六立體幾何【必記結(jié)論】1.空間幾何體的表面積和體積幾何體側(cè)面積表面積體積圓柱S側(cè)＝2πrlS表＝2πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlS表＝πr(r＋l)V＝13S底h＝13πr圓臺(tái)S側(cè)＝π(r＋r′)lS表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r2直棱柱S側(cè)＝Ch(C為底面周長)S表＝S側(cè)＋S上＋S下(棱錐的S上＝0)V＝S底h正棱錐S側(cè)＝12Ch′(C為底面周長，h′為斜高V＝13S底正棱臺(tái)S側(cè)＝12(C＋C′)h′(C，C′分別為上、下底面周長，h′為斜高V＝13(S上＋S下＋S球S＝4πR2V＝43πR2.球的組合體(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．(2)球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長．(3)球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為612a(正四面體高63a的14)，外接球的半徑為64a(正四面體高633．空間線面位置關(guān)系的證明方法(1)線線平行：a?βa∥αα∩β=b?a∥b，α∥βa∥αβ∩γ=b?a∥b，a(2)線面平行：a∥bb?αa?α?a∥α⊥βa⊥βa?α(3)面面平行：a?α，b?αa∩b=Oaα∥βγ∥β?α(4)線線垂直：a⊥αb?α?(5)線面垂直：a?α，b?αa∩b=Olα∥βa⊥α?a⊥β，a∥ba(6)面面垂直：a?βa⊥α?α⊥β，a∥β4．用空間向量證明平行、垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分別為μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)．則有：(1)線面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)線面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β?μ∥υ?μ＝λυ?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β?μ⊥υ?μ·υ＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.5．用向量求空間角(1)直線l1，l2的夾角θ有cosθ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l(wèi)1，l2分別是直線l1，l2的方向向量)．(2)直線l與平面α的夾角θ有sinθ＝|cos〈l，n〉|(其中l(wèi)是直線l的方向向量，n是平面α的法向量)．(3)平面α，β的夾角θ有cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，則α－l－β二面角的平面角為θ或π－θ(其中n1，n2分別是平面α，β的法向量)．【易錯(cuò)剖析】易錯(cuò)點(diǎn)1不清楚空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系【突破點(diǎn)】解決這類問題的基本思路有兩個(gè)：一是逐個(gè)尋找反例作出否定的判斷或逐個(gè)進(jìn)行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置(如課桌、教室)作出判斷，要注意定理應(yīng)用準(zhǔn)確、考慮問題全面細(xì)致．易錯(cuò)點(diǎn)2表面積的計(jì)算不準(zhǔn)確【突破點(diǎn)】在求表面積時(shí)還要注意空間物體是不是中空的，表面積與側(cè)面積要認(rèn)真區(qū)分．易錯(cuò)點(diǎn)3對折疊與展開問題認(rèn)識(shí)不清致誤【突破點(diǎn)】注意折疊或展開過程中平面圖形與空間圖形中的變量與不變量，不僅要注意哪些變了，哪些沒變，還要注意位置關(guān)系的變化．【易錯(cuò)快攻】易錯(cuò)快攻忽視平面圖形翻折前后的顯性關(guān)系[典例]如圖，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝2，現(xiàn)沿CN將△CDN折起，使△ADN為正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，過BM的平面與線段DN、DC分別交于E，F(xiàn).(1)求證：EF⊥DA；(2)在棱DN上(不含端點(diǎn))是否存在點(diǎn)E，使得直線DB與平面BMEF所成角的正弦值為34，若存在，請確定E聽課筆記：六立體幾何[典例]解析：(1)證明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，∴BM∥CN，在四棱錐D－ABCN中，CN?平面CDN，BM?平面CDN，∴BM∥平面CDN，又平面BMEF∩平面CDN＝EF，∴BM∥EF，∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，又DA?平面ADN，∴EF⊥DA；(2)存在，E為棱DN上靠近N點(diǎn)的四等分點(diǎn)．∵DA＝DN，AM＝MN＝1，連接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，∴DM⊥平面ABCN.如圖，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以MA，MB，MD所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，3)，B(0，1，0)，M(0，0，0)，N(－1，0，0)，DB＝(0，1，－3)，BM＝(0，－1，0)，ND＝(1，0，3)，設(shè)NE＝λND，(0<λ<1)，則E(λ－1，0，3λ)，ME＝(λ－1，0，3λ)，設(shè)平面BMEF的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則n不妨令x＝3λ，則z＝1－λ，n＝(3λ，0，1－λ)，設(shè)直