第5章三相正弦交流電路

5.1三相電源

5.2三相負(fù)載

5.3對(duì)稱三相電路的分析計(jì)算*5.4不對(duì)稱三相電路的分析計(jì)算

5.5三相電路的功率本章小結(jié)習(xí)題

第5章三相正弦交流電路

5.1三相電源

5.1.1三相對(duì)稱正弦交流電壓

三相正弦電壓是由三相發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的。圖5.1所示是三相交流發(fā)電機(jī)的原理圖。在發(fā)圖5.1三相交流發(fā)電機(jī)的原理電機(jī)的轉(zhuǎn)子上,固定有三組完全相同的繞組,它們的空間位置相差120°。其中U1、V1、W1

為這三個(gè)繞組的始端;U2、V2、W2

為三個(gè)繞組的末端。當(dāng)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子以角速度ω按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),在三個(gè)繞組的兩端分別產(chǎn)生幅值相同、頻率相同、相位依次相差120°的正弦交流電壓。每個(gè)繞組電壓的參考方向通常規(guī)定為由繞組的始端指向繞組的末端。它們的波形圖和相量圖分別如圖5.2和圖5.3所示。

三個(gè)電壓的相量分別表示為

從相量圖中不難看出,這組對(duì)稱三相正弦電壓的相量之和等于零,即

從波形圖中可看出,任意時(shí)刻三個(gè)正弦電壓的瞬時(shí)值之和恒等于零,即

uU+uV+uW=0

能夠提供這樣一組對(duì)稱三相正弦電壓的就是對(duì)稱三相電源,通常所說(shuō)的三相電源都是指對(duì)稱三相電源。

對(duì)稱三相正弦量達(dá)到最大值(或零值)的順序稱為相序,上述U相超前于V相,V相超前于W相的順序稱為正相序,簡(jiǎn)稱為正序,一般的三相電源都是正序?qū)ΨQ的。工程上以黃、綠、紅三種顏色分別作為U、V、W三相的標(biāo)志。5.1.2三相電源的星形(Y)連接

將三個(gè)繞組的末端U2、V2、W2

連接在一起,而從繞組的三個(gè)始端U1、V1、W1

引出三根導(dǎo)線與外電路相連的三相電路稱為三相電源的星形連接,如圖5.4所示。從始端引出的導(dǎo)線稱為端線(俗稱火線)。從中性點(diǎn)可以引出導(dǎo)線,與外電路相連接,這條連接線稱為中線。在星形電路中,端線與中線間的電壓稱為相電壓,用uU、uV、uW表示。兩端線間的電壓稱為線電壓,用uU

V、uV

W、uW

U表示。因此,在三相四線制電路中,可以按需要提供兩組不同的對(duì)稱三相電壓;而三相三線制只能提供一組對(duì)稱的線電壓。

在圖5.5所示的相量圖中,根據(jù)KVL不難求得線電壓與相電壓的關(guān)系,即同理可得

即線電壓的大小是相電壓大小的根號(hào)3倍,且線電壓的相位比相應(yīng)相電壓相位超前30°。在三相電路中,三個(gè)線電壓之間的關(guān)系是

或用瞬時(shí)值表示為

即三個(gè)線電壓的相量和總等于零,或三個(gè)線電壓瞬時(shí)值的代數(shù)和恒等于零。

例5.1星形連接的對(duì)稱三相電源,線電壓是

uUV=380sin314tV,試求出其它各線電壓和各相電壓的解析式。

解：根據(jù)星形對(duì)稱三相電源的特點(diǎn),可以求得各線電壓分別為各相電壓分別為5.1.3三相電源的三角形(△)連接

如果將三相發(fā)電機(jī)的三個(gè)繞組依次首(始端)尾(末端)相連,接成一個(gè)閉合回路,則可構(gòu)成三角形連接(如圖5.6所示)。從三個(gè)連接點(diǎn)引出的三根導(dǎo)線即為三根端線。

當(dāng)三相電源作三角形連接時(shí),只能是三相三線制,而且線電壓就等于相電壓,即分別表示為

由對(duì)稱的概念可知,在任何時(shí)刻,三相電壓之和等于零。因此,即便是三個(gè)繞組接成閉合回路,只要連接正確,在電源內(nèi)部并沒(méi)有回路電流。但是,如果某一相的始端與末端接反,則會(huì)在回路中引起電流。例5.2說(shuō)明了這種情況以及采取的預(yù)防措施。

