PAGE數(shù)理學(xué)院JINGGANGSHANUNIVERSITY畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）等價(jià)無窮小量在求極限上的應(yīng)用姓名齊長春單位地址井岡山大學(xué)郵政編碼343009專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系（院）數(shù)理學(xué)院指導(dǎo)教師李冬生2013年5月1日PAGEI目錄摘要–––––––––––––––––––––––––––––1引言–––––––––––––––––––––––––––––2一、無窮小量–––––––––––––––––––––––––31.1無窮小量的定義––––––––––––––––––––––31.2等價(jià)無窮小量的一些基本性質(zhì)––––––––––––––––––31.3無窮小量階的比較及等價(jià)無窮小量的定義––––––––––––––3二、等價(jià)無窮小量–––––––––––––––––––––––42.1等價(jià)無窮小量的重要性質(zhì)––––––––––––––––––––42.2一些常用的等價(jià)無窮小量––––––––––––––––––––4三、極限問題的解法––––––––––––––––––––––53.1可以直接求極限的問題–––––––––––––––––––––53.2用兩個(gè)重要極限求極限–––––––––––––––––––––53.3用洛必達(dá)法則求極限––––––––––––––––––––––63.4用等價(jià)無窮小量求極限–––––––––––––––––––––73.5等價(jià)無窮小代換的局限性––––––––––––––––––––83.6階數(shù)的求法–––––––––––––––––––––––––93.7利用泰勒公式求函數(shù)極限––––––––––––––––––––9四、等價(jià)無窮小替換的優(yōu)勢(shì)–––––––––––––––––––11五、方法總結(jié)–––––––––––––––––––––––––12參考文獻(xiàn)–––––––––––––––––––––––––––13英文摘要–––––––––––––––––––––––––––14【摘要】無窮小量從提出到正式的定義經(jīng)過了一番曲折，還引發(fā)了一次數(shù)學(xué)危機(jī)，等價(jià)無窮小量的提出，在微積分領(lǐng)域可以說具有劃時(shí)代的意義，它為解決正項(xiàng)級(jí)數(shù)與極限等類型的問題帶來了很大的方便，特別是在極限問題上。這里我們只重點(diǎn)討論它在求極限方面的應(yīng)用以及優(yōu)勢(shì)，等價(jià)無窮小代換是一種應(yīng)用很廣泛的求極限方法，但是要注意遵守?zé)o窮小量的替換法則，才能使得計(jì)算簡化而又不出錯(cuò)，當(dāng)然本文會(huì)具體去討論應(yīng)用中要注意的事項(xiàng)。正確使用等價(jià)無窮小量能解決洛必達(dá)法則所不能解決的問題。在求極限問題中，方法有很多，比如利用兩個(gè)重要的極限求極限，利用洛必達(dá)法則還有等價(jià)無窮小替換以及泰勒公式等方法求極限，這些方法都有它的優(yōu)越性，但是我們總想要去尋求一種最簡單便捷的方法得到結(jié)果，其中等價(jià)無窮小替換有著不可替代的地位，以及優(yōu)越的簡化計(jì)算的作用。【關(guān)鍵詞】等價(jià)無窮小量；洛必達(dá)法則；兩個(gè)重要的極限；泰勒公式；優(yōu)越性。引言微積分還有一個(gè)名稱，叫“無窮小分析”。其實(shí)微積分是由牛頓和萊布尼茨獨(dú)自完成的，一開始他們就是從直觀的無窮小量開始的。數(shù)學(xué)中的分析學(xué)早期就叫無窮小分析，無窮小量在當(dāng)時(shí)是一個(gè)讓人頭疼的概念。按照牛頓的流數(shù)法來計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法如下：算法雖然很簡單，可是確實(shí)有矛盾。我們知道，要使等式中式成立，則必需≠0，而要式成立，則需。問題就成了討論到底是不是0?如果是零0，怎么能用它做除數(shù)?如果不是，又怎么能把包含著的項(xiàng)去掉呢?這也是當(dāng)時(shí)微積分的一個(gè)悖論——貝克萊悖論。