第八章§83簡單幾何體的表面積與體積832圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積回顧所學的有關公式矩形面積公式：圓面積公式：圓周長公式：扇形面積公式：多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積之和棱柱的體積棱錐的體積棱臺的體積復習引入O圓柱的側面展開圖是矩形學習新知圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱圓柱r是底面半徑，l是母線長r是底面半徑，l是母線長圓錐的側面展開圖是扇形O學習新知圓錐圓錐側＝r是底面半徑，l是母線長圓臺的側面展開圖是扇環(huán)圓臺圓臺側學習新知r和

分別是上、下底面半徑，l是母線長OO’知識點一圓柱、圓錐、圓臺的表面積

圖形表面積公式旋轉體圓柱

底面積：S底＝____側面積：S側＝____表面積：S＝________圓錐

底面積：S底＝___側面積：S側＝___表面積：S＝_______2πr22πrl2πrr＋lπr2πrlπrr＋l旋轉體圓臺

上底面面積：S上底＝______下底面面積：S下底＝____側面積：S側＝__________表面積：S＝____________________πr′2πr2πr′l＋rlπr′2＋r2＋r′l＋rl知識點二圓柱、圓錐、圓臺的體積幾何體體積說明圓柱V圓柱＝Sh＝_____圓柱底面圓的半徑為r，面積為S，高為h圓錐V圓錐＝

Sh＝______圓錐底面圓的半徑為r，面積為S，高為h圓臺圓臺上底面圓的半徑為r′，面積為S′，下底面圓的半徑為r，面積為S，高為hπr2h__________________知識點三球的表面積和體積公式＝R為球的半徑＝4πR2思考辨析判斷正誤SIAOBIANIPANDUANHENGWU1圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖的面積就是它們的表面積2圓錐、圓臺的側面展開圖中的所有弧線都與相應底面的周長有關

