斷兩平面是否平行f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

結(jié)論：兩平面平行第八十五頁第八十六頁，共133頁。例題4已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

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dc

a

acb

bk

k第八十六頁第八十七頁，共133頁。例題5試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：兩平面平行(鉛垂面）ef

e

fsr

s

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dc

a

acb

brPHSH第八十七頁第八十八頁，共133頁。直線與平面的交點(diǎn)?兩平面的交線

直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點(diǎn)，交點(diǎn)既在直線上又在平面上，因而交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。兩平面的交線是直線，它是兩個(gè)平面的共有線。求線面交點(diǎn)、面面交線的實(shí)質(zhì)是求共有點(diǎn)、共有線的投影。一、直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)二、兩平面的交線是直線三、直線與特殊位置平面相交四、一般位置平面與特殊位置平面相交五、直線與一般位置平面相交六、兩一般位置平面相交第八十八頁第八十九頁，共133頁。一、直線與平面相交P直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)，它是直線與平面的共有點(diǎn)。BKA第八十九頁第九十頁，共133頁。MBCA二、平面與平面相交FKNL兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有第九十頁第九十一頁，共133頁。三、特殊位置線面相交特殊位置線面相交，其交點(diǎn)的投影可利用直線或平面的積聚性投影直接求出。

（l）當(dāng)直線為一般位置，平面的某個(gè)投影具有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一個(gè)投影可在直線的另一個(gè)投影上找到。

（2）當(dāng)直線的某個(gè)投影具有積聚性，平面為一般位置時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)投影與直線的積聚性投影重合，另一個(gè)投影可利用在平面上找點(diǎn)的方法在平面的另一個(gè)投影上得到。

直線與特殊位置平面相交

判斷直線的可見性第九十一頁第九十二頁，共133頁。b

ba

acc

m

mnn

直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。VHPHPABCacbkNKMkk

第九十二頁第九十三頁，共133頁。判斷直線的可見性VHPHPABCacbkNKMb

ba

acc

m

mn

kk

n特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。第九十三頁第九十四頁，共133頁。四、一般位置平面與特殊位置平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題,由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。一般位置平面與特殊位置平面相交判斷平面的可見性第九十四頁第九十五頁，共133頁。一般位置平面與特殊位置平面相交nlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

VHMmnlPBCacbPHkfFKNL第九十五頁第九十六頁，共133頁。判斷平面的可見性VHMmnlBCackfFKNLb

bacnlmc

m

a

l

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k

第九十六頁第九十七頁，共133頁。判斷平面的可見性b

bacnlmc

m

a

l

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fkf

k

VHMmnlBCackfFKNLIII第九十七頁第九十八頁，共133頁。五、直線與一般位置平面相交一般位置線面相交由于直線和平面的投影都沒有積聚性，求交點(diǎn)時(shí)無積聚性投影可以利用，因此通常要采用輔助平面法求一般位置線面的交點(diǎn)。一般位置線、面相交求交點(diǎn)的步驟：（l）過已知直線作一特殊位置輔助平面（投影面垂直面）（2）求輔助平面與已知平面的交線；（3）求交線與已知直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)即為所求。以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

示意圖判別可見性

示意圖第九十八頁第九十九頁，共133頁。f

e

efba

acb

c

1

2

以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)QV21kk

步驟：1、過EF作正垂平面Q。2、求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。第九十九頁第一百頁，共133頁。ABCQ過MN作平面Q垂直于V投影面MN以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖第一百頁第一百零一頁，共133頁。12以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)。PH1

f

e

efbc

a

acb

步驟：1、過EF作鉛垂平面P。2、求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。k

k2

第一百零一頁第一百零二頁，共133頁。CAB過MN作平面P垂直于H投影面NMPEFK以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖第一百零二頁第一百零三頁，共133頁。直線EF與平面ABC相交，判別可見性。利用重影點(diǎn)。判別可見性(

)f

e

efba

acb

c

124

3

2

1

34（

）kk

第一百零三頁第一百零四頁，共133頁。HVa

b

c

ceaABbCFEf

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Kke

直線EF與平面ΔABC相交，判別可見性示意圖ⅠⅡⅢⅣ1

(2

)(4)3利用重影點(diǎn)。判別可見性第一百零四頁第一百零五頁，共133頁。六、兩一般位置平面相交

１.用一般位置線面交點(diǎn)的方法作兩平面的交線２.用三面共點(diǎn)法作兩平面的交線。兩一般位置平面相交求交線有三種方法：線面交點(diǎn)法；輔助平面法；輔助平面法。示意圖判別可見性例題6

第一百零五頁第一百零六頁，共133頁。兩一般位置平面的交線第一百零六頁第一百零七頁，共133頁。兩一般位置平面相交，求交線步驟：1、用直線與平面求交點(diǎn)的方法求出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)K、E。求兩平面的交線bacc

b

a

ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2、連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫出交線KE。第一百零七頁第一百零八頁，共133頁。兩一般位置平面相交求交線的方法利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL第一百零八頁第一百零九頁，共133頁。利用重影點(diǎn)判別可見性兩平面相交，判別可見性bacc

b

a

ll

nmm

n

kee

k

3

4

()3421()1

2

第一百零九頁第一百一十頁，共133頁。三面共點(diǎn)法作兩平面的交線ⅠⅡⅢⅣ第一百一十頁第一百一十一頁，共133頁。第一百一十一頁第一百一十二頁，共133頁。ac

ba

cb

f

e

efk

k例題6試過K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。第一百一十二頁第一百一十三頁，共133頁。分析FPCABEKH過已知點(diǎn)K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。第一百一十三頁第一百一十四頁，共133頁。作圖步驟m

n

h

hnmff

ac

ba

cb

e

ek

kPV1

12

21、過點(diǎn)K作平面KMN//

ABC平面。2、過直線EF作正垂平面P。3、求平面P與平面KMN的交線ⅠⅡ。4、求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)H。5、連接KH，KH即為所求。第一百一十四頁第一百一十五頁，共133頁?！?-3直線與平面垂直?兩平面垂直一、直線與平面垂直

幾何條件

定理1

定理2

例題7

例題8

例題9

例題10二、兩平面垂直

幾何條件

例題11

例題12

例題13第一百一十五頁第一百一十六頁，共133頁。直線與平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。

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