2022年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）（三角函數(shù)與解三角形、平面向量、數(shù)列、不等式、解析幾何、計數(shù)原理）題型一：三角函數(shù)與解三角形1．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知等差數(shù)列中，則數(shù)列的前n項和=___.【答案】【解析】利用兩角差的正切公式可得到，從而可得到數(shù)列的通項公式，再代入求和化簡即可得到結(jié)果?！驹斀狻?，又等差數(shù)列中，，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵是會逆利用兩角差的正切公式，得到數(shù)列的通項公式，在求和的過程中巧用相消法得到數(shù)列的和，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運算求解能力，屬于中檔題.2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，的圖像為曲線C，兩端點為，點為線段AB上的一點，其中，，點P，Q均在曲線C上，且點P的橫坐標(biāo)等于點Q的縱坐標(biāo)為（1）設(shè)，求點P，Q的坐標(biāo)；（2）設(shè)，求的面積的最大值及相應(yīng)的值.【答案】（1）；（2）時，最大值為.【解析】（1），由題設(shè)知，進而算出再代入函數(shù)中求出點P的縱坐標(biāo)，點Q的橫坐標(biāo)，即可求出點P，Q的坐標(biāo).（2）由，得，，再用換元法和基本不等式求最值.【詳解】（1），其兩端點為，則點P的縱坐標(biāo)，點Q的橫坐標(biāo)；（2），由題得：，，又又，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等），即令，，下面證在上是遞增函數(shù)，任取，且，則，，即在上是遞增函數(shù),時，取最大值，,的最大值為【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）為測量一煙囪高度，在地面上選一直線上的三點.已知，在三點測出煙囪頂部的仰角分別為45°，60°，60°.若三個測量點的高度均為，求煙囪的高度.（精確到）【答案】【分析】根據(jù)題意作出示意圖，設(shè)煙囪高為x(1.5米以上的),C點到煙囪的水平距離為y,利用勾股定理及仰角的正切列出方程，即可求解.【詳解】如圖，設(shè)煙囪高為x(1.5米以上的),C點到煙囪的水平距離為y,A點仰角為,故A到煙囪的水平距離也為xB點與C點的仰角均為，B到煙囪的水平距離也為y，從煙囪根起來1.5米(記為點E),做BC的垂線，因為是等腰三角形，交BC于中點D.在△AED中，即，又，即，代入（1）得：，解得，所以，故煙囪高度為米.【點睛】本題主要考查了實際問題中的解三角形問題，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.題型二：平面向量1．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，正方形的中心與圓的圓心重合，是圓的動點，則下列敘述不正確的是（）A．是定值；B．是定值；C．是定值；D．是定值．【答案】C【分析】建立直角坐標(biāo)系后，設(shè)正方形邊長為2a，圓的半徑為，表示出各點坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可判斷A.、B、D選項，舉出反例即可判斷C，即可得解.【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形邊長為2a，圓的半徑為，則圓的方程為，設(shè)點，則，，，，，，，，，對于A：，故A正確；對于B：，故B正確；對于C：不妨取，取點，，取點，，故C錯誤；對于D：，故D正確，故選：C.【點睛】本題考查了平面向量的應(yīng)用，考查了圓的方程的應(yīng)用和運算能力，屬于中檔題.2．（2019·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）已知向量，是坐標(biāo)原點，若，且方向是沿的方向繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到的，則稱經(jīng)過一次變換得到，現(xiàn)有向量經(jīng)過一次變換后得到，經(jīng)過一次變換后得到，…，如此下去，經(jīng)過一次變換后得到，設(shè)，，，則等于（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可得，，，即當(dāng)時，一次，變換將逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度，再將所得向量的長度再伸長為原來的倍得到向量．因此當(dāng)時，運用矩陣變換公式，算出逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度所得向量，從而得到，，，所以．