初中數(shù)學教師基本功比賽一等獎說題稿中考數(shù)學壓軸題歷來是初三師生關注的焦點，它一般有動態(tài)問題、開放性題型、探索性題型、存在性題型等類型，涉及到代數(shù)、幾何多個知識點，囊括初中重要的數(shù)學思想和方法。對于考生而言，中考壓軸題是一根標尺，可以比較準確的衡量學生綜合解題能力以及數(shù)學素養(yǎng)，同時它的得失，可以直接影響到學生今后的發(fā)展。下面我就2022年上海市數(shù)學中考第23題第2問進行講評。中考題如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P

為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，

使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接

BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在AD邊上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結論;（3）設AP為X，四邊形EFGP的面積為S，求出S與X的函數(shù)關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．.審題分析本題涉及的知識點有：折疊問題；勾股定理；全等三角形的判定與性質；相似三角形的判定與性質；正方形的性質。本題通過翻折將全等變換，相似構造，勾股定理運用，融進正方形，不失一道好的壓軸題，很值得推敲。由于此圖形是正方形，因此里面隱含著很多直角，這是學生所不注意的地方，也正是解決問題的突破口和切入點。題目的難點是學生無法將分散的條件集中到有效的圖形上進行解決，總有“老虎吃天無從下口”的感覺。用好直角三角形和構造直角三角形是解決此題的關鍵。由于此題綜合性較強，條件較分散，對學生分析問題的能力要求較高，因此難度較大，難度系數(shù)是0.19。.解題過程同一個問題，從不同的角度探究與分析，可有不同的解法。一題多解，有利于溝通各知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性。思路與解法一：從線段AD上有三個直角這一條件出發(fā)，運用“一線三角兩相似”這一規(guī)律（見課件），可將條件集中到△EAP與^PDH上，通過勾股定理、相似三角形的判定與性質來解決。解法如下：答：APDH的周長不變，為定值8.證明：設BE=a,則AE=4—a,有折疊可知PE=BE=a,:.AP=2v：2a—4,PD=4—2?√2a—4,?.?/EPG=900,λ/APE+/DPH=900.又?/PHD+/DPH=900,:ZAPE=/PHD又＜ZA=ZD=900,:AAEP?APDH.:AAEP的周長APDH的周長AEPd4+2√2θ≡4 4—a即 ?一一= .APDH的周長4—2√2a—4:APDH的周長=32~8a=8.4-a評析這種解法用的是設而不求的方法，這也是解決幾何問題的常規(guī)解法之一，解題過程中運用了勾股定理、相似，使解題思路明確，計算過程簡潔。思路與解法二：求^PDH的周長，因為PD、DH都在正方形的邊上，所以需要將PH轉化到正方形的邊上進行解決，因此利用輔助線構造三角形全等進行轉化。解法如下：答：△PDH的周長不變，為定值8.證明：如圖2,過B作BQ⊥PH，垂足為Q.由（1）知ZAPB=ZBPH，又?ZA=ZBQP=900,BP=BP,???△ABP^△QBP.ΛAP=QP,AB=BQ.又：AB=BC,ΛBC=BQ.又?ZC=ZBQH=900,BH=BH,，△BCH之^BQH.ΛCH=QH.???△PDH的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.評析這種解法用到了作輔助線,這樣把問題進行了轉化，利用三角形全等的知識，得出線段PH=PQ+PH=AP+CH,把分散的問題集中到已知條件上來，從而做到了化未知為己知，使問題迎刃而解。3.總結提升：在原題的條件下，還可得以下結論：⑴求證：ZPBH=450；⑵求證：S=S +S ；APBH AABPABCH⑶當PH=m時，則S =16—4m。ADHP證明略。評析拓展提升題有助于學生鞏固所學知識，提高思維能力，培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力，并有助于拓展思維，激發(fā)學生學習興趣，從而使學生學習積極性和主動性都得到提高。逆向探究：如圖1,現(xiàn)有一張邊長為4的正方形ABCD紙片，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF，連接BP、BH.ADHP的周長為8.求ABPH面積的最小值。解：設ABPH的面積為S,PD=x,DH=y,貝UAP=4—X,CH=4—y,S=2S+S正方形ABCD ABPH ADHP:.16=2S+2xy.?.?HP=AP+CH,HP=(4-x)+(4-y)=8-x-y.由勾股定理得HP2=DP2+DH2,即(8-x-y)2=x2+y2.整理得y=8x-32x-82S+-x?2:16=8X-32