3球的體積是關于球半徑的一個函數4球的表面積是球的體積的6倍××√√公式應用2球面面積膨脹為原來的2倍,體積變?yōu)樵瓉淼模ǎ┍?。填空題1球的半徑擴大1倍，它的球面面積變?yōu)樵瓉恚ǎ┍叮捏w積變?yōu)樵瓉淼模ǎ┍丁?4規(guī)律與結論：V1:V2=R13:R23;S1:S2=R12:R22例11若某圓錐的高等于其底面直徑，則它的底面積與側面積之比為一、圓柱、圓錐、圓臺的表面積√解析設圓錐底面半徑為r，則高h＝2r，2已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側面積為84π，則該圓臺較小底面的半徑為A7B6C5D3√解析設圓臺較小底面的半徑為r，則另一底面的半徑為3r由S側＝3πr＋3r＝84π，解得r＝7反思感悟圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展開為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和跟蹤訓練1圓柱的一個底面積是S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是√解析設底面半徑為r，則πr2＝S，又側面展開圖為一個正方形，二、圓柱、圓錐、圓臺的體積例21多選圓柱的側面展開圖是長12cm，寬8cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是√√2已知圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，母線長為10，則圓臺的體積為________224π解析設上底面半徑為r，則下底面半徑為4r，高為4r，如圖∵母線長為10，∴102＝4r2＋4r－r2，解得r＝2∴下底面半徑R＝8，高h＝8，反思感悟求圓柱、圓錐、圓臺的體積的關鍵是求其底面面積和高，其中高一般利用幾何體的軸截面求得，一般是由母線、高、半徑組成的直角三角形中列出方程并求解跟蹤訓練2圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側面積是，則圓錐的體積是√解析作圓錐的軸截面，如圖所示，由題意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB設圓錐的高為h，底面半徑為r，則h＝4三、球的表面積與體積√∴S球＝4πR2＝16πA4π B12πC24π D48π√∴S球＝4πR2＝12π反思感悟計算球的表面積與體積，關鍵是確定球心與半徑√解析正方體的棱長為a，其內切球的半徑為R，則a＝2R，2將兩個半徑為1的小鐵球熔化后鑄成一個大球，則這個大球的半徑R為______核心素養(yǎng)之直觀想象HEINSUYANGHIHIGUANIANGIANG簡單組合體的表面積與體積典例如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2，深為4的圓柱形孔，求打孔后的幾何體的表面積和體積解正方體的表面積為S正方體＝4×4×6＝96，圓柱形孔的半徑為1，高為4，∴圓柱的側面積S圓柱側＝2π×1×4＝8π，∴所求的表面積為S＝96＋8π－2π＝96＋6π，正方體的體積為V正方體＝4×4×4＝64，圓柱的體積為V圓柱＝4π，∴所求的體積為V＝64－4π素養(yǎng)提升1求組合體的表面積與體積的關鍵是弄清組合體中各簡單幾何體的結構特征及組合形式，對于與旋轉體有關的組合體問題，要根據條件分清各個簡單幾何體的底面半徑及母線長，再分別代入公式求解2識別幾何體的結構特征，提升直觀想象素養(yǎng)3隨堂演練PARTTHREE1若圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為Aπ B2πC3π D4π12345√解析設圓錐的母線長為l，所以圓錐的表面積為S＝π×1×1＋2＝3π2圓臺的體積為7π，上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺的高為A3 B4C5 D6√12345解析設圓臺的高為h，故h＝33一個圓柱的側面展開圖是一個邊長為2的正方形，則這個圓柱的表面積與側面積的比值是√解析設圓柱的底面圓半徑為r，123454玉琮是中國古代玉器中重要的禮器，神人紋玉琮王是新石器時代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遺址玉琮王通高88cm，孔徑49cm、外徑176cm琮體四面各琢刻一完整的獸面神人圖象，獸面的兩側各淺浮雕鳥紋，器形呈扁矮的方柱體，內圓外方，上下端為圓面的射，中心有一上下垂直相透的圓孔試估計該神人紋玉琮王的體積約為單位：cm3A6250 B3050C2850 D235012345√12345解析由題意知，該神人紋玉琮王的體積為底面邊長為176cm，高為88cm的正方體的體積減去底面直徑為49cm，高為88cm的圓柱的體積結合該神人紋玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估計該神人紋玉琮王的體積約為2350cm35如圖所示，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中，裝有適量的水，若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則＝_______12345課堂小結ETANGIAOJIE1知識清單：1圓柱、圓錐、圓臺的表面積2圓柱、圓錐、圓臺的體積3球的表面積和體積2方法歸納：公式法3常見誤區(qū)：平面圖形與立體圖形切換不清楚4課時對點練PARTFOUR基礎鞏固1兩個球的體積之比為8∶27，那么這兩個球的表面積之比為12345678910111213141516√解析由兩球的體積之比為8∶27，可得半徑之比為2∶3，故表面積之比是4∶92軸截面是正三角形的圓錐稱為等邊圓錐，則等邊圓錐的側面積是底面積的A4倍B3倍C倍D2倍√解析設該等邊圓錐的半徑為R，則母線l＝2R，∴S底＝πR2，∴S側＝2S底123456789101112131415163我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d≈如果球的半徑為，根據“開立圓術”的方法求得的球的體積約為√123456789101112131415164已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為√解析繞等腰直角三角形的斜邊所在的直線旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體為兩個底面重合，等體積的圓錐，如圖所示12345678910111213141516123456789101112131415165多選圓臺的上、下底面半徑分別為10和20，它的側面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，則圓臺的√√√解析如圖所示，設圓臺的上底面周長為C，因為扇環(huán)的圓心角為180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圓臺的母線AB＝SB－SA＝20，表面積S＝π10＋20×20＋100π＋400π＝1100π123456789101112131415166一個球的體積為36π，則該球的表面積為______1234567891011121314151636π∴S球＝4πR2＝36π7一個平面截一球得到直徑為6cm的圓面，球心與截面圓圓心的距離為4cm，則球的體積為______cm3解析如圖所示，由已知得O1A＝3cm，OO1＝4cm，從而R＝OA＝5cm12345678910111213141516的正方形和正三角形，則圓柱和圓錐的表面積之比為______，其體積之比為________2∶1∴S圓柱∶S圓錐＝2∶1123456789101112131415169如圖，在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內接一個高為的圓柱，求圓柱的表面積12345678910111213141516解設圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，高為h，表面積為S1234567891011121314151610某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積解該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π12345678910111213141516綜合運用11如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為A5πB6πC20πD10π√12345678910111213141516解析用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π12正方體的內切球與其外接球的體積之比為√1234567891011121314151613我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸A2寸 B3寸C4寸 D6寸12345678910111213141516√解析由已知得天池盆盆口半徑為14寸，盆底半徑為6寸，則盆口面積為196π，盆底面積為36π，又盆深18寸，盆中水深9寸，∴積水水面面積為100π，1234567891011121314151614如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為__________3∶1∶2解析設球的半徑為R，則V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，12345678910111213141516拓廣探究15把底面半徑為8cm的圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此平面內繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內轉回原位置時，圓錐本身滾動了25周，則圓錐的母線長為_____cm，表面積等于______cm21234567891011121314151620224π解析設圓錐的母線長為l，如圖，以S為圓心，SA為半徑的圓的面積S＝πl(wèi)2又圓錐的側面積S圓錐側＝πrl＝8πl(wèi)根據圓錐在平面內轉到原位置時，圓錐本身滾動了25周，∴πl(wèi)2＝25×8πl(wèi)，∴l(xiāng)＝20cm圓錐的表面積S＝S圓錐側＋S底＝π×8×20＋π×82＝224πcm2