接下來再對、、、各項在時的情況進行計算，對照所得結(jié)果可得只有項是正確的選項【詳解】根據(jù)題意，，一次，變換就是將向量逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度，再將長度伸長為原來的倍，即由逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度而得，且設(shè)向量逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度，所得的向量為，則有，，即向量逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度，得到向量，再將的模長度伸長為原來的倍，得到，，因此當(dāng)時，，，，即，由此可得對于，當(dāng)時，與計算結(jié)果不相等，故不正確；對于，當(dāng)時，與計算結(jié)果相等，故正確；對于，當(dāng)時，與計算結(jié)果不相等，故不正確；對于，當(dāng)時，與計算結(jié)果不相等，故不正確故選：B【點睛】本題考查了向量的線性運算，用矩陣解決向量的旋轉(zhuǎn)問題和數(shù)列的通項公式，屬于中檔題3．（2021·上海市建平中學(xué)高三開學(xué)考試）已知的外接圓圓心為，，若，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點O作，，利用圓的性質(zhì)知為,中點，設(shè)，，利用向量的數(shù)量積結(jié)合已知條件得到，求出，利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖，過點O作，，，和是等腰三角形，為中點，為中點，設(shè)，，則，，即，即聯(lián)立解得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以的最大值為故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查圓的性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積以及基本不等式求最值，利用圓的性質(zhì)結(jié)合平面向量的數(shù)量積得到關(guān)于x，y的方程，進而求出是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理與運算能力，屬于難題.4．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知的面積為3，，為所在平面內(nèi)異于點的兩個不同的點，若且，其中，則的面積為______.【答案】3【分析】先得到和，最后表示出并轉(zhuǎn)化求值即可.【詳解】解：因為，所以，即因為，所以所以，所以，因為，所以，所以，，因為的面積為3，所以，，所以的面積是3故答案為：3【點睛】本題考查平面向量的線性運算，三角形的面積公式，是中檔題.題型三：數(shù)列1．（2022·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，若數(shù)列單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】##．【分析】分段函數(shù)型數(shù)列是遞增數(shù)列，需要每段是遞增函數(shù)，且分段端點滿足后一項大于前一項，聯(lián)立不等式解出實數(shù)即可.【詳解】數(shù)列是遞增數(shù)列，又，，且，，解得或，故實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．2．（2022·上海市復(fù)興高級中學(xué)高三階段練習(xí)）對于項數(shù)為的有窮數(shù)列，設(shè)為中的最大值，稱數(shù)列是的控制數(shù)列.例如數(shù)列3，5，4，7的控制數(shù)列是3，5，5，7.(1)若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列是2，3，4，6，6，寫出所有的；(2)設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（為常數(shù)，）.證明：.(3)考慮正整數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列.是否存在數(shù)列，使它的控制數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出滿足條件的數(shù)列的個數(shù)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析；(3)?！痉治觥浚?）由控制數(shù)列確定原數(shù)列，只是在確定時，只要即可；（2）由已知證得控制數(shù)列是不減的數(shù)列，然后確定也是不減的數(shù)列，由第一項開始可證明對應(yīng)項必相等；（3）由于控制數(shù)列是等差數(shù)列，因此可考慮或兩種情形，分類討論可得．(1)由題意，，，，，所以數(shù)列有六種可能：；；；；；．(2)因為，，所以，所以控制數(shù)列是不減的數(shù)列，是的控制數(shù)列，滿足，是常數(shù)，所以，即數(shù)列也是不減的數(shù)列，，那么若時都有，則，若，則，若，則，又，由數(shù)學(xué)歸納法思想可得對，都有；(3)設(shè)的控制數(shù)列是，由（2）知是不減的數(shù)列，必有一項等于，當(dāng)是數(shù)列中間某項時，不可能是等差數(shù)列，所以或，若，則（），是等差數(shù)列，此時只要，是的任意排列均可．共個，，而時，數(shù)列中必有，否則不可能是等差數(shù)列，由此有，即就是，只有一種排列，綜上，的個數(shù)是．【點睛】本題考查數(shù)列新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，應(yīng)用新定義，本題關(guān)鍵是確定控制數(shù)是不減的數(shù)列，從而由此可確定結(jié)論．對學(xué)生的邏輯思維能力要求較高．3．（2021·上?！