x—8化簡得2X2+(S-16)X+(64-8S)=0.:.A=(S-16)2-8(64-8S)≥0.S2+32S-256≥0.:.S≥16√2-16或S≤-16√2-16（舍去）。.：S≥16√2-16.:S的最小值為16V2-16.評析加強逆向思維的訓練，可改變思維結構，培養(yǎng)思維的靈活性、深刻性和雙向性，提高分析問題和解決問題的能力。因此教學中應注重逆向思維的培養(yǎng)與塑造，以充分發(fā)揮學生的思考能力，訓練其思維的敏捷性，從而激發(fā)學生探索數(shù)學奧秘的興趣。像以上這種一題多解與一題多變的題例，在我們的教學過程中，如果有意識的去分析和研究，是舉不勝舉、美不勝收的。我想，拿到一個題目，如果這樣深入去觀察、分析、解決與反思，那必能起道以一當十、以少勝多的效果，增大課堂的容量，培養(yǎng)學生各方面的技能，特別是自主探索，創(chuàng)新思維的能力，也就無需茫茫的題海，唯恐學生不學了。我會繼續(xù)努力深入去研究課本的例、習題和全國各地的中考試題，象學生一樣，不斷追求新知，完善自己。說題稿原題已知：如圖，AD垂直平分BC,D為垂足，DM⊥AC,DN⊥AB,M,N分別為垂足，求證：DM=DN一、說背景與價值本題選自八年級上第一章《三角形的初步知識》之《1.5三角形全等的判定4》的課內練習2。解決此題涉及的知識有垂直的定義，垂直平分線的定義及性質，三角形全等的判定，角平分線的性質，三角形的面積等。本習題是在學生學習三角形全等的判定定理“AAS”，及角平分線的性質的基礎上給出的。課本設置此練習的目的旨在鞏固三角形全等的判定及角平分線的性質。大部分學生想到利用三角形全等，然而解題的方法較多，需要學生發(fā)散思維，充分聯(lián)系已知與求證，綜合運用已學的知識來解決，在眾多的方法中進行選優(yōu)，從而獲得一定的解題經(jīng)驗。二、說教學與改進學生已經(jīng)學會了三角形全等的判定定理“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，對于證明相等的線段，基本上具備了解決此題的知識儲備和技能。而學生往往會思維定勢，聯(lián)想到證明三角形全等，而忽視了此時證明的是垂線段這個重要信息，缺乏相應的想象。學生可能的做法：1、先證明^ADCm^ADB得∠B=∠C再證明ADCMMADBN得到DM=DN;2、先證明AADCmAADB?∠CAD=∠BADj再證明ADAM^ADAN，得到DM=DN;3、先證明AadcmAADB得AD是角平分線，再利用角平分線的性質，得到DM=DN;4、先由中垂線的性質證明AB=AC，再由三角形的中線將三角形的面積二等分，得S =S，由DM⊥ACDN⊥AB，得到DM=DN。AADB AADC在原先的教學中，讓學生思考后回答，發(fā)現(xiàn)大部分學生是第1，2種解法，很少出現(xiàn)第3，4的解法，然后再追問，還有其他的方法嗎？能利用今天學過的知識來解決嗎？能利用角平分線的性質嗎？終于有了第3種方法，可是學生缺乏想象，這樣的教學效果不好。針對很少學生想出方法3，方法4，以及充分發(fā)揮這道題目的價值，我在第二節(jié)課時對教學進行了如下的改進。首先是講解角平分線的性質時做好鋪墊，在講解角平分線時，引導學生理解角平分線上的點到角兩邊的距離相等，這個距離指的是垂線段的長度。以及應用角平分線性質時具備3個條件：角平分線，兩條垂線段。其次在講解時讓學生說出各自的解法，當大部分學生出現(xiàn)前兩種方法時，進行如下的引導啟發(fā)。引導關注條件，所求證的DM=DN，與它相關的條件是什么？DM⊥ACDN⊥AB，發(fā)現(xiàn)所證明的兩條線段與眾不同，它們是垂線段，再啟發(fā)學生對垂線段展開聯(lián)想。由“垂線段”能聯(lián)想到什么？這時學生積極思考，而且有有驚喜。有了剛才的鋪墊和現(xiàn)在的啟發(fā)，有學生聯(lián)想到了剛學過的角平分線的性質。問題轉化為證明AD是∠BAC的平分線。驚喜的是有的學生在啟發(fā)引導下，由垂線段聯(lián)想到了三角形的高，進而聯(lián)想到三角形的面積。由中線將三角形的面積二等分得S =S，要證DM=DN，只需證明AB=ACoAADBAADC通過此題，有什么收獲？