第第頁(yè)【解析】安徽省皖北縣中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下冊(cè)5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷安徽省皖北縣中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下冊(cè)5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是（）

A．1B．0C．D．

2．下列敘述正確的是（）

A．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)

B．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

C．有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)

D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)

3．已知向量，，若，則（）

A．B．C．0D．1

4．如圖所示，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，其中，則是（）

A．銳角三角形B．鈍角三角形

C．等腰直角三角形D．以上選項(xiàng)都不對(duì)

5．（2023·上海）已知平面、、兩兩垂直，直線、、滿足：，，，則直線、、不可能滿足以下哪種關(guān)系（）

A．兩兩垂直B．兩兩平行C．兩兩相交D．兩兩異面

6．已知復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）

A．B．的虛部與實(shí)部相等

C．D．存在復(fù)數(shù)，使

7．位于某港口A的小艇要將一件重要物品送到一艘正在航行的海輪上.在小艇出發(fā)時(shí)，海輪位于港口A北偏東30°且與該港口相距30海里的B處，并正以20海里/時(shí)的速度沿正西方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與海輪相遇.若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇的航行速度（單位：海里/時(shí)）應(yīng)為（）

A．B．20C．D．

8．在邊長(zhǎng)為6的菱形中，，現(xiàn)將菱形沿對(duì)角線BD折起，當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（）

A．B．C．D．

二、多選題

9．下列說法正確的是（）

A．復(fù)數(shù)的虛部為

B．方程的復(fù)數(shù)根為

C．若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

D．復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)

10．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）

A．

B．若為斜三角形，則

C．若，則是銳角三角形

D．若，則一定是等邊三角形

11．如圖，正四棱柱中，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．平面BEF

B．直線與直線BF所成的角為

C．平面BEF與平面ABCD的夾角為

D．直線與平面ABCD所成的角為

12．已知正的邊長(zhǎng)為，中心為O，P是的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則（）

A．

B．滿足的點(diǎn)只有1個(gè)

C．

D．滿足的點(diǎn)有2個(gè)

三、填空題

13．已知復(fù)數(shù)滿足，則.

14．若單位向量滿足，且，則實(shí)數(shù)k的值為.

15．已知正方體的棱長(zhǎng)為3，則到平面的距離為.

16．在中，，是的角平分線，且交于點(diǎn).若的面積為，則的最大值為.

四、解答題

17．已知復(fù)數(shù)滿足.

（1）求；

（2）求.

18．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.

（1）求角A；

（2）若的面積為，求a的最小值.

19．如圖所示，在中，，，，.

（1）試用向量，來(lái)表示，；

（2）若，求證：D，O，N三點(diǎn)共線.

20．如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別是棱，AC的中點(diǎn)．

（1）判斷多面體是否為棱柱并說明理由；

（2）求多面體的體積；

（3）求證：平面平面AB1D．

21．已知空間幾何體中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，四邊形是正方形.

（1）設(shè)平面平面，求證：；

（2）求三棱錐的體積.

22．如圖，在梯形中，，，，.

（1）若，求的面積；

（2）若，求BD的長(zhǎng).

答案解析部分

1．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念

【解析】【解答】解：因?yàn)槭羌兲摂?shù)，

所以，得：a=1，故選：A.

【分析】利用分母實(shí)數(shù)化對(duì)復(fù)數(shù)z化簡(jiǎn)，再根據(jù)純虛數(shù)的概念求參數(shù)a即可.

2．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】解：用一個(gè)平行與棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分是棱臺(tái)，故A錯(cuò)誤；由棱臺(tái)的概念可知，棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)（原棱錐的頂點(diǎn)），所以B、C選項(xiàng)中的不一定是棱臺(tái)，故B、C錯(cuò)誤，D正確；

故選：D.

【分析】根據(jù)棱臺(tái)的概念求及棱錐和棱臺(tái)的關(guān)系判定即可.

3．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

【解析】【解答】解：向量，，

若，則，

所以，

所以，

故選：C.