ど贤馄謻|附中高三階段練習(xí)）稱滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：①；②．（1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比q及的通項公式；（2）若一個等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式：（3）記n階“期待數(shù)列”的前k項和為；（?。┣笞C：．（ⅱ）若存在使，試問數(shù)列能否為n階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由．【答案】（1）或；（2）；（3）證明見解析；不能.【分析】（1）設(shè)出公比并討論公比是否為1，根據(jù)求和公式求解；（2）設(shè)出公差，列方程求解；（3）（ⅰ）反證法即可證明；（ⅱ）通過n階“期待數(shù)列”性質(zhì)結(jié)合分析數(shù)列特征，推出數(shù)列不滿足n階“期待數(shù)列”【詳解】（1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，；．設(shè)公比，若，所以；．所以，，所以或所以的通項公式：或；（2）若一個等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，設(shè)其公差，；，所以，所以，所以，兩式相減：，可得，，所以的通項公式，（3）（ⅰ）假設(shè)．若則，，，，與矛盾；若則，，，，與矛盾；所以不成立，所以得證.（ⅱ）記n階“期待數(shù)列”的前k項和為若存在使，，又因為，所以，，如果數(shù)列能否為n階“期待數(shù)列”，記數(shù)列的前n項和為，由（ⅰ），所以，，所以，所以，，則，所以，與不能同時成立，所以若存在使，則數(shù)列不能為n階“期待數(shù)列”.4．（2021·上海青浦·一模）如果數(shù)列每一項都是正數(shù)，且對任意不小于2的正整數(shù)滿足，則稱數(shù)列具有性質(zhì).(1)若（均為正實數(shù)），判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)；(2)若數(shù)列都具有性質(zhì)，證明：數(shù)列也具有性質(zhì)；(3)設(shè)實數(shù)，方程的兩根為，若對任意恒成立，求所有滿足條件的.【答案】(1)具有性質(zhì)；不具有性質(zhì)(2)證明見詳解(3)【分析】（1）結(jié)合性質(zhì)直接判斷即可；（2）由都具有性質(zhì)，可直接得出，，要證，化簡可得證，結(jié)合性質(zhì)和基本不等式即可求證；（3）先將結(jié)合韋達定理代換成，設(shè)法證明具有性質(zhì)，則原不等式可進一步放縮為，求出，解一元二次不等式即可求解.(1)對，可看作以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，故具有性質(zhì)；對，若滿足，即，整理得，即，，因為，所以不成立，所以不具有性質(zhì)；(2)若都具有性質(zhì)，則，，，，，要證數(shù)列也具有性質(zhì)，即證，即，整理得：，因為，，即證①，因為，，所以，所以，，由基本不等式可得，①得證；(3)由方程的兩根為可得，，，，，，，即，所以放縮得，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，即恒成立，故，解得，又，故只能.5．（2021·上海市延安中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，數(shù)列的前項和為，且；（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項公式；（2）對于任意的（其中，，，均為正整數(shù)），若和的所有的乘積的和記為，試求的值；（3）設(shè)，，若數(shù)列的前項和為，是否存在這樣的實數(shù)，使得對于所有的都有成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由；【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）存在，【分析】（1）當(dāng)n≥2時通過與作差，進而計算可得結(jié)論；（2）通過（1）可得的表達式，進而計算即得結(jié)論；（3）通過（1）可知數(shù)列的通項公式，利用并項相加，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．【詳解】（1）證明：∵，∴當(dāng)n≥2時，，兩式相減，整理得：，又∵，即，∴數(shù)列是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，∴；（2）解：∵，∴；（3）結(jié)論：存在這樣的實數(shù)t，使得對于所有的n都有成立．理由如下：由（1）可知，，即，故，，特別地，當(dāng)n為奇數(shù)時，有n＋1為偶數(shù)，此時，①若n為偶數(shù)，則，由可知，又對所有正偶數(shù)n都成立，故；②若n為奇數(shù)，則，由①可知，其中滿足上式；由可知又對所有正奇數(shù)n都成立，故；由①②可得實數(shù)t的取值范圍是：，所以存在這樣的實數(shù)t，使得對于所有的n都有成立．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問關(guān)鍵是要對n的奇偶進行討論，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題.6．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）對于數(shù)列，若存在常數(shù)對任意恒有，則稱是“數(shù)列”.