專題12函數(shù)與方程№專題12函數(shù)與方程№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題12函數(shù)與方程命題解讀命題預(yù)測復(fù)習(xí)建議函數(shù)與方程是高考的一個(gè)考點(diǎn)，求方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題以及零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否存在都是考試的出題方向.備考時(shí)應(yīng)理解函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根和函數(shù)圖象與x軸的橫坐標(biāo)的等價(jià)性.預(yù)計(jì)2024年的高考函數(shù)與方程還是一個(gè)重要的考點(diǎn)，在此部分要注意第一函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及所在區(qū)間的判斷方法，第二由函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍.集合復(fù)習(xí)策略：1.理解函數(shù)與方程的根和函數(shù)圖象與x軸的橫坐標(biāo)的等價(jià)性；2.掌握判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)方法；3.掌握函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍.→?考點(diǎn)精析←一、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及零點(diǎn)所在區(qū)間對于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點(diǎn).

方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).

3.函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.

二、函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的值或取值范圍方法：直接法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.→?真題精講←1.（2023全國甲卷理科10）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.【詳解】因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點(diǎn)，作出與的部分大致圖像如下，考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；所以由圖可知，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.2.（2023全國乙卷理科16）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】原問題等價(jià)于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3.（2023天津卷15）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，此時(shí)成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時(shí)，，此時(shí)成立．（2）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，顯然不成立；若時(shí)，或，若方程有一根，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時(shí)，，顯然不成立；綜上，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)，從而解出．4.（2023北京卷20）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）（2）答案見解析（3）3個(gè)【解析】【分析】（1）先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點(diǎn)存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點(diǎn)的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)的關(guān)系求得的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以.【小問2詳解】由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.【小問3詳解】由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無極值點(diǎn)；綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷與的正負(fù)情況，充分利用的單調(diào)性，尋找特殊點(diǎn)判斷即可得解.→?模擬精練←1．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，．(1)求曲線在x＝1處的切線方程；(2)求使得在上恒成立的k的最小整數(shù)值．【答案】(1)(2)的最小整數(shù)值為2【詳解】（1）曲線，，當(dāng)時(shí)，故切線方程為，整理得：.（2）先設(shè)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.所以，故.令，有，，易知在上單調(diào)遞增，令，有.有=.由，故，所以，所以.故符合條件的的最小整數(shù)值為2.2．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）．(1)討論的單調(diào)性；(2)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，試求的最大值．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）由題意得，令，得兩根為和．當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題意得，則．令，則有兩個(gè)不等正根，于是，且，，即，又，于是，且．則，令，則．令，則，于是在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，即的最大值為.3．（2023·江蘇南通·三模）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由可得，故，而，曲線在處的切線方程為，即.（2）設(shè)在處的切線斜率為k，由（1）得，且，故在處的切線方程為，設(shè)，則，，設(shè)，因?yàn)椋?，僅在時(shí)取等號(hào)，故在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即，分別令，滿足，則，令，則，即.4．（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)），．(1)若函數(shù)，求函數(shù)在上的最大值．(2)若函數(shù)的圖象與直線有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，公共點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值為，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意得，，，令，則；令，則，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在上的最大值為：（2）證明：的圖像與直線的三個(gè)公共點(diǎn)，且在內(nèi)相切，如圖所示，其切點(diǎn)為：，，此時(shí)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)最大，當(dāng)時(shí)，，，，∴，即，∴，故.另解：∴，故.→?專題訓(xùn)練←1．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？级＃⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式和兩角差的公式得到，利用平移變換得到，再根據(jù)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最值求解.【詳解】由，化簡得，所以．又是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最值，所以，解得．因?yàn)?，所以．故選：A．2．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，即，即，所以，即，綜上，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，，利用中間量來比較的大小是解決本題的關(guān)鍵.3．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且，，當(dāng)時(shí)，，則）=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件可得函數(shù)是奇函數(shù)也是周期函數(shù)，利用周期性和奇偶性，有，代入已知解析式求解即可.【詳解】由，有，可得，所以的周期為2.令，代，可得，所以，故函數(shù)為奇函數(shù)，所以因?yàn)椋?，所?故選：B4．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．設(shè)s為正數(shù)，則在中（