例5.2三相發(fā)電機(jī)接成三角形供電。如果誤將U相接反,會(huì)產(chǎn)生什么后果?如何使連接正確?解：U相接反時(shí)的電路如圖5.7(a)所示。此時(shí),回路中的電流為

由圖5.7(b)所示的相量圖可以看出,此時(shí)閉合回路內(nèi)總電壓的大小為一相電壓大小的2倍。而發(fā)電機(jī)繞組的阻抗一般都很小,將在繞組回路中引起很大的電流,使發(fā)電機(jī)繞組過(guò)熱而損壞。

為了連接正確,可以按圖5.7(c)將一電壓表(量程大于2倍的相電壓)串接在三個(gè)繞組的閉合回路中,若發(fā)電時(shí)電壓為零,說(shuō)明連接正確。這時(shí)即可撤去電壓表,再將回路閉合。

5.2三相負(fù)載

三相負(fù)載即三相電源的負(fù)載,由互相連接的三個(gè)負(fù)載組成,其中每個(gè)負(fù)載稱為一相負(fù)載。在三相電路中,負(fù)載有兩種情況:一種是負(fù)載是單相的,例如電燈、日光燈等照明負(fù)載,還有電爐、電視機(jī)、電冰箱,等等。但是通過(guò)適當(dāng)?shù)倪B接,可以組成三相負(fù)載。另一種負(fù)載如電動(dòng)機(jī),三相繞組中的每一相繞組也是單相負(fù)載。所以也存在如何將這三個(gè)單相繞組連接起來(lái)接入電網(wǎng)的問(wèn)題。

三相負(fù)載的連接方法也有兩種,即星形連接和三角形連接。5.2.1負(fù)載的星形(Y)連接

三相負(fù)載的星形連接,就是把三相負(fù)載的一端連接到一個(gè)公共端點(diǎn),負(fù)載的另一端分別與電源的三個(gè)端線相連。負(fù)載的公共端點(diǎn)稱為負(fù)載的中性點(diǎn),簡(jiǎn)稱中點(diǎn),用N'表示。如果電源為星形連接,則負(fù)載中點(diǎn)與電源中點(diǎn)的連線稱為中線,兩中點(diǎn)間的電壓?UN'N稱為中點(diǎn)電壓。若電路中有中線連接,可以構(gòu)成三相四線制電路;若沒(méi)有中線連接,或電源端為三角形連接,則只能構(gòu)成三相三線制電路。

1.三相四線制電路

在圖5.8所示的三相四線制電路中,若中線的阻抗遠(yuǎn)小于負(fù)載的阻抗,則中線連接的兩中點(diǎn)的電壓?UN

'N=0。此時(shí),不計(jì)線路阻抗,根據(jù)KVL可得,各相負(fù)載的電壓就等于該相電源的相電壓。

因此,在三相四線制供電系統(tǒng)中,可以將各種單相負(fù)載如照明、家電電器接入其中一相使用。在三相電路中,通過(guò)端線的電流叫線電流,通過(guò)每相負(fù)載的電流叫相電流。從圖5.8中可以看出,星形連接的負(fù)載,其線電流等于相電流。如果知道每相負(fù)載的復(fù)阻抗和負(fù)載兩端的電壓,則可以按單相正弦交流電路求得相電流,即

如果電源線電壓對(duì)稱,負(fù)載的復(fù)阻抗相等,即ZU=ZV=ZW=Z,這便是對(duì)稱三相電路。由于電壓對(duì)稱,因此負(fù)載端相電流大小相等,相位依次相差120°,也是一組對(duì)稱的正弦量。

中線電流則為

2.三相三線制電路

圖5.9所示為三相三線制電路,其中電源和負(fù)載均為星形連接。對(duì)圖中的三線制電路,根據(jù)彌爾曼定理可得中點(diǎn)電壓為

此時(shí),中線電流為可見,負(fù)載對(duì)稱時(shí),中點(diǎn)的電壓為零,即負(fù)載中點(diǎn)與電源中點(diǎn)等電位。由KVL可知,各相負(fù)載的電壓就等于該相電源的電壓,與四線制的情況相同。因而,各相電流也是對(duì)稱的,即負(fù)載端相電流大小相等,相位依次相差120°。若負(fù)載不對(duì)稱,則中點(diǎn)電壓不等于零,即