（1）首項為，公差為d的等差數(shù)列是否是“數(shù)列”？并說明理由；（2）首項為，公比為q的等比數(shù)列是否是“數(shù)列”？并說明理由；（3）若數(shù)列是數(shù)列，證明：也是“數(shù)列”，設(shè)，判斷數(shù)列是否是“數(shù)列”？并說明理由.【分析】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)得，代入不等式得，對的值分類討論即可.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)得，對的值分類討論即可.(3)由題意得，有(),推出即可;進而得到，即證.【詳解】（1）因為是等差數(shù)列，所以，設(shè)，即對一切恒成立，則，所以時，等差數(shù)列是“數(shù)列”；當(dāng)時，等差數(shù)列不是“數(shù)列”.（2）由，則，①當(dāng)時，，必定存在正數(shù)M符合愿意，所以是“數(shù)列”；②當(dāng)時，，，，所以不是“數(shù)列”；③當(dāng)或時，，，，所以不是“數(shù)列”；④當(dāng)或時，，必定存在不小于的常數(shù)M符合題意，所以是“數(shù)列”.綜上，當(dāng)或時，是“數(shù)列”；當(dāng)或時，不是“數(shù)列”.（3）因為是數(shù)列，所以當(dāng)時，又可得所以是數(shù)列.因為所以所以所以是數(shù)列.【點睛】(1)在解決數(shù)列新定義的問題時應(yīng)充分理解數(shù)列的概念，善于觀察分析數(shù)列新定義的結(jié)構(gòu)特征，靈活運用它的性質(zhì)，善于把陌生的知識點轉(zhuǎn)化為熟悉的知識點，達到解題的目的.(2)在解決等差數(shù)列運算問題的思想方法主要有方程思想、整體思想和利用性質(zhì)，可以化繁為簡，優(yōu)化解題過程.(3)熟練應(yīng)用等比數(shù)列的基本性質(zhì)的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.7．（2022·上海·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，，求的值和.【答案】，【解析】利用與的關(guān)系，當(dāng)時，，整理變形可得，即，可知數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式計算得，令，可求得；再對變形得，可知數(shù)列是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的通項公式求解可得.【詳解】當(dāng)時，，，解得：當(dāng)時，由可知，兩式作差可得：，即，即又所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，，由，兩邊同除以，得又，所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，，整理得所以，【點睛】方法點睛：本題考查等差、等比數(shù)列的定義和等差、等比數(shù)列的通項公式，及構(gòu)造法求通項公式，求數(shù)列通項公式常用的方法：（1）由與的關(guān)系求通項公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）構(gòu)造新數(shù)列法.考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與數(shù)學(xué)運算能力，屬于較難題.8．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，其中取何值時，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？【答案】當(dāng)時，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列.【解析】通過遞推關(guān)系，變形得：，可知數(shù)列是等比數(shù)列，再由等比數(shù)列通項公式求得，進而求得解.【詳解】作特征方程，解得變形得：，即所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，即顯然，要使數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則，此時所以當(dāng)時，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列.【點睛】方法點睛：本題考查利用不動點法及等比數(shù)列求通項公式，對于形如的關(guān)系式，有如下的通項求法：該關(guān)系式對應(yīng)于分式方程，化簡為一元二次方程，若該方程有兩個根，則數(shù)列的通項可表示為：（1）若，則為等比數(shù)列，將代入即可化簡為的形式，其中k即為數(shù)列的公比。（2）若，則為等差數(shù)列，將代入即可化簡為的形式，其中d即為數(shù)列的公差。9．（2020·上?！つM預(yù)測）已知數(shù)列是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，若存在常數(shù)，使得，對任意的成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）分別判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)；（直接寫出結(jié)論）①；②．