對于這幾種方法，你喜歡哪一種？最欣賞哪一種？師生共同提煉：1、證明相等的線段，一般可通過證明兩條線段所在的三角形全等。2、對于證明垂線段相等時，可聯(lián)想到角平分線的性質或利用三角形面積等。3、對解題方法進行比較，讓學生從中選優(yōu)，體現(xiàn)最優(yōu)化思想。有些學生喜歡利用三角形全等，因為他最拿手，有些學生喜歡利用角平分線的性質，因為它最直接，有些學生喜歡利用等積法，因為解法巧妙，而在幾何教學中我們也經(jīng)常利用等積法，如可由面積相等這個等量關系來解決問題，也可以利用面積相等進行等積變形，改變圖形的形狀以便于求解，是個非常巧妙的方法。所以我對此進行有關計算，推理的拓展與命題。設計意圖：讓學生養(yǎng)成解題后反思的習慣，促進學生會反思，形成一定的解題經(jīng)驗，讓學生選優(yōu)體現(xiàn)解題方法的優(yōu)化。三、說拓展與命題拓展1 已知在RtAABD中，AD=4,BD=3,DN⊥AB,N為垂足，則DN=設計意圖：在原題的基礎上拓展，滲透等積法。拓展2 已知：如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,D為邊BC上一點，DM⊥AC,DN⊥AB,M,N分別為垂足，隨著點D在線段上運動，DM+DN的值是否發(fā)生改變；若改變，說出變化的情況，若不改變，求出它的值。C在原題的基礎上改變點D的位置，還是在BC上，但是動點，判斷這兩條垂線段的和會不會改變？此時學生很難想到通過三角形的全等，但會“截長補短”的學生可能會解決；而利用等積法來解決，是非常巧妙的做法。實質上所求的垂線段的和就是一腰上的高。設計意圖：改變條件，使原來的點變成邊上的動點，此時學生很難想到通過三角形的全等來解決問題，而利用等積法來解決，從而發(fā)展學生解決問題的能力。.拓展3某數(shù)學興趣小組組織了以“等積變形”為的主題的課題研究。第1小組發(fā)現(xiàn)：如圖（1），點A、點B在直線l上，點C、點D在直線l上，第超且線:ABC=S“反之若S"AABD，則O!2如圖（2），點P是反比例函數(shù)y=k上任意一點，過點Px作X軸、y軸的垂線，垂足為M、N，則矩形OMPN的面積為定值k請利用上述結論解決下列問題：（1）如圖（3）,點C、D是半圓上的三等分點，圓O的半徑是2,則陰影部分的面積是 .（2）如圖（4）,四邊形ABCD是正方形，圓A的半徑是2，交邊AD于點E，則S=. .ACEF2（3）如圖（5）,點A,B在反比例函數(shù)y=—的圖象上，則S = x ΔOAB第一小組討論的問題是常見的“同底等高”的兩個三角形面積相等,反之成立,類似的有“等底同高”,“等底等高”。第二小組討論的問題是反比例函數(shù)的幾何意義,圖象上的點與坐標軸圍成的矩形面積不變。3小題考查等積變形,第1題在圓中求不規(guī)則圖形面積,已經(jīng)具有平行線,學生容易想到利用等積變形,將陰影圖形轉化為扇形；第2題求三角形面積,沒有平行線,需要利用正方形對角線構造平行線，將S轉化為S，此題也可運用割補法，等積變形顯然更巧妙。第3題是求ΔCEF ΔAEF直角坐標系中斜放的三角形面積，利用反比例函數(shù)的幾何意義，S=S，則ΔAOCΔBODS=S?？蓪⑿狈诺娜切蔚确e變形為直角梯形,直接利用坐標的意義求解,體現(xiàn)出ΔAOE 四邊形CDBE等積法的優(yōu)越性。設計意圖：將等積法進行研究,了解基本圖形,滲透等積法,體驗等積法的巧妙。拓展4如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（-6，0），B（4，0），C（0，8），把aABC沿直線BC翻折，點A的對應點為D，拋物線y=ax2-10ax+c經(jīng)過點C，頂點M在直線BC上.（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點D的坐標；（I”）（2）求拋物線的對稱軸和函數(shù)表達式；（直線χ=5,函數(shù)表達式為y=5x2-4x+8）（3）在拋物線上是否存在點P，使得△PBD與aPCD的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.考查動點產(chǎn)生的面積問題。由三角形面積相等，聯(lián)想到“同底等高”，“等底同高”，“等底等高”。“同底等高”兩個三角形可以以PD為底，則點P是BC的平行線與圖象的交點“等底同高”不存在；“等底等高”第一小題證明的菱形ABCD,CD=BD,可以分別以它們?yōu)榈?，等高?lián)想到了/BDC的平分線，則點P是∠BDC的平分線與圖象的交點。設計意圖：通過此題,