這種情況我們將在后面的5.4節(jié)中詳細(xì)討論。5.2.2負(fù)載的三角形(△)連接

圖5.10(a)所示為負(fù)載的三角形電路。不計(jì)線路阻抗時(shí),電源的線電壓直接加于各相負(fù)載,負(fù)載的相電壓等于電源的線電壓。由于電源的線電壓總是對(duì)稱,因此,無(wú)論負(fù)載本身是否對(duì)稱,負(fù)載的相電壓總是對(duì)稱的。此時(shí),各相負(fù)載的電流分別為

各線電流可根據(jù)KCL求得,分別為

如果負(fù)載對(duì)稱,即則各相電流

為一組對(duì)稱三相正弦量,如圖5.10(b)所示。從相量圖可求得各線電流分別為

可見,線電流也是一組對(duì)稱三相正弦量,其有效值為相電流的3倍,相位滯后于相應(yīng)的相電流30°。 5.3對(duì)稱三相電路的分析計(jì)算

對(duì)稱三相電路是指三相電源對(duì)稱、三相負(fù)載對(duì)稱、三相輸電線也對(duì)稱(即三根輸電線的復(fù)阻抗也相等)的三相電路。在此,首先分析星形對(duì)稱三相電路的特點(diǎn),然后討論一般情況下,也就是在對(duì)稱三相電路上有多組對(duì)稱負(fù)載時(shí)(包括三角形連接的對(duì)稱負(fù)載),三相電路是如何計(jì)算的。

5.3.1對(duì)稱星形電路的特點(diǎn)圖5.12是對(duì)稱三相四線制電路。其中,Zl是輸電線的復(fù)阻抗,ZN是中線復(fù)阻抗,負(fù)載復(fù)阻抗為ZU=ZV=ZW=Z。

根據(jù)彌爾曼定理,圖5.12電路的中點(diǎn)電壓為

?

可見,對(duì)稱三相星形電路的中點(diǎn)電壓為零,即負(fù)載中點(diǎn)與電源中點(diǎn)等電位,因而中線電流為所以,負(fù)載對(duì)稱時(shí),將中線斷開或者短路對(duì)電路都沒(méi)有影響。

各端線電流

都只取決于本相電源和負(fù)載,而與其他相無(wú)關(guān)。負(fù)載各相電壓分別為負(fù)載端的線電壓分別為

可見,各線電流(即負(fù)載各相電流)、負(fù)載各相電壓、負(fù)載端的線電壓都分別對(duì)稱。

5.3.2對(duì)稱三相電路的一般解法

根據(jù)上述對(duì)稱三相電路的特點(diǎn),可以進(jìn)一步研究對(duì)稱三相電路的一般解法,即單相法。

圖5.13是具有兩組對(duì)稱負(fù)載的三相三線制電路。其中Z1組負(fù)載是星形連接,Z2組負(fù)載是三角形連接,電源的線電壓對(duì)稱。

首先,引入一組星形連接的對(duì)稱三相電源的線電壓作為等效電源。

其次,將Z2組三角形連接的負(fù)載用等效星形連接的負(fù)載來(lái)代替。等效星形負(fù)載的復(fù)阻抗為

根據(jù)星形對(duì)稱三相電路的特點(diǎn),即負(fù)載端中性點(diǎn)與電源端等電位,我們可以用一條假想的中線將這兩端的中性點(diǎn)連接起來(lái),如圖5.13(b)所示。這樣對(duì)于電路的電流、電壓都不會(huì)產(chǎn)生影響。經(jīng)過(guò)這樣的連接,電路成為三相四線制電路。

對(duì)稱三相電路的電流、電壓具有獨(dú)立性,這樣就可以取出一相(例如U相)來(lái)進(jìn)行單獨(dú)的計(jì)算。圖5.13(c)表示取出來(lái)的U相電路。由單相電路圖可得由并聯(lián)電路的分流公式可以求得各支路電流為

由負(fù)載端電路的對(duì)稱性,可以求出其余兩相的電流,即這里要特別注意的是,?IU2、?IV

2、?IW

2只是等效星形負(fù)載的線電流,也是原Z2

組三角形負(fù)載的線電流。原Z2

組負(fù)載的相電流可由線電流求得,即

對(duì)于具有多組負(fù)載的對(duì)稱三相電路的分析計(jì)算,一般可用單相法按如下步驟求解:(1)用等效星形連接的對(duì)稱三相電源的線電壓代替原電路的線電壓;將電路中三角形連接的負(fù)載用等效星形連接的負(fù)載代換。

