第四章-貝塞爾函數(shù)第一頁，共55頁。幾個(gè)微分方程的引入伽馬函數(shù)的基本知識(shí)貝塞爾方程的求解貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例本章提要:參考了孫秀泉教授的課件第一頁第二頁，共55頁。

貝塞爾函數(shù)是貝塞爾方程的解。除初等函數(shù)外，在物理和工程中貝塞爾函數(shù)是最常用的函數(shù)，它們以19世紀(jì)德國天文學(xué)家F.W.Bessel的姓氏命名，他在1824年第一次描述過它們。第二頁第三頁，共55頁。

德國天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家，天體測(cè)量學(xué)的奠基人。1784年7月22日生于明登，1846年3月17日卒于柯尼斯堡。15歲輟學(xué)到布萊梅一家商行學(xué)徒，業(yè)余學(xué)習(xí)天文、地理和數(shù)學(xué)。20歲時(shí)發(fā)表了有關(guān)彗星軌道測(cè)量的論文。1810年任新建的柯尼斯堡天文臺(tái)臺(tái)長，直至逝世。1812年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。貝塞爾的主要貢獻(xiàn)在天文學(xué)，以《天文學(xué)基礎(chǔ)》（1818）為標(biāo)志發(fā)展了實(shí)驗(yàn)天文學(xué)，還編制基本星表，測(cè)定恒星視差，預(yù)言伴星的存在，導(dǎo)出用于天文計(jì)算的貝塞爾公式，較精確地計(jì)算出歲差常數(shù)等幾個(gè)天文常數(shù)值，還編制大氣折射表和大氣折射公式，以修正其對(duì)天文觀測(cè)的影響。他在數(shù)學(xué)研究中提出了貝塞爾函數(shù)，討論了該函數(shù)的一系列性質(zhì)及其求值方法，為解決物理學(xué)和天文學(xué)的有關(guān)問題提供了重要工具。此外，他在大地測(cè)量學(xué)方面也做出一定貢獻(xiàn)，提出貝塞爾地球橢球體等觀點(diǎn)。貝塞爾重新訂正了《布拉德萊星表》，并加上了歲差和章動(dòng)以及光行差的改正;還編制了包括比九等星更亮的75000多顆恒星的基本星表，后來由他的繼承人阿格蘭德擴(kuò)充成著名的《波恩巡天星表》。

1837年，貝塞爾發(fā)現(xiàn)天鵝座61正在非常緩慢地改變位置，第二年，他宣布這顆星的視差是0.31弧秒，這是世界上最早被測(cè)定的恒星視差之一。第三頁第四頁，共55頁。三維波動(dòng)方程：三維熱傳導(dǎo)方程：分離變量：一、幾個(gè)微分方程的引入對(duì)u(r)，得到：第四頁第五頁，共55頁。xyz球坐標(biāo)下：第五頁第六頁，共55頁。球貝塞爾方程歐拉方程k=0k=0第六頁第七頁，共55頁。連帶勒讓德方程：勒讓德方程：m=0第七頁第八頁，共55頁。xyz柱坐標(biāo)下：第八頁第九頁，共55頁。貝塞爾方程第九頁第十頁，共55頁。?。汉ツ坊羝澐匠虆?shù)形式的貝塞爾方程?。?1Sturm-Liouville（施圖姆-劉維爾）型方程貝塞爾方程勒讓德方程?。毫硪煌緩剑旱谑摰谑豁?，共55頁。定義：基本性質(zhì)：證明：二、伽馬函數(shù)的基本知識(shí)第十一頁第十二頁，共55頁。求證：令t=u2其它結(jié)論第十二頁第十三頁，共55頁。變系數(shù)的二階線性常微分方程，其解稱為貝塞爾函數(shù)

階貝塞爾方程不能在x=0附近展開成冪級(jí)數(shù)，因?yàn)閤=0是它的正則奇點(diǎn)對(duì)于變系數(shù)方程y+p(x)y+q(x)y=0，如果xp(x)、x2q(x)都能在x=0附近展開成冪級(jí)數(shù)，則在這個(gè)鄰域內(nèi)方程有廣義冪級(jí)數(shù)解Ck是展開系數(shù)，c是待定常數(shù)三、貝塞爾方程的求解第十三頁第十四頁，共55頁。代入貝塞爾方程第十四頁第十五頁，共55頁。要使等式兩邊成立，則x各次冪的系數(shù)為零第十五頁第十六頁，共55頁。將c=

v代入(2)，得C1=0先考慮c=v情況，代入(3)，得(4)第十六頁第十七頁，共55頁。一個(gè)特解為C0為任意常數(shù)，通常取第十七頁第十八頁，共55頁。v階第一類貝塞爾函數(shù)第十八頁第十九頁，共55頁。對(duì)于任意x(-,+)，因此級(jí)數(shù)y1的收斂區(qū)間為