就這樣，在完善微積分基礎(chǔ)理論問題的過程中，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)了比較混亂的局面，并由此引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。直到柯西系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論。他認(rèn)為，如果硬要把這里的作為確定的量，即使是0，都不算準(zhǔn)確，它會(huì)與極限的定義發(fā)生矛盾；應(yīng)該是要它如何小就如何小的量，將這樣一個(gè)量命名為無窮小量。所以，本質(zhì)上它是以零為極限的變量。定義為變量，才解開了人們對(duì)無窮小量概念的模糊認(rèn)識(shí)。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)結(jié)束，貝克萊悖論得到解決。改用極限的概念,那么求導(dǎo)數(shù)的過程就可以改寫為：這樣，就沒有矛盾了。于是，無窮小量正式誕生了。一、無窮小量1.1無窮小量的定義設(shè)f在某空心鄰域內(nèi)有定義.若,則稱?為當(dāng)時(shí)的無窮小量。1.2無窮小量的一些基本性質(zhì)根據(jù)無窮小量的定義，可以類似地定義當(dāng)，，，以及時(shí)的無窮小量與有界量。這里我們很容易判斷,如函數(shù),,,均為當(dāng)時(shí)的無窮小量。在這里我總結(jié)了一些無窮小量的性質(zhì)：（1)無窮小量是一個(gè)變量。在變化過程中以零為極限.如函數(shù)，當(dāng)時(shí)的無窮小量,但當(dāng)時(shí)不是無窮小量。(2)絕對(duì)值非常小的數(shù)并不就是無窮小量；無窮小量是無限趨近于0而又不等于0的量。（3）在一次運(yùn)算過程中，有限個(gè)無窮小量的和、差、積還是無窮小?！咀⒁狻繜o窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小。例如，時(shí)是無窮小，但個(gè)之和為1，不是無窮小。（4）無窮小量與有界量的乘積為無窮小量。如：，，1.3無窮小量階的比較及等價(jià)無窮小量的定義1）若,則稱當(dāng)時(shí)，是高階無窮小，或稱為的低階無窮小，記作=().特別，f為當(dāng)x→時(shí)的無窮小量記作=().2)若存在正數(shù)K和L,使得在某上有,則稱與為當(dāng)時(shí)的同階無窮小量.特別當(dāng)時(shí)，則稱與必為當(dāng)同階無窮小。3)若，則稱與是當(dāng)時(shí)的等價(jià)無窮小量.記為～.注：當(dāng)x→0時(shí)，與雖然都是無窮小量，卻不能進(jìn)行階的比較，所以在進(jìn)行階的比較時(shí)還要注意有沒有意義。二、等價(jià)無窮小量2.1等價(jià)無窮小量的重要性質(zhì)設(shè),,,,等均為同一自變量變化過程中的無窮小。性質(zhì)一：若～,～,且存在，則()性質(zhì)二：若～，～，則～.性質(zhì)一是等價(jià)無窮小量商的極限求法；性質(zhì)二是等價(jià)無窮小量的傳遞性.2.2一些常用的等價(jià)無窮小量:(當(dāng)時(shí))（1）～；（2）～；（3）～；（4）～；（5）～；（6）～；（7）～；（8）～.三、極限問題的解法3.1可以直接求極限的問題3.1.1直接將的代入所求極限的函數(shù)中去，若存在，即為其極限。例1若不存在，可以代入進(jìn)去，看分子分母的值判斷屬于哪一類型，再做打算。例如：就不能直接代入，但可以知道這是一個(gè)型的不定式，我們可以用以下的方法來求解。3.1.2（因式分解）：例2。3.1.3（分子（分母）有理化）：例33.2用兩個(gè)重要極限求極限在高等數(shù)學(xué)里，有兩個(gè)極限是很重要的，在求極限上很有用。這里我們只寫出結(jié)論來，證明省略：（2）很多時(shí)候我們都會(huì)用到這兩個(gè)重要的極限去快速的解決一些特殊的極限問題，列舉兩個(gè)例題：例4求例5求解可是這兩個(gè)重要極限的使用也有其局限性，對(duì)于更一般的極限，就不能用了，我們只能另辟蹊徑。3.3用洛必達(dá)法則求極限我們定義兩個(gè)無窮小或兩個(gè)無窮大量之比的極限為型或型不定式極限。這兩種情況都不能直接用商的極限運(yùn)算法則計(jì)算。而導(dǎo)數(shù)就是討論型不定式極限的，所以，我們可以用導(dǎo)數(shù)作為工具來研究一般不定式的極限。這種方法我們稱之為“洛必達(dá)法則”。