(2)用假設(shè)的中線將電源中性點(diǎn)與負(fù)載中性點(diǎn)連接起來(lái),使電路等效成為三相四線制電路。

(3)取出一相電路,單獨(dú)求解。

(4)由對(duì)稱性求出其余兩相的電流和電壓。

(5)求出原來(lái)三角形連接負(fù)載的各相電流。

*5.4不對(duì)稱三相電路的分析計(jì)算

在三相電路中,電源的不對(duì)稱或者負(fù)載不對(duì)稱都將使三相電路成為不對(duì)稱電路。一般的照明負(fù)載電路,即便設(shè)計(jì)是對(duì)稱的,使用時(shí)也常常是不對(duì)稱的。當(dāng)然,由于某種故障,也將導(dǎo)致電路的不對(duì)稱。本節(jié)主要討論不對(duì)稱星形負(fù)載電路的求解,即中點(diǎn)電壓法。

5.4.1位形圖

位形圖是一種表示電路中各點(diǎn)電位關(guān)系的特殊相量圖。位形圖有兩種畫法,一種是按電位升來(lái)畫的,另一種是按電位降來(lái)畫的。在此采用前一種畫法。圖5.16(a)所示的電路,N點(diǎn)是中性點(diǎn)。在位形圖中可將中性點(diǎn)作為電位的參考點(diǎn)。位形圖中U的位置就用來(lái)表示圖5.16(a)所示的電路中U點(diǎn)的電位。同理,在位形圖中的V、W各點(diǎn)分別表示電路圖中V、W兩點(diǎn)的電位,相量?UV、?UW就表示電路中的V相、W相的電位升。 5.4.2中點(diǎn)電壓法

不對(duì)稱星形負(fù)載電路的計(jì)算首先是中點(diǎn)電壓的計(jì)算,故稱之為中點(diǎn)電壓法。對(duì)于圖5.17所示的電路,?UN

‘N

即為三相三線制電路的中點(diǎn)電壓。此時(shí),負(fù)載中點(diǎn)與電源中點(diǎn)電位不同了。從位形圖(如圖5.18所示)中可以看出,N'點(diǎn)與N點(diǎn)不再重合了,這一現(xiàn)象稱為中點(diǎn)位移。此時(shí),負(fù)載端的電壓可由KVL求得。

負(fù)載各相電壓分別為中點(diǎn)位移使負(fù)載端相電壓不再對(duì)稱,嚴(yán)重時(shí),可能導(dǎo)致有的相電壓太低以致負(fù)載不能正常工作,有的相電壓卻又高出負(fù)載額定電壓許多造成負(fù)載燒毀。因此,三相三線制星形連接的電路一般不用于照明、家用電器等各種負(fù)載,多用于三相電動(dòng)機(jī)等動(dòng)力負(fù)載。負(fù)載各相電流(即線電流)為

應(yīng)當(dāng)指出:三相四線制容許負(fù)載不對(duì)稱,中線的作用是至關(guān)重要的,一旦中線發(fā)生斷路事故,四線制成為三線制,負(fù)載不對(duì)稱就可能導(dǎo)致相當(dāng)嚴(yán)重的后果。因此,四線制必須保證中線的可靠連接。 5.5三相電路的功率

5.5.1三相電路的有功功率、無(wú)功功率、視在功率和功率因數(shù)

通過(guò)前面的學(xué)習(xí),我們從元件電磁性能的角度考慮,任意線性無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的平均功率(有功功率)等于該網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有電阻的平均功率之和,而無(wú)功功率等于該網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有電感和電容的無(wú)功功率之和。同樣,三相負(fù)載的有功功率等于各相負(fù)載的有功功率之和,三相負(fù)載的無(wú)功功率等于各相負(fù)載的無(wú)功功率之和。1.三相負(fù)載的有功功率

三相負(fù)載的總有功功率為

其中,UU、UV、UW分別為各相電壓的有效值,IU、IV、IW分別為各相電流的有效值,cosφU、cosφV、cosφW分別為各相負(fù)載的功率因數(shù)。

從元件電磁性能角度考慮,三相電路的有功功率還可以表示為

其中,RU、RV、RW分別為U、V、W三相負(fù)載阻抗