3.3幾何概型案例探究判斷下列試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是否是古典概型？若不是，它又是什么概型呢？（1）拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率；（2）如右圖所示，圖中有一個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率.分析：本題探究的是幾何概型與古典概型的特點(diǎn)，古典概型具有有限性和等可能性，而幾何概型則是在試驗(yàn)中出現(xiàn)無(wú)限多個(gè)結(jié)果，且與事件的區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān).解：（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型.（2）游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無(wú)限多個(gè)結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”.概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來(lái)衡量，即與區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)，因此屬于幾何概型.請(qǐng)同學(xué)們?cè)傧胂胂旅鎲栴}.某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各地的客車均每小時(shí)一班，求此人等車時(shí)間不多于10分鐘的概率.分析：假設(shè)他在0～60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到車站等車是等可能的，但在0到60分鐘之間有無(wú)窮多個(gè)時(shí)刻，不能用古典概型公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率.我們可以通過(guò)幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因?yàn)榭蛙嚸啃r(shí)一班，他在0到60分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻到站等車是等可能的，所以他在哪個(gè)時(shí)間段到站等車的概率只與該時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，而與該時(shí)間段的位置無(wú)關(guān)，這符合幾何概型的條件.解：設(shè)A={等待的時(shí)間不多于10分鐘}，我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車的時(shí)刻位于［50，60］這一時(shí)間段內(nèi)，因此由幾何概型的概率公式，得P（A）=．即“等待的時(shí)間不多于10分鐘”的概率為．自學(xué)導(dǎo)引1．對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn).這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型（geometricprobabilitymodel）.2．幾何概型的兩個(gè)基本特征：（1）無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè).（2）等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.3．一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P（A）=.這里要求D的測(cè)度不為0，其中“測(cè)度”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí)，相應(yīng)的“測(cè)度”分別是長(zhǎng)度、面積和體積等.4．幾何概型的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率P（A）只與子區(qū)域d的測(cè)度（長(zhǎng)度、面積、體積）成正比，而與子區(qū)域d的位置和形狀無(wú)關(guān).疑難剖析古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個(gè)，幾何概型的基本事件則有無(wú)限多個(gè).計(jì)算幾何概型的概率要先計(jì)算基本事件總體與事件A包含的基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域的測(cè)度（角度、面積、體積），而這可能遇到困難，這是本節(jié)難點(diǎn)之一.實(shí)際上本節(jié)的重點(diǎn)不在于計(jì)算，而在于如何利用幾何知識(shí)，把問題轉(zhuǎn)化為各種幾何概型的概率問題.同時(shí)要注意判斷基本事件的等可能性，這需要嚴(yán)謹(jǐn)思維，切忌想當(dāng)然，需要從問題的實(shí)際背景中去判斷.【例1】在等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率.思路分析：點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，故線段AB為區(qū)域D．當(dāng)點(diǎn)M位于圖中線段AC′上時(shí)，AM<AC．故線段AC′即為區(qū)域D．解：在AB上截取AC′=AC．于是P（AM<AC)=P(AM<AC′)=.思維陷阱：如右圖，在等腰Rt△ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM<AC的概率.錯(cuò)解：在AB上取AC′=AC,在∠ACB內(nèi)作射線CM看作在線段AC上任取一點(diǎn)M，過(guò)C、M作射線CM，則概率為.錯(cuò)因分析：雖然在線段上任取一點(diǎn)是等可能的，但過(guò)點(diǎn)C和任取的點(diǎn)所作的射線是不均勻的，因而不能把等可能取點(diǎn)看作等可能作射線.因此在確定基本事件時(shí)，一定要注意選擇好觀察角度，注意判斷基本事件發(fā)生的等可能性.正解：在∠ACB內(nèi)的射線CM是均勻分布的，所以射線CM作在任何位置都是等可能的.在AB上取AC′=AC，則∠ACC′=67．5°，故滿足條件的概率為=0.75．思維啟示：判斷基本事件應(yīng)從“等可能”的角度入手，選擇好觀察角度.