（2）若數(shù)列滿足，求證：“數(shù)列具有性質(zhì)”是“數(shù)列為常數(shù)列”的充分不必要條件；（3）已知數(shù)列中，且．若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）①數(shù)列具有“性質(zhì)”；②數(shù)列不具有“性質(zhì)”；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）驗證對任意的，是否有成立；（2）先證明充分性，即證明當(dāng)數(shù)列具有性質(zhì)時，為常數(shù)列，再證明充分性，即為常數(shù)列時，具有性質(zhì)；（3）先利用具有性質(zhì)證明恒成立，然后運用反證法可證明成立，則，然后可解得數(shù)列的通項公式.【詳解】解：（1）①數(shù)列具有“性質(zhì)”；②數(shù)列不具有“性質(zhì)”．（2）先證“充分性”：當(dāng)數(shù)列具有“性質(zhì)”時，有，又因為，所以，進而有，結(jié)合有，即“數(shù)列為常數(shù)列”；再證“必要性”：若“數(shù)列為常數(shù)列”，則有，即數(shù)列具有“性質(zhì)”．（3）首先證明：．因為具有“性質(zhì)”，所以．當(dāng)時有．又因為且，所以有，，進而有，所以，結(jié)合可得：．然后利用反證法證明：．假設(shè)數(shù)列中存在相鄰的兩項之差大于，即存在滿足：或，進而有又因為，所以依次類推可得：，矛盾，所以有．綜上有：，結(jié)合可得，經(jīng)驗證，該通項公式滿足，所以：．【點睛】本題考查新定義數(shù)列問題，考查學(xué)生獲取新知識、應(yīng)用新知識的能力，難度較大.10．（2016·上海市晉元高級中學(xué)高三期中）已知遞增的等差數(shù)列的首項，且、、成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列對任意，都有成立，求的值．（3）若，求證：數(shù)列中的任意一項總可以表示成其他兩項之積．【答案】（1）；（2）；（3）見解析.【分析】（1）根據(jù)解出公差，即可得到通項公式；（2）當(dāng)時，由①，及②，兩式作差求出，即可求解；（3）通過數(shù)列通項公式關(guān)系對數(shù)列中的任意一項，都存在和使得，即可得證.【詳解】（1）∵是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為、、成等比數(shù)列，∴由及得∴（2）∵，對都成立當(dāng)時，得當(dāng)時，由①，及②①－②得，得∴∴（3）對于給定的，若存在，使得∵，只需，即，即即，取，則∴對數(shù)列中的任意一項，都存在和使得【點睛】此題考查求數(shù)列通項公式以及數(shù)列求和，考查對數(shù)列通項公式的理解認識，證明相關(guān)結(jié)論.11．（2021·上海奉賢區(qū)致遠高級中學(xué)高三期中）已知數(shù)列A：的各項均為正整數(shù)，設(shè)集合，記T的元素個數(shù)為．（1）若數(shù)列A：1，2，4，3，求集合T，并寫出的值；（2）若A是遞增數(shù)列，求證：“”的充要條件是“A為等差數(shù)列”；（3）若，數(shù)列A由這個數(shù)組成，且這個數(shù)在數(shù)列A中每個至少出現(xiàn)一次，求的取值個數(shù)．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）利用列舉法寫出符合題意的所有的的取值可能，得出的值；（2）先假設(shè)數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，公差為，則可知，當(dāng)時，，則可知的最大值為，最小值為，成立；反之若，因為A是遞增數(shù)列，所以，可推出，那么，又，且互不相等，則可知，所以，可得數(shù)列A是等差數(shù)列;(3)當(dāng)數(shù)列A由這個數(shù)組成，則任意兩個不同的數(shù)作差，差值只可能為和，共個值，又因為這個數(shù)在數(shù)列A中共出現(xiàn)次，所以數(shù)列A中存在，所以，則可得出，再說明可以取得之間的所有整數(shù)，得到的值為.【詳解】解：（1）因為，，，，則的可能情況有：，，，，，，所以，．（2）充分性：若A是等差數(shù)列，設(shè)公差為d．因為數(shù)列A是遞增數(shù)列，所以．則當(dāng)時，，所以，．必要性：若．因為A是遞增數(shù)列，所以，所以，且互不相等，所以．又，所以，且互不相等．所以，所以，所以A為等差數(shù)列．（3）因為數(shù)列A由這個數(shù)組成，任意兩個不同的數(shù)作差，差值只可能為和．共個不同的值；且對任意的，m和這兩個數(shù)中至少有一個在集合T中．又因為這個數(shù)在數(shù)列A中共出現(xiàn)次，所以數(shù)列A中存在，所以．綜上，，且．設(shè)數(shù)列：，此時．現(xiàn)對數(shù)列分別作如下變換：把一個1移動到2，3之間，得到數(shù)列：，此時，．把一個1移動到3，4之間，得到數(shù)列：，此時，．把一個1移動到，n之間得到數(shù)列：，此時，．把一個1移動到n，之間，得到數(shù)列：，此時，．再對數(shù)列依次作如下變換：把一個1移為的后一項，得到數(shù)列：，此時，；再把一個2移為的后一項：得到數(shù)列：，此時，；依此類推最后把一個n移為的后一項：得到數(shù)列：，此時，．綜上所述，可以取到從到的所有個整數(shù)值，所以的取值個數(shù)為．【點睛】本題考查新定義數(shù)列問題，難度較大，解答的關(guān)鍵在于根據(jù)數(shù)列中項的大小及數(shù)字特征分析清楚任意兩項的所有可能取值，從而得出的值，注意在解答的過程中，項的順序不同，的值不同.12．