）A．不可能同時(shí)大于其它兩個(gè) B．可能同時(shí)小于其它兩個(gè)C．三者不可能同時(shí)相等 D．至少有一個(gè)小于【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和最值，并結(jié)合的大小關(guān)系，通過賦值或分類討論分析判斷.【詳解】∵，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，且，對A：若，則，則，A錯(cuò)誤；對B、C：當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；當(dāng)時(shí)，則，故；綜上所述：不可能同時(shí)小于，B、C錯(cuò)誤；對D：構(gòu)建，則當(dāng)時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，令，可得，則，故，即，使得，反證：假設(shè)均不小于，則，顯然不成立，假設(shè)不成立，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在比較與的大小關(guān)系時(shí)，通過構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析判斷.5．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，．下列說法正確的為（

）A．若，則函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)B．若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則C．若，則函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D．若在和處的切線相互垂直，則【答案】BCD【分析】解方程得到A錯(cuò)誤，解方程得到，解得B正確，計(jì)算零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2得到C正確，根據(jù)斜率的關(guān)系得到，D正確，得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A：，故（無解）或，，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B：，故或，故，且，解得，正確；對選項(xiàng)C：取，則，，，則，設(shè)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，故，，則，或，正確；對選項(xiàng)D：當(dāng)和同時(shí)為正或者同時(shí)為負(fù)時(shí)不成立，不妨設(shè)，，，，則，故，正確.故選：BCD6．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，在區(qū)間對任意恒成立，則下列選項(xiàng)中的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調(diào)性得到函數(shù)為上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到，利用參變分離和的取值范圍求出的取值范圍，進(jìn)而求解.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱且在區(qū)間上單調(diào)遞增可得，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，函數(shù)為上單調(diào)遞增，由可得，，也即，則有恒成立，即因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，得到恒成立；當(dāng)時(shí)，則有，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，則，所以BC適合題意，AD不合題意.故選：BC.7．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知經(jīng)過點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（為整數(shù)），且與直線相切，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B．若，則實(shí)數(shù)的值為C．若，則直線的方程為或D．弦的中點(diǎn)的軌跡方程為【答案】BC【分析】根據(jù)題意可得出關(guān)于的等式，結(jié)合可求得的值，可得出圓的方程，可判斷A選項(xiàng)；分析可知直線過圓心，求出的值，可判斷B選項(xiàng)；利用勾股定理結(jié)合點(diǎn)到直線的距離求出的值，可得出直線的方程，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)已知條件求出點(diǎn)的軌跡方程，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A，設(shè)圓的半徑為，由題意可得圓的方程為（為整數(shù)），根據(jù)點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，且圓與直線相切，則，所以，，因?yàn)?，解得，則，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A錯(cuò)誤；對于B，由題意可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，點(diǎn)在圓上，且，線段為圓的一條直徑，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，圓心在直線上，，解得，故B正確；對于C，由選項(xiàng)A知圓的半徑為，圓心，則圓心到直線的距離，，即，解得，，整理得，解得或，則直線的方程為或，故C正確；對于D，直線的方程可化為，過定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可得，點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓，則此圓圓心為線段的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為，半徑為，則該圓的方程為，由解得或，故弦的中點(diǎn)的軌跡方程為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.8．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？既＃┮阎瘮?shù).（1）若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l過點(diǎn)（0，1e），求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1);(2)【詳解】解：（1），，，則與連線斜率，則；（2）由,當(dāng)時(shí)，由可得，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，令，則，則在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，故存在，使得，?dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，則函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；令，有，則單調(diào)遞增，有，又，可得，有，又由，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)橛星抑挥腥齻€(gè)零點(diǎn)，必有，即，令，有，可得為減函數(shù)，由，可得時(shí)，，有，當(dāng)且時(shí)，有，，故當(dāng)時(shí)，若有且只有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.9．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知.(1)若，證明：存在唯一零點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)見解析(2)有2個(gè)零點(diǎn)，【詳解】（1），，由于，所以進(jìn)而，所以在單調(diào)遞減，又，所以存在唯一零點(diǎn)（2），，則，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞減，，所以在在沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，所以在單調(diào)遞增，又故當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)0，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，，故使得，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)此時(shí)無零點(diǎn)，當(dāng)，只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可知：時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，10．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(3)設(shè)，若對任意的恒成立，且不等式兩端等號(hào)均能取到，求的最大值.【答案】(1)證明過程見詳解(2)(3)【詳解】（1）令，得，令，要證函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即證在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，由，，則，由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).故得證.（2）對函數(shù)求導(dǎo)可得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，顯然，則；當(dāng)時(shí)，令，，因?yàn)?，（令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，）所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，則，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（3）由（1）知，函