例6解：很明顯這里是不能直接代入1的，用以上幾種方法都顯得“雞肋”，我們用洛必達(dá)法則試試。則有：（分子分母同時(shí)求導(dǎo)）用洛必達(dá)法則很容易就得出結(jié)果，那么看一下下面這個(gè)例題例7（1），現(xiàn)在我們直接使用洛比達(dá)法則，則（2）會(huì)發(fā)現(xiàn)，分子分母上的求導(dǎo)運(yùn)算越來越復(fù)雜，并沒有起到簡化的作用。那么怎么辦呢?我們這時(shí)候要想到等價(jià)無窮小替換，如果在第（1）步中對(duì)分母上的無窮小量用等價(jià)無窮小量來替換，則這時(shí)再使用洛比達(dá)法則，運(yùn)算過程就變的簡單了。同樣的我們看到下面這個(gè)例題：例8解：原式

（用洛必達(dá)法則）

（將x=0代入）（用洛必達(dá)法則）用洛必達(dá)法則求不出結(jié)果，會(huì)一直循環(huán)下去.怎么辦？用等價(jià)無窮小量代換.3.4用等價(jià)無窮小量求極限回到上面的例8，因?yàn)閤～sinx～tanx(x→0)，所以,原式==1，問題迎刃而解。我們?cè)僖淮慰吹搅寺灞剡_(dá)法則的局限性以及等價(jià)無窮小替換的方便。例9解當(dāng)→時(shí),～,～..同樣的，這里如果只使用洛必達(dá)法則，上式越變?cè)綇?fù)雜,求出結(jié)果也是累的半死.改用等價(jià)無窮小替換就方便的多了。那么是不是任何時(shí)候都可以用等價(jià)無窮小來替換呢？3.5等價(jià)無窮小代換的局限性下面我們通過一個(gè)例題來具體討論一下：例10:（1）（2）先算第（1）題，利用重要極限和運(yùn)算法則直接求：如果改用等價(jià)無窮小替換：明顯這是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論。同樣的第（2）題也利用重要極限和運(yùn)算法則直接求：改用等價(jià)無窮小計(jì)算：結(jié)果與上式相同.可是為什么會(huì)這樣呢？有的可以作等價(jià)替換，而有的題目作替換后就出錯(cuò)？【注意】兩個(gè)函數(shù)相減時(shí)就不能隨便用等價(jià)無窮小替換了。那么怎么判斷兩個(gè)函數(shù)相減時(shí)用等價(jià)無窮小替換到底是不是合適的呢？其實(shí)我們只要搞清楚等價(jià)無窮小代換的實(shí)質(zhì)，原因就出在它的余項(xiàng)上。第（1）題若用等價(jià)無窮小，實(shí)際上應(yīng)當(dāng)為因?yàn)榉肿邮堑母唠A無窮小，而不是的高階無窮小，所以不一定等于零。第（2）題中.【注】無窮小量的的和，差，積還是無窮小量。這里分子是的高階無窮小，那么分子與的比值的極限為零。也就是余項(xiàng)的階數(shù)一定要統(tǒng)一，在余項(xiàng)的階數(shù)不同的情況下，就不可隨便等價(jià)代換。以上結(jié)果說明在錯(cuò)用等價(jià)無窮小量時(shí)，一般是階數(shù)的判斷上出現(xiàn)錯(cuò)誤，那么階數(shù)應(yīng)該怎么求呢？請(qǐng)看下面的例題3.6階數(shù)的求法例11解例12證：所以，當(dāng)。也就是，只要使得兩個(gè)作比較的無窮小量的極限的是常數(shù)，此時(shí)，與之作比較的變量的冪就是階數(shù)。如果作比較的無窮小量階數(shù)不同，即等價(jià)無窮小替換出現(xiàn)條件限制，而使用洛必達(dá)法則又很復(fù)雜的情況下，我們還可以考慮使用泰勒公式。3.7利用泰勒公式求函數(shù)極限泰勒定理：若函數(shù)在[a,b]上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在（a,b）內(nèi)存在（n+1）階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的∈[a,b]，至少存在一點(diǎn)ε∈（a,b）,使得一般我們用到的都是時(shí)的特殊形式：也稱為（帶有佩亞諾余項(xiàng)的）麥克勞林公式。下面我們將用到這兩個(gè)公式，讓我們將例10稍作修改，以便計(jì)算第（1）題求改為求同樣，是在時(shí)，將與作比較，所以將和都要展開到項(xiàng)，有如下展開式：,則第（2）題求這里是在時(shí)，將與作比較，所以只需將展開到，就可以了。有如下展開式：所以，.這里我們先初步了解用泰勒公式的基本步驟，可以看到對(duì)于這些簡單的極限用泰勒公式也很容易算出結(jié)果。