【分析】利用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

4．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)畫法直觀圖；三角形的形狀判斷

【解析】【解答】解：根據(jù)斜二測(cè)畫法，將直觀圖還原得：

在原圖中，O為AC的中點(diǎn)，AC⊥OB，

由O'C'=O'A'=2O'B'，可得：OA=OB=OC=AC，

所以△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，

故選：C.

【分析】利用斜二測(cè)畫法還原圖形，進(jìn)而判斷三角形的形狀.

5．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：如圖1，可得、、可能兩兩垂直；

如圖2，可得、、可能兩兩相交；

如圖3，可得、、可能兩兩異面；

故答案為：B．

【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合線面之間的位置關(guān)系，用線線平行，線線垂直，線線相交，異面直線的判定方法找出直線、、不可能滿足的關(guān)系。

6．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模

【解析】【解答】解：A、因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；

B、復(fù)數(shù)z的實(shí)部是，虛部是，故B錯(cuò)誤；

C、，故C錯(cuò)誤；

D、取z1=1+i，則，

存在復(fù)數(shù)z1，使zz145°，C錯(cuò)誤；

D、由已知易得：D1F∥BE，則∠EBC就是直線D1F與平面ABCD所成的角，

由已知易得：∠EBC=45°，故D正確；

故選：ABC.

【分析】假設(shè)結(jié)論成立，得出與已知相矛盾，進(jìn)而判斷AB選項(xiàng)，先找到兩平面夾角的平面角，再確定角的大小即可判斷C選項(xiàng)，先找到直線與平面所成的角再求角的度數(shù)進(jìn)而判斷D選項(xiàng).

12．【答案】A,B,D

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量夾角的坐標(biāo)表示；平面向量垂直的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】解：根據(jù)已知條件，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），

正△ABC的邊長(zhǎng)為，中心為O，則點(diǎn)O是內(nèi)切圓圓心，

內(nèi)切圓半徑r=1，OA=2，則O(0，0)，A(0，2)，，

設(shè)P(x，y)，則x2+y2=1，

A、，

所以，

所以，

所以，故A正確；

B、因?yàn)?，即?/p>

整理得：，即，

即點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于2，

又因?yàn)閤2+y2=1，即點(diǎn)P到點(diǎn)（0，0）的距離等于1，

所以點(diǎn)P只有一個(gè)，即點(diǎn)，故B正確；

C、，

因?yàn)閤2+y2=1，令，

則，

所以，故C錯(cuò)誤；

D、，

可得：，解得：，

又因?yàn)閤2+y2=1，所以，

所以點(diǎn)P有兩個(gè)，即點(diǎn)，故D正確；

故選：ABD.

【分析】根據(jù)已知建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得即可判斷A選項(xiàng)，由可得：點(diǎn)P到點(diǎn)的距離為2，又因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)(0，0)的距離為1，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)進(jìn)而判斷B選項(xiàng)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，令，運(yùn)用輔助角公式化簡(jiǎn)并求得的取值范圍即可判斷C選項(xiàng)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，由可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再利用x2+y2=1可求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而判斷D選項(xiàng).

13．【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模

【解析】【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足，則z=，所以，故答案是：1.

【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再求即可.

14．【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】單位向量；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【解答】解：由得：，

又因?yàn)閱挝幌蛄繚M足，所以2k-12=0，解得：k=6，

故答案是：6.

【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

15．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定

【解析】【解答】解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則A1(3，0，0)，B(0，0，3)，D(3，3，3)，C1(0，3，0)，

所以，

設(shè)平面A1BD的法向量為，

則，令x=1，則y=-1，z=1，所以平面A1BD的一個(gè)法向量為，

所以點(diǎn)C1到平面A1BD的距離，

故答案是：.

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A1BD的法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.

16．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；解三角形

【解析】【解答】解：設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，

由已知得：，解得：bc=4，

由，

得：，

又因?yàn)閎c=4，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以AM的最大值是，故答案是：.

【分析】運(yùn)用三角形的面積公式，利用S△ABC=S△ACM+S△ABM，求得AM與邊b、c的關(guān)系式，再利用基本不等式求解即可.

17．【答案】（1）解：因?yàn)?，所以?/p>

所以，所以.

（2）解：

.

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)

【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、分母實(shí)數(shù)化進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

18．【答案】（1）解：由，得.

