7．3.2離散型隨機(jī)變量的方差1.理解離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念與意義.2.掌握方差的性質(zhì)，能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些簡單的實(shí)際問題.3.通過學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差，體會數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).借助方差的性質(zhì)及兩點(diǎn)分布的方差解題，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).(一)教材梳理填空1．離散型隨機(jī)變量的方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的

．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越

；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越

．(3)兩點(diǎn)分布的方差若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝_________(其中p為成功概率)．離散程度集中分散p(1－p)2．方差的性質(zhì)D(aX＋b)＝

，D(C)＝

(C是常數(shù))．[微思考]

求隨機(jī)變量Y＝aX＋b的方差有哪些方法？

提示：可有兩種方法：一：先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；二：應(yīng)用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．a(chǎn)2D(X)0(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定．

(

)(2)離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度．

(

)(3)離散型隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波動水平．

(

)答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)×4．若D(ξ)＝1，則D(ξ－D(ξ))＝________.解析：D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1)＝D(ξ)＝1.答案：1題型一求離散型隨機(jī)變量的方差

[學(xué)透用活]離散型隨機(jī)變量的方差與樣本方差之間的關(guān)系(1)區(qū)別：隨機(jī)變量的方差是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本方差是一個隨機(jī)變量，它隨樣本抽取的不同而變化．(2)聯(lián)系：對于簡單的隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來越接近于總體的方差．[典例1]袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值．求離散型隨機(jī)變量ξ的方差的步驟(1)理解ξ的意義，明確其可能取值；(2)判定ξ是否服從特殊分布(如兩點(diǎn)分布等)，若服從特殊分布，則可利用公式直接求解；若不服從特殊分布則繼續(xù)下面步驟；(3)求ξ取每個值的概率；(4)寫出ξ的分布列，并利用分布列性質(zhì)檢驗(yàn)；(5)根據(jù)方差定義求D(ξ)．

[對點(diǎn)練清]如圖，左邊為國外的著名數(shù)學(xué)家，右邊為其國籍，一位數(shù)學(xué)教師為了激發(fā)學(xué)生了解數(shù)學(xué)史的熱情，在班內(nèi)進(jìn)行數(shù)學(xué)家和其國籍的連線游戲，參加連線的同學(xué)每連對一個得1分．假定一個學(xué)生對這些數(shù)學(xué)家沒有了解，只是隨機(jī)地連線，試求該學(xué)生得分X的分布列及其數(shù)學(xué)期望、方差．解：該學(xué)生連線的情況：連對0個，連對1個，連對2個，連對4個，故其得分可能為0分，1分，2分，4分．高斯

法國笛卡爾

挪威阿貝爾

英國牛頓

德國題型二離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)應(yīng)用[學(xué)透用活][典例2]已知隨機(jī)變量X的分布列為(1)求X的方差及標(biāo)準(zhǔn)差；(2)設(shè)Y＝2X－E(X)，求D(Y)．關(guān)于方差性質(zhì)的四點(diǎn)說明(1)當(dāng)a＝0時，D(aX＋b)＝D(b)＝0，即常數(shù)的方差等于0.(2)當(dāng)a＝1時，D(X＋b)＝D(X)，即隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于這個隨機(jī)變量的方差本身．(3)當(dāng)b＝0時，D(aX)＝a2D(X)，即隨機(jī)變量與常數(shù)之積的方差，等于這個常數(shù)的平方與這個隨機(jī)變量方差的乘積．(4)當(dāng)a，b均為非零常數(shù)時，隨機(jī)變量η＝aX＋b的方差D(η)＝D(aX＋b)＝a2D(X)．

[探究發(fā)現(xiàn)](1)A，B兩臺機(jī)床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出現(xiàn)次品的概率如下表．A機(jī)床B機(jī)床試求E(X1)，E(X2)．次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10題型三方差的實(shí)際應(yīng)用

提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.(2)在探究(1)中，由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？提示：不能．因?yàn)镋(X1)＝E(X2)．(3)在探究(1)中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A，B兩臺機(jī)床加工質(zhì)量？提示：利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定．

[學(xué)透用活][典例3]甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ與η，且ξ，η的分布列為(1)求a，b的值；(2)計(jì)算ξ，η的期望與方差，并依此分析甲、乙技術(shù)狀況．ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3[解]

(1)由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)得a＋0.1＋0.6＝1，解得a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，解得b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)>E(η)，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢與劣勢．利用均值和方差的意義解決實(shí)際問題的步驟(1)比較均值：離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，

因此，

在實(shí)際決策問題中，

需先計(jì)算均值，看一下誰的平均水平高．(2)在均值相等的情況下計(jì)算方差：方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計(jì)算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定．(3)下結(jié)論：依據(jù)均值和方差的幾何意義做出結(jié)論．

[對點(diǎn)練清]甲、乙兩個野生動物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：乙保護(hù)區(qū)：X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4試評定這兩個保護(hù)區(qū)的管理水平．解：甲保護(hù)區(qū)違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差為E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差為E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因?yàn)镋(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動，乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定．[課堂思維激活]一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會貫通1．已知X的分布列如下：(1)求X2的分布列；(2)計(jì)算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2．為選拔奧運(yùn)會射擊選手，對甲、乙兩名射手進(jìn)行選拔測試．已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中的10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人．解：(1)依題意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，∴乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴ξ，η的分布列分別為(2)由(1)可得E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(環(huán))，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(環(huán))．ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.