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項.【答案】【解析】通過對遞推關(guān)系式，變形可知，同理可知，作商可知，兩邊取對數(shù)可知數(shù)列為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解，從而得到.【詳解】，同理可知：兩式作商可得：兩邊取對數(shù)得：又，則所以數(shù)列是首項為，公比為4的等比數(shù)列，即，整理得：所以.【點睛】方法點睛：本題考查等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的通項公式，求數(shù)列通項公式常用的方法：（1）由與的關(guān)系求通項公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）構(gòu)造新數(shù)列法.考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與數(shù)學(xué)運算能力，屬于較難題.13．（2020·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)有兩個不同的不動點，且由確定著數(shù)列，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，.【解析】先證充分性：當(dāng)時，可知，作特征方程，整理得：，分類討論：若方程有兩個相同的根，顯然成立；若方程有兩個不同的根，兩根設(shè)為，則滿足，代入計算可證得結(jié)論；再證必要性：數(shù)列滿足條件：對于，都有，可作特征方程，得，令此方程的兩個根為，則滿足，代入計算，，再利用，則可證得結(jié)論.【詳解】充分性：當(dāng)時，可推出當(dāng)時，數(shù)列滿足條件：對于，都有，可作特征方程，整理得：，（1）若方程有兩個相同的根，即，兩根，則，滿足；（2）若方程有兩個不同的根，即，兩根設(shè)為，則滿足，即則即滿足；必要性：當(dāng)時，可推出數(shù)列滿足條件：對于，都有，可作特征方程，得，令此方程的兩個根為，則滿足，即，又要使等式成立，則可得顯然，當(dāng)兩根相等時，也滿足；綜上可知，結(jié)論成立【點睛】方法點睛：本題考查利用不動點法求通項公式，對于形如的關(guān)系式，有如下的通項求法：該關(guān)系式對應(yīng)于分式方程，化簡為一元二次方程，若該方程有兩個根，則數(shù)列的通項可表示為：（1）若，則為等比數(shù)列，將代入即可化簡為的形式，其中k即為數(shù)列的公比。（2）若，則為等差數(shù)列，將代入即可化簡為的形式，其中d即為數(shù)列的公差。14．（2020·上海·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：對于，都有（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求；（4）當(dāng)取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？【答案】（1）；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，數(shù)列不存在；（3）；（4）當(dāng)或（且），無窮數(shù)列不存在；【解析】通過對遞推關(guān)系式，變形可知，（1）若，可知（2）變形可知，可知數(shù)列是等差數(shù)列，即可求解，但要注意數(shù)列不存在時；（3）同理（2）；（4）顯然當(dāng)時，數(shù)列不存在；分析當(dāng)時，由知數(shù)列是等差數(shù)列，即可求解，當(dāng)數(shù)列不存在時，即，從而求出；【詳解】數(shù)列滿足：對于，都有，可作特征方程，整理得：，解得（1），，都有（2）由，兩邊取倒數(shù)得：，若，則，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，令，得，故數(shù)列從第5項開始不存在；當(dāng)時，解得：（3）若，則，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列令，得，即，，則解得：（4）顯然當(dāng)時，數(shù)列從第2項開始不存在；由（1）知，當(dāng)時，數(shù)列存在；當(dāng)時，由知，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，令，得，其中且，所以當(dāng)時，無窮數(shù)列不存在；綜上可知，當(dāng)或（且），無窮數(shù)列不存在；【點睛】方法點睛：本題考查利用不動點法求通項公式，若數(shù)列滿足下列條件：已知的值，且對于，都有（其中均為常數(shù)，且），可作特征方程，當(dāng)特征方程有兩個相同的根（稱作特征根）時，（1）若，則，；（2）若，則，，其中，特別地，當(dāng)存在，使時，無窮數(shù)列不存在.題型四：不等式一、單選題1．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）下列不等式中恒成立的是（）A． B．C． D．（若）【答案】B【分析】本題可令取負值判斷出A錯；然后令，將轉(zhuǎn)化為，通過判斷函數(shù)的最小值即可得出B正確；再然后將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得出取不到“”號，即可判斷出C錯誤，最后令、、，即可得出D錯誤.