又，所以，

所以，

整理得，

因?yàn)?，所以，故?/p>

又，所以.

（2）解：因?yàn)榈拿娣e，所以.

由余弦定理可得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

即，.

故的最小值為3.

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；兩角和與差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】（1）運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式，求得，進(jìn)而求得角A；

（2）利用面積公式得到bc=3，再利用余弦定理和基本不等式求解即可.

19．【答案】（1）解：因?yàn)椋?/p>

所以，

所以.

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以.

（2）解：因?yàn)?，所以?/p>

則，

，

所以，即證D，O，N三點(diǎn)共線.

【知識(shí)點(diǎn)】向量加減混合運(yùn)算；平面向量的共線定理

【解析】【分析】（1）利用向量的加、減法運(yùn)算法則對(duì)向量進(jìn)行分解即可；

（2）利用向量分解得到即可得證.

20．【答案】（1）解：多面體不是棱柱．理由如下：

因?yàn)槔庵膫?cè)面必為平行四邊形，故棱柱的面至少有3個(gè)平行四邊形，而多面體只有1個(gè)面是平行四邊形，故不是棱柱.

（2）解：易知三棱柱的體積，

三棱錐的體積，

易知三棱錐的體積等于三棱錐的體積，

故多面體的體積．

（3）解：因?yàn)镈，E分別是，AC的中點(diǎn)，所以，

所以四邊形為平行四邊形

所以．又平面，平面，所以平面．

易知，得四邊形為平行四邊形．

所以，又平面，平面，所以平面．

而，BE，平面，

所以平面平面．

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積；平面與平面平行的判定

【解析】【分析】（1）利用已知條件和棱柱的概念判斷即可；

（2）利用間接法求多面體的體積，即；

（3）利用已知條件可證得四邊形BB1DE和四邊形ADC1E都是平行四邊形，進(jìn)而得到，，利用線面平行的判定定理可得：平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可得證.

21．【答案】（1）∵四邊形是正方形，∴，

又平面，平面，∴平面，

又平面，平面平面，∴；

（2）解：法一：取CD的中點(diǎn)F，連接BF，

∵是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴，且易得，

∵是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形是正方形，

∴，

而是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，∴，

又由題意知，，，平面，

∴平面，而平面，∴，

，平面，

所以平面，

三棱錐的體積即為三棱錐的體積，

，

故三棱錐的體積為；

法二：∵是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形是正方形，

∴，

而是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，∴，

又由題意知，，BC，平面，

∴平面，

易知，∴三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，

即，

故三棱錐的體積為.

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理即可證明；

（2）法一，利用換底、換高的方法將問題轉(zhuǎn)化為求VB-ACE，取CD的中點(diǎn)F，連接BF，利用線面垂直的判定定理證得BF⊥平面ACDE，即BF為三棱錐B-ACE的高，再求得S△ACE，進(jìn)而求得體積；

法二，利用已知條件可證得點(diǎn)D和點(diǎn)E到平面ABC的距離相等，即可得到VD-ABC=VE-ABC，再利用換底、換高的方法轉(zhuǎn)化為求VA-BCD即可.

22．【答案】（1）解：在中，，，，

由余弦定理，得，

即，

整理可得，解得.

可得的面積.

（2）解：設(shè)，

因?yàn)椋?，?/p>

則.

在中，由正弦定理，得，

即，

整理可得，，所以，

易知為銳角，由，可得，

所以.

因?yàn)?，所?

在中，由正弦定理，得，即，

解得，故BD的長(zhǎng)為.

【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；解三角形；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】（1）利用已知條件和余弦定理求得BC，再利用面積公式求解；

（2）設(shè)∠BCA=∠ABD=θ，在△ABC中，利用正弦定理求得，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得的值，進(jìn)而求得的值，進(jìn)而在△ABD中利用正弦定理求得BD的值.

1/1安徽省皖北縣中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下冊(cè)5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是（）

A．1B．0C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念

【解析】【解答】解：因?yàn)槭羌兲摂?shù)，

所以，得：a=1，故選：A.

【分析】利用分母實(shí)數(shù)化對(duì)復(fù)數(shù)z化簡(jiǎn)，再根據(jù)純虛數(shù)的概念求參數(shù)a即可.