(-,+)在x=0時(shí)，令第十九頁第二十頁，共55頁。再考慮c=-v情況，得到貝塞爾方程的通解為：其中v為實(shí)數(shù)（不是整數(shù)），A、B為待定系數(shù)第二十頁第二十一頁，共55頁。整數(shù)階貝塞爾函數(shù)其中v不是整數(shù)當(dāng)v是整數(shù)時(shí)第二十一頁第二十二頁，共55頁。Yv稱為第二類v階貝塞爾函數(shù)（也稱諾伊曼或牛曼函數(shù)），與Jv(x)是線性無關(guān)的v階貝塞爾方程的通解：如果v不是整數(shù)，其通解還可表示為第二十二頁第二十三頁，共55頁。第二類貝塞爾函數(shù)的圖象貝塞爾函數(shù)的圖象貝塞爾、牛曼函數(shù)的圖象第二十三頁第二十四頁，共55頁。第二十四頁第二十五頁，共55頁。第二十五頁第二十六頁，共55頁。第二十六頁第二十七頁，共55頁。四、貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)1、生成函數(shù)：如果一個(gè)函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式的系數(shù)是貝塞爾函數(shù)，則稱該函數(shù)為貝塞爾函數(shù)的生成函數(shù)或母函數(shù)。如果有則稱f(x,r)為Jn(x)的生成函數(shù)，r為參數(shù)整數(shù)階貝塞爾函數(shù)的生成函數(shù)為第二十七頁第二十八頁，共55頁。2、貝塞爾函數(shù)的遞推公式對(duì)任意v都成立第二十八頁第二十九頁，共55頁。例1第二十九頁第三十頁，共55頁。例2計(jì)算積分利用第三十頁第三十一頁，共55頁。例3求證：證明：利用第三十一頁第三十二頁，共55頁。例4求證：證明：利用第三十二頁第三十三頁，共55頁。3、貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)●●●●●●●零點(diǎn)的概念與初步印象第三十三頁第三十四頁，共55頁?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛耜P(guān)于零點(diǎn)的幾個(gè)結(jié)論(1)Jn(x)有無窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn)，且這無窮多個(gè)零點(diǎn)在x軸上是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱分布著的，因而Jn(x)必有無窮多個(gè)正的零點(diǎn)(2)Jn(x)的零點(diǎn)與Jn+1(x)的零點(diǎn)是彼此相間分布的，即Jn(x)的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間必存在一個(gè)且僅有一個(gè)Jn+1(x)的零點(diǎn)(3)當(dāng)x的值充分大時(shí)，Jn(x)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離接近

，即Jn(x)幾乎是以2

為周期第三十四頁第三十五頁，共55頁。●●注意：這里的指標(biāo)(n)，僅表示第n

階貝塞爾函數(shù)，不要與n

階導(dǎo)數(shù)混淆?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛竦谌屙摰谌摚?5頁?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛竦谌摰谌唔摚?5頁。第三十七頁第三十八頁，共55頁。希望光纖傳輸單模，要求波導(dǎo)的歸一化頻率滿足0<V<2.405。光纖（光導(dǎo)纖維）是一種圓柱對(duì)稱的介質(zhì)光波導(dǎo)?？v向電場(chǎng)分量Ez滿足后續(xù)課程中的一個(gè)應(yīng)用：圓柱坐標(biāo)系中第三十八頁第三十九頁，共55頁。4、貝塞爾函數(shù)的漸近公式第三十九頁第四十頁，共55頁。5、貝塞爾函數(shù)的正交性說明，n階貝塞爾函數(shù)在區(qū)間[0,R]上帶權(quán)r正交第四十頁第四十一頁，共55頁。貝塞爾函數(shù)是正交完備的，可以將一個(gè)定義在區(qū)間[0,R]的函數(shù)f(r)展開為展開系數(shù)由此式所確定的Am被稱為傅立葉-貝塞爾系數(shù)傅立葉-貝塞爾級(jí)數(shù)第四十一頁第四十二頁，共55頁。例1解第四十二頁第四十三頁，共55頁。第四十三頁第四十四頁，共55頁。例2解第四十四頁第四十五頁，共55頁。備用展開系數(shù)展開式第四十五頁第四十六頁，共55頁。例解套路邊界條件需“翻譯”一、建立方程第四十六頁第四十七頁，共55頁。取D=0第二類貝塞爾函數(shù)在

=0不是有界的第四十七頁第四十八頁，共55頁。二、求本征值、本征函數(shù)由邊界條件得第四十八頁第四十九頁，共55頁。三、由疊加原理寫出一般解。一般解：本征解：第四十九頁第五十頁，共55頁。四、確定系數(shù)第五十頁第五十一頁，共55頁。代入式(4.68)，得到一般解：第五十一頁第五十二頁，共55頁。在圓柱形波導(dǎo)中的電磁波傳播問題；圓柱體中的熱傳導(dǎo)問題；圓形（或環(huán)形）薄膜