【例2】如右圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，∠xOT=60°，任作一條射線OA，求射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率.思路分析：以O(shè)為起點(diǎn)作射線OA是隨機(jī)的，因而射線OA落在任何位置都是等可能的.落在∠xOT內(nèi)的概率只與∠xOT的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件.記B={射線OA落在∠xOT內(nèi)}.∵∠xOT=60°,∴P(B)==．思維啟示：此題關(guān)鍵是搞清過(guò)O作射線OA可以在平面內(nèi)任意作，而且是均勻的.因而基本事件的發(fā)生是等可能的.【例3】如右圖，在墻上掛著一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個(gè)同心圓，半徑分別為2cm、4cm、6cm,某人站在3m之外向此板投鏢，設(shè)投鏢擊中線上或沒有投中木板時(shí)都不算，可重投，問：（1）投中大圓內(nèi)的概率是多少？（2）投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？（3）投中大圓之外的概率是多少？思路分析：投中正方形木板上每一點(diǎn)（投中線上或沒投中都不算）都是一個(gè)基本事件，這一點(diǎn)可以是正方形木板上任意一點(diǎn)，因而基本事件有無(wú)限多個(gè)，且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相等，所以投中某一部分的概率只與這部分的幾何度量（面積）有關(guān)，這符合幾何概型的條件.解：記A={投鏢擊中大圓內(nèi)}，B={投鏢擊中小圓與中圓形成的圓環(huán)}，C={投鏢擊中大圓之外}.S正方形=162=256，S大圓=π×62=36π,S中圓=π×42=16π,S小圓=π×22=4π．∴P(A)=．P(B)=．P(C)=．答：投中大圓內(nèi)的概率是π；投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率為π；投中大圓之外的概率是1π．思維啟示：投中線上或沒投中不算，是為了保證投中正方形內(nèi)各部分的任意一點(diǎn)都是等可能的，因而可用幾何概型的概率公式求概率.【例4】在500mL的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率.思路分析：由于草履蟲在水中什么位置是隨機(jī)的，而取水樣也具有隨機(jī)性，所以取哪一部分水樣的可能性相等.因而取到草履蟲的概率只與所取水樣的體積有關(guān).這符合幾何概型的條件.解：記事件A={在取出的2mL水樣中有草履蟲}.由幾何概率公式得，P（A）==0.004．【例5】甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過(guò)時(shí)即可離去.求兩人能會(huì)面的概率.思路分析：甲、乙兩人中每人到達(dá)會(huì)面地點(diǎn)的時(shí)刻都是6時(shí)到7時(shí)之間的任一時(shí)刻，如果在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)用x軸表示甲到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，y軸表示乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，用0分到60分表示6時(shí)到7時(shí)的時(shí)間段，則橫軸0到60與縱軸0到60的正方形中任一點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y），就表示甲、乙兩人分別在6時(shí)到7時(shí)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的時(shí)間.而能會(huì)面的時(shí)間由|xy|≤15所對(duì)應(yīng)的圖中陰影部分表示.由于每人到達(dá)的時(shí)間都是隨機(jī)的，所以正方形內(nèi)每個(gè)點(diǎn)都是等可能被取到的（即基本事件等可能發(fā)生）.所以兩人能會(huì)面的概率只與陰影部分的面積有關(guān)，這就轉(zhuǎn)化為面積型幾何概率問題.解：以x和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能夠會(huì)面的充要條件是|xy|≤15．在如右圖所示平面直角坐標(biāo)系下，(x,y)的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為60的正方形，而事件A“兩人能夠會(huì)面”的可能結(jié)果由上圖中的陰影部分表示.由幾何概率公式得：P（A）=答：兩人能會(huì)面的概率是．思維啟示：本題的難點(diǎn)是把兩個(gè)時(shí)間分別用x,y兩個(gè)坐標(biāo)表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)（x,y），從而把時(shí)間這個(gè)一維長(zhǎng)度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，轉(zhuǎn)化成面積型幾何概率問題.拓展遷移【拓展點(diǎn)】喬和摩進(jìn)行了30分鐘的關(guān)于他們前一天夜里進(jìn)行的活動(dòng)的談話，然而談話卻被監(jiān)聽錄音機(jī)錄了下來(lái)，聯(lián)邦調(diào)查局拿到磁帶并發(fā)現(xiàn)其中有10秒鐘長(zhǎng)的一段內(nèi)容包含他們倆犯罪的信息，然而后來(lái)發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被聯(lián)邦調(diào)查局的一名工作人員擦掉了，該工作人員聲稱她完全是無(wú)意中按錯(cuò)了鍵，使從此處往后的所有內(nèi)容都被擦掉了.試問：如果這10秒鐘的談話記錄開始于磁帶記錄后的半分鐘處，那么含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部偶然擦掉的概率將是多大？分析：包含兩人犯罪的談話錄音的部分在30s到40s之間，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在這段時(shí)間內(nèi)時(shí)，部分被擦掉，當(dāng)按錯(cuò)鍵的時(shí)刻在0到30s之間時(shí)全部被擦掉，