2．下列敘述正確的是（）

A．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)

B．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

C．有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)

D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】解：用一個(gè)平行與棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分是棱臺(tái)，故A錯(cuò)誤；由棱臺(tái)的概念可知，棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)（原棱錐的頂點(diǎn)），所以B、C選項(xiàng)中的不一定是棱臺(tái)，故B、C錯(cuò)誤，D正確；

故選：D.

【分析】根據(jù)棱臺(tái)的概念求及棱錐和棱臺(tái)的關(guān)系判定即可.

3．已知向量，，若，則（）

A．B．C．0D．1

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

【解析】【解答】解：向量，，

若，則，

所以，

所以，

故選：C.

【分析】利用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

4．如圖所示，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，其中，則是（）

A．銳角三角形B．鈍角三角形

C．等腰直角三角形D．以上選項(xiàng)都不對(duì)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)畫法直觀圖；三角形的形狀判斷

【解析】【解答】解：根據(jù)斜二測(cè)畫法，將直觀圖還原得：

在原圖中，O為AC的中點(diǎn)，AC⊥OB，

由O'C'=O'A'=2O'B'，可得：OA=OB=OC=AC，

所以△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，

故選：C.

【分析】利用斜二測(cè)畫法還原圖形，進(jìn)而判斷三角形的形狀.

5．（2023·上海）已知平面、、兩兩垂直，直線、、滿足：，，，則直線、、不可能滿足以下哪種關(guān)系（）

A．兩兩垂直B．兩兩平行C．兩兩相交D．兩兩異面

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：如圖1，可得、、可能兩兩垂直；

如圖2，可得、、可能兩兩相交；

如圖3，可得、、可能兩兩異面；

故答案為：B．

【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合線面之間的位置關(guān)系，用線線平行，線線垂直，線線相交，異面直線的判定方法找出直線、、不可能滿足的關(guān)系。

6．已知復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）

A．B．的虛部與實(shí)部相等

C．D．存在復(fù)數(shù)，使

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模

【解析】【解答】解：A、因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；

B、復(fù)數(shù)z的實(shí)部是，虛部是，故B錯(cuò)誤；

C、，故C錯(cuò)誤；

D、取z1=1+i，則，

存在復(fù)數(shù)z1，使zz145°，C錯(cuò)誤；

D、由已知易得：D1F∥BE，則∠EBC就是直線D1F與平面ABCD所成的角，

由已知易得：∠EBC=45°，故D正確；

故選：ABC.

【分析】假設(shè)結(jié)論成立，得出與已知相矛盾，進(jìn)而判斷AB選項(xiàng)，先找到兩平面夾角的平面角，再確定角的大小即可判斷C選項(xiàng)，先找到直線與平面所成的角再求角的度數(shù)進(jìn)而判斷D選項(xiàng).

12．已知正的邊長(zhǎng)為，中心為O，P是的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則（）

A．

B．滿足的點(diǎn)只有1個(gè)

C．

D．滿足的點(diǎn)有2個(gè)

【答案】A,B,D

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量夾角的坐標(biāo)表示；平面向量垂直的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】解：根據(jù)已知條件，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），

正△ABC的邊長(zhǎng)為，中心為O，則點(diǎn)O是內(nèi)切圓圓心，

內(nèi)切圓半徑r=1，OA=2，則O(0，0)，A(0，2)，，

設(shè)P(x，y)，則x2+y2=1，

A、，

所以，

所以，

所以，故A正確；

B、因?yàn)椋矗?/p>

整理得：，即，

即點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于2，

又因?yàn)閤2+y2=1，即點(diǎn)P到點(diǎn)（0，0）的距離等于1，

所以點(diǎn)P只有一個(gè)，即點(diǎn)，故B正確；

C、，

因?yàn)閤2+y2=1，令，

則，

所以，故C錯(cuò)誤；

D、，

可得：，解得：，

又因?yàn)閤2+y2=1，所以，

所以點(diǎn)P有兩個(gè)，即點(diǎn)，故D正確；

故選：ABD.

