..求數(shù)列通項公式及求和的根本方法1.公式法：利用熟知的的公式求通項公式的方法稱為公式法，常用的公式有，等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式。例一無窮數(shù)列的前項和為，并且，求的通項公式？.反思：利用相關(guān)數(shù)列與的關(guān)系：,與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是此題求解的關(guān)鍵.2.累加法：利用求通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項公式的根本方法〔可求前項和〕.,,求數(shù)列通項公式.3.累乘法:利用恒等式求通項公式的方法稱為累乘法,累乘法是求型如:的遞推數(shù)列通項公式的根本方法(數(shù)列可求前項積).,,求數(shù)列通項公式..反思:用累乘法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.4.構(gòu)造新數(shù)列:類型1解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:數(shù)列滿足，，求解：類型2解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:數(shù)列滿足，，求。解：變式:〔全國I,〕數(shù)列{an}，滿足a1=1，(n≥2)，那么{an}的通項解類型3〔其中p，q均為常數(shù)，〕。解法〔待定系數(shù)法〕：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例4:數(shù)列中，，，求..解：類型4〔其中p，q均為常數(shù)，〕?！不?其中p，q,r均為常數(shù)〕。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列〔其中〕，得：再待定系數(shù)法解決。例5:數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，那么,解之得：所以類型5遞推公式為〔其中p，q均為常數(shù)〕。解(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。假設(shè)是特征方程的兩個根，當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定〔即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組〕；當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定〔即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組〕。例6:數(shù)列：，,求解〔特征根法〕：的特征方程是：。,。又由，于是故練習(xí):數(shù)列中，,,，求。。變式:〔,文,22〕數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式；〔I〕解：類型6遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：利用與消去或與消去進展求解。例7：數(shù)列前n項和.〔1〕求與的關(guān)系；〔2〕求通項公式.解：〔1〕由得：于是所以.〔2〕應(yīng)用類型4〔〔其中p，q均為常數(shù)，〕〕的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列求和的常用方法數(shù)列求和是數(shù)列的重要容之一，也是高考數(shù)學(xué)的重點考察對象。數(shù)列求和的根本思路是，抓通項，找規(guī)律，套方法。下面介紹數(shù)列求和的幾種常用方法：一、直接〔或轉(zhuǎn)化〕由等差、等比數(shù)列的求和公式求和利用以下常用求和公式求和是數(shù)列求和的最根本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：4、例1〔文18〕設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和．，且構(gòu)成等差數(shù)列．〔1〕求數(shù)列的等差數(shù)列．〔2〕令求數(shù)列的前項和．解：〔1〕由得解得．設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得．又，可知，即，解得．由題意得．．故數(shù)列的通項為．〔2〕由于由〔1〕得，又是等差數(shù)列．故．練習(xí)：設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.二、錯位相減法設(shè)數(shù)列的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，那么數(shù)列的前項和求解，均可用錯位相減法。例2〔高考XX〕在數(shù)列中，，其中．〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項公式；〔Ⅱ〕求數(shù)列的前項和；〔Ⅰ〕解：由，，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0，故，所以數(shù)列的通項公式為．〔Ⅱ〕解：設(shè)，①②當(dāng)時，①式減去②式，得，．這時數(shù)列的前項和．當(dāng)時，．這時數(shù)列的前項和．例3〔高考全國Ⅱ文21〕設(shè)是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，〔Ⅰ〕求，的通項公式；〔Ⅱ〕求數(shù)列的前n項和．解：〔Ⅰ〕設(shè)的公差為，的公比為，那么依題意有且解得，．所以，．〔Ⅱ〕．，①，②②－①得，．三、逆序相加法把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加〔即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣〕例4設(shè)函數(shù)的圖象上有兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，假設(shè),且點P的橫坐標(biāo)為.〔I〕求證：P點的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個定值；〔II〕假設(shè)〔I〕∵,且點P的橫坐標(biāo)為.∴P是的中點，且由〔I〕知，，〔1〕+〔2〕得：四、裂項求和法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項〔通項〕分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終到達求和的目的.通項分解〔裂項〕如：〔1〕〔2〕〔3〕等。例5求數(shù)列的前n項和.解：設(shè)〔裂項〕那么〔裂項求和〕＝＝例6〔高考〕二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖像上?！并瘛城髷?shù)列的通項公式；〔Ⅱ〕設(shè)，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；解：〔Ⅰ〕設(shè)這二次函數(shù)f(x)＝ax2+bx(a≠0),那么f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因為點均在函數(shù)的圖像上，所以＝3n2－2n.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝〔3n2－2n〕－＝6n－5.當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5〔〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得知＝＝，故Tn＝＝＝〔1－〕.因此，要使〔1－〕<〔〕成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.評析：一般地，假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，那么求和：首先考慮那么=。以下求和：也可用裂項求和法。五、分組求和法所謂分組法求和就是：對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，假設(shè)將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。例7數(shù)列{an}的前n項和，數(shù)列{bn}滿.〔Ⅰ〕證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；〔Ⅱ〕求數(shù)列{bn}的