【詳解】A項：當(dāng)取負值時，不成立，故A錯；B項：令，則，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故當(dāng)時取最小值，最小值為，故成立，成立，B正確；C項：，因為，所以，故取不到“”號，C錯誤；D項：令，，，滿足，易知此時，故D錯，故選：B.【點睛】本題考查不等式恒成立的判斷，可通過取特殊值、將不等式轉(zhuǎn)化為方程然后利用導(dǎo)數(shù)求最值、基本不等式的性質(zhì)等方式來判斷，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)方程思想，是中檔題.2．（2020·浙江·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a，b滿足，且則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用換元法，令，從而利用x，y表示出a，b，代入到所求代數(shù)式中，利用基本不等式進行求解.【詳解】解：令則，代入得，因為，所以，所以，由題意可得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），所，.故選：A.【點睛】本題考查換元法及基本不等式的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、運算求解能力，屬于中檔題.解決本題的關(guān)鍵是令，表示出a，b，然后對代數(shù)式進行變形，用基本不等式求最值時，要注意必須滿足“一正、二定、三相等”的條件.二、雙空題3．（2020·浙江·模擬預(yù)測）已知為正實數(shù)，，則_____，_____.【答案】

1

【解析】利用基本不等式和夾逼法則即可求出，再由不等式中等號成立的條件得到，解方程求出的值即可求解.【詳解】由，得，又①，即，結(jié)合，得，由不等式①中等號成立的條件得，聯(lián)立得解得，或所以.故答案分別為：；【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力；靈活運用基本不等式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.三、填空題4．（2021·全國·模擬預(yù)測（理））已知實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】作出約束條件滿足的平面區(qū)域，平移直線，根據(jù)幾何意義，當(dāng)直線經(jīng)過點時取得最小值，當(dāng)直線經(jīng)過點時取得最大值.【詳解】如圖所示，約束條件表示的可行域是以，，為頂點的三角形區(qū)域，設(shè)，則，當(dāng)直線經(jīng)過點時取得最小值，；當(dāng)直線經(jīng)過點時取得最大值，，所以的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件，畫出約束區(qū)域，將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸上的截距問題求解，考查運算求解能力，化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.5．（2020·浙江·模擬預(yù)測）已知實數(shù)，，滿足，，則的最大值為________．【答案】【解析】因為，可知，代入，可得，看作關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)一次二次方程有實根，即可求得的最大值.【詳解】由，可知，代入，可知，即（看作關(guān)于的一元二次方程），當(dāng)取合理值時，關(guān)于的一元二次方程有實根由此可知，化簡得，解得，的最大值為．故答案為：.【點睛】本題考查判別式法求最值，解題關(guān)鍵是掌握別式法求最值的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意的正數(shù)，滿足，則的最小值為_________.【答案】12【分析】先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再根得，最后根據(jù)基本不等式求最值.【詳解】因為恒成立，所以函數(shù)的定義域為，，，所以，為奇函數(shù)，又在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減，在出連續(xù)，在單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，，，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，所以的最小值為12.故答案為：12【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.7．（2021·上海市復(fù)旦中學(xué)高三階段練習(xí)）若是定義在上的函數(shù)，且對任意都有，，且，則____【答案】102.【解析】根據(jù)已知不等式可得，而，根據(jù)“兩邊夾”原理，可得，利用此遞推關(guān)系可得，再令得，只需再求出即可，對分別賦值和并結(jié)合“兩邊夾”原理，即可求出，進而求出．【詳解】因為，所以，即，又，所以，所以，因為對任意都有，且，所以，即，，即由知，所以，所以，所以，所以．故答案為：【點睛】本題主要考查求抽象函數(shù)的函數(shù)值，“兩邊夾”原理及遞推關(guān)系的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是得到和．四、解答題8．