【分析】根據(jù)已知建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得即可判斷A選項(xiàng)，由可得：點(diǎn)P到點(diǎn)的距離為2，又因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)(0，0)的距離為1，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)進(jìn)而判斷B選項(xiàng)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，令，運(yùn)用輔助角公式化簡(jiǎn)并求得的取值范圍即可判斷C選項(xiàng)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，由可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再利用x2+y2=1可求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而判斷D選項(xiàng).

三、填空題

13．已知復(fù)數(shù)滿足，則.

【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模

【解析】【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足，則z=，所以，故答案是：1.

【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再求即可.

14．若單位向量滿足，且，則實(shí)數(shù)k的值為.

【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】單位向量；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【解答】解：由得：，

又因?yàn)閱挝幌蛄繚M足，所以2k-12=0，解得：k=6，

故答案是：6.

【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

15．已知正方體的棱長(zhǎng)為3，則到平面的距離為.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直的判定

【解析】【解答】解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則A1(3，0，0)，B(0，0，3)，D(3，3，3)，C1(0，3，0)，

所以，

設(shè)平面A1BD的法向量為，

則，令x=1，則y=-1，z=1，所以平面A1BD的一個(gè)法向量為，

所以點(diǎn)C1到平面A1BD的距離，

故答案是：.

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A1BD的法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.

16．在中，，是的角平分線，且交于點(diǎn).若的面積為，則的最大值為.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；解三角形

【解析】【解答】解：設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，

由已知得：，解得：bc=4，

由，

得：，

又因?yàn)閎c=4，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以AM的最大值是，故答案是：.

【分析】運(yùn)用三角形的面積公式，利用S△ABC=S△ACM+S△ABM，求得AM與邊b、c的關(guān)系式，再利用基本不等式求解即可.

四、解答題

17．已知復(fù)數(shù)滿足.

（1）求；

（2）求.

【答案】（1）解：因?yàn)?，所以?/p>

所以，所以.

（2）解：

.

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)

【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、分母實(shí)數(shù)化進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

18．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.

（1）求角A；

（2）若的面積為，求a的最小值.

【答案】（1）解：由，得.

又，所以，

所以，

整理得，

因?yàn)?，所以，故?/p>

又，所以.

（2）解：因?yàn)榈拿娣e，所以.

由余弦定理可得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

即，.

故的最小值為3.

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；兩角和與差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理

【解析】【分析】（1）運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式，求得，進(jìn)而求得角A；

（2）利用面積公式得到bc=3，再利用余弦定理和基本不等式求解即可.

19．如圖所示，在中，，，，.

（1）試用向量，來(lái)表示，；

（2）若，求證：D，O，N三點(diǎn)共線.

【答案】（1）解：因?yàn)椋?/p>

所以，

所以.

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以.

（2）解：因?yàn)?，所以?/p>

則，

，

所以，即證D，O，N三點(diǎn)共線.

【知識(shí)點(diǎn)】向量加減混合運(yùn)算；平面向量的共線定理

【解析】【分析】（1）利用向量的加、減法運(yùn)算法則對(duì)向量進(jìn)行分解即可；

（2）利用向量分解得到即可得證.

20．如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別是棱，AC的中點(diǎn)．

（1）判斷多面體是否為棱柱并說明理由；

（2）求多面體的體積；

（3）求證：平面平面AB1D．

【答案】（1）解：多面體不是棱柱．理由如下：

因?yàn)槔庵膫?cè)面必為平行四邊形，故棱柱的面至少有3個(gè)平行四邊形，而多面體只有1個(gè)面是平行四邊形，故不是棱柱.

（2）解：易知三棱柱的體積，

三棱錐的體積，

易知三棱錐的體積等于三棱錐的體積，

故多面體的體積．

（3）解：因?yàn)镈，E分別是，AC的中點(diǎn)，所以，

所以四邊形為平行四邊形

所以．又平面，平面，所以平面．

易知，得四邊形為平行四邊形．

所以，又平面，平面，所以平面．

而，BE，平面，

所以平面平面．

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積；平面與平面平行的判定

【解析】【分析】（1）利用已知條件和棱柱的概念判斷即可；

（2）利用間接法求多面體的體積，即；

（3）利用已知條件可證