下面我們?cè)倏磦€(gè)復(fù)雜一點(diǎn)的：例13求極限解我們分別用帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式去展開分子和分母,即：；；其實(shí)，我們不難發(fā)現(xiàn)，用泰勒公式雖然可以解決一些較復(fù)雜的求極限問題。但是過程著實(shí)復(fù)雜，而且一不小心就容易在計(jì)算上出錯(cuò)，而往往一步錯(cuò)，就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)結(jié)果全錯(cuò)，而且錯(cuò)誤還不容易發(fā)現(xiàn)，最麻煩的是要去判斷應(yīng)該展開到哪一項(xiàng)。所以泰勒公式表現(xiàn)出優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，也顯現(xiàn)出弊端。這里就再一次體現(xiàn)出等價(jià)無窮小替換的好處了。四、等價(jià)無窮小替換的優(yōu)勢(shì)例14求解首先，我們用兩個(gè)重要極限解答：因?yàn)?=然后，再用洛必達(dá)法則解題：原式==我們看一下等價(jià)無窮小替換：由于等價(jià)于,等價(jià)于，則由等價(jià)無窮小替換有：從這個(gè)例子中我們看到，求解函數(shù)極限的方法有很多種，以上我們基本上都羅列出了這些主要解題方法。我們解題當(dāng)然是得出正確的結(jié)果最重要，運(yùn)用泰勒公式雖然基本上可以解決一些“難啃的骨頭”，但是過程與其他的方法一樣，往往顯得很繁瑣，這是我們不想看到的。正是出于這種考慮，我們發(fā)現(xiàn)恰當(dāng)?shù)乩脽o窮小替換能夠快速、準(zhǔn)確地求解一些函數(shù)極限。五、方法總結(jié)這么多求極限的方法，在運(yùn)用這些方法的時(shí)候要注意什么呢？作個(gè)總結(jié)，如下:（1）能直接簡單計(jì)算出來的就直接計(jì)算。（2）若不能直接計(jì)算出來，檢查是否滿足或型不定式，再用洛必達(dá)法則，若條件符合洛必達(dá)法則，就可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。不符合條件，不可隨便用。（3）如果僅用洛必達(dá)法則，往往計(jì)算會(huì)十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結(jié)合。比如用等價(jià)無窮小量替換等等.（4）等價(jià)無窮小替換在使用的過程中也要注意兩個(gè)函數(shù)相減時(shí)不能濫用等價(jià)無窮小替換，要想用就必須注意余項(xiàng)的情況，進(jìn)而確定能否用，不能用的時(shí)候，可考慮用泰勒公式。（5）一般情況下，都不會(huì)單一地去使用某個(gè)方法，而是幾種變換相結(jié)合，達(dá)到最優(yōu)的解題效果，這就要求熟練地掌握這些方法的運(yùn)用。極限計(jì)算是《數(shù)學(xué)分析》中的一個(gè)重要內(nèi)容。求極限的方法有很多，洛必達(dá)法則、泰勒公式、等價(jià)無窮小替換都是常用的方法?？v觀這些方法，等價(jià)無窮小代換是比較理想的，它具有簡潔、快速、便于計(jì)算、在掌握限制條件的情況下不易出錯(cuò)等眾多優(yōu)勢(shì)。當(dāng)然沒有單一的萬能公式可以解決所有的問題，任何方法都有缺陷，我們只是挑選相對(duì)來說最簡便的。通常這些方法會(huì)結(jié)合起來一起使用，目的肯定是使解題步驟簡化，減少運(yùn)算錯(cuò)誤。其替換的原則是整體代換或?qū)ζ渲械囊蚴竭M(jìn)行代換，即在等價(jià)無窮小量的代換中，可以分子分母同時(shí)進(jìn)行代換，也可以只對(duì)分子（或分母）進(jìn)行代換。當(dāng)分子或分母為和（差）的形式時(shí)，就不能隨便進(jìn)行等價(jià)無窮小量替換了。而應(yīng)將和式作為一個(gè)整體進(jìn)行代換；當(dāng)分子或分母為幾個(gè)因式相乘積時(shí)，也可以只對(duì)其中某些因式進(jìn)行等價(jià)無窮小量代換。總體來說，只有因式才可以進(jìn)行等價(jià)無窮小量替換，幾個(gè)函數(shù)相加減時(shí)就不能隨便用等價(jià)無窮小替換了。參考文獻(xiàn)

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