（2020·江蘇·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且，.（1）求證：；（2）求證：.【分析】（1）先由，得到，將所證明結(jié)論轉(zhuǎn)化為，再由數(shù)學(xué)歸納法證明，即可得出結(jié)論；（2）先由組合數(shù)的運算性質(zhì)，得到，則，再由二項式定理，計算，即可得出結(jié)論成立.【詳解】（1）因為，即.要證，只需證.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，，命題成立；假設(shè)當(dāng)(，)時命題成立，即，則當(dāng)時，有，由于，所以，顯然有，所以當(dāng)時，命題也成立.所以對任意，都有成立，即得證.（2）因為，所以，因此.由（1）知，，所以，即原命題得證.【點睛】本題主要考查證明數(shù)列不等式，靈活運用數(shù)學(xué)歸納法以及二形式定理即可，屬于中檔題型.9．（2020·福建福州·模擬預(yù)測（理））已知，．（1）當(dāng)時，求證：；（2）求的最小值．【答案】（1）詳見解析；（2）9．【分析】（1）由，表示，在展開所證不等式的左側(cè)配方并整理代值，最后由完全平方式的性質(zhì)得證；（2）由可轉(zhuǎn)化為，將其乘以所求不等式，進而整理化簡并由基本不等式求得最小值.．【詳解】解法一：（1）依題意，當(dāng)時，，且，則，故原不等式成立．（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為5．解法二：（1）依題意，當(dāng)時，，且，則，所以（2）同解法一．【點睛】本題主要考查不等式的證明、基本不等式等基礎(chǔ)知識；考查推理論證能力、運算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想；考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題．10．（2020·內(nèi)蒙古包頭·一模（文））已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；（2）若對任意，都存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分類討論去絕對值號，然后解不等式即可.（2）因為對任意，都存在，使得不等式成立，等價于，根據(jù)絕對值不等式易求，根據(jù)二次函數(shù)易求，然后解不等式即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，則當(dāng)時，由得，，解得；當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，由得，，解得.所以的解集為（2）對任意，都存在，得成立，等價于.因為，所以，且|，①當(dāng)時，①式等號成立，即.又因為，②當(dāng)時，②式等號成立，即.所以，即即的取值范圍為：.【點睛】知識：考查含兩個絕對值號的不等式的解法；恒成立問題和存在性問題求參變數(shù)的范圍問題；能力：分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力；中檔題.11．（2020·陜西西安·三模（理））已知函數(shù)．（1）證明；（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)先求函數(shù)的定義域，用分析法易證.(2)令，只需證明即可，分，，討論即可.【詳解】(1)證明：函數(shù)的定義域為，，只需證明，即證明，即證，顯然成立所以.（2）解：令①當(dāng)時，，在遞增，，即對恒成立，②當(dāng)時，，在遞增，，即對恒成立，③當(dāng)時，，因為，所以有，令，遞增；令，遞減；，，令，，在上遞減，且，所以當(dāng)時，不可能；綜合①②③有，.【點睛】考查證明不等式和不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，后一個問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的值域確定參數(shù)的范圍，難題.12．（2020·上海·復(fù)旦附中青浦分校高三開學(xué)考試）已知數(shù)列是無窮數(shù)列，滿足.（1）若，，求，，的值；（2）求證：“數(shù)列中存在使得”是“數(shù)列中有無數(shù)多項是1”的充要條件；（3）求證：存在正整數(shù)k，使得.【答案】（1）；；；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）直接代入計算即可；（2）分兩步證明，先證必要性：取即可得證；再證充分性：用反證法，假設(shè)數(shù)列中沒有無數(shù)多項是1，不妨設(shè)是數(shù)列中為1的最后一項，則，推出矛盾即可；（3）用反證法證明即可.【詳解】解：（1）因為，，所以，即；所以，即；所以，即.（2）必要性：已知數(shù)列中有無數(shù)多項是1，則數(shù)列中存在使得.證明：因為數(shù)列中有無數(shù)多項是1，所以數(shù)列中存在使得，所以數(shù)列中存在使得.充分性：已知數(shù)列中存在使得，則數(shù)列中有無數(shù)多項是1.證明：假設(shè)數(shù)列中沒有無數(shù)多項是1，不妨設(shè)是數(shù)列中為1的最后一項，則，若，則由可得，所以，所以，這與假設(shè)矛盾；若，則由可得，所以，所以，所以，所以，所以，這與假設(shè)矛盾.綜上，可知假設(shè)不成立，所以原命題正確.由①②可知，“數(shù)列中存在使得”是“數(shù)列中有無數(shù)多項是1”的充要條件.（3）證明：假設(shè)在數(shù)