第2講立體幾何中的空間角問題高考定位以空間幾何體為載體考查空間角(以線面角為主)是高考命題的重點，常與空間線面關系的證明相結合，熱點為空間角的求解，常以解答題的形式進行考查，高考注重以傳統(tǒng)方法解決空間角問題，但也可利用空間向量來求解.真題感悟(2018·浙江卷)如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)證明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.1.求異面直線所成角的方法方法一：幾何法.用幾何法求兩條異面直線所成角的步驟為：①利用定義構造角，可固定一條直線，平移另一條直線，或將兩條直線同時平移到某個特殊的位置；②證明找到(或作出)的角即為所求角；③通過解三角形來求角.方法二：空間向量法.用空間向量法求兩條異面直線a，b所成角θ的步驟為：①求出直線a，b的方向向量，分別記為m，n；②計算cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)；③利用cosθ＝|cos〈m，n〉|，以及θ∈(0°，90°]，求出角θ.2.求直線與平面所成角的方法方法一：幾何法.用幾何法求直線l與平面α所成角的步驟為：①找出直線l在平面α上的射影；②證明所找的角就是所求的角；③把這個平面角置于一個三角形中，通過解三角形來求角.方法二：空間向量法.用空間向量法求直線AB與平面α所成角θ的步驟為：①求出平面α的法向量n與直線AB的方向向量eq\o(AB,\s\up6(→))；②計算cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·n,|\o(AB,\s\up6(→))||n|)；③利用sinθ＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉|，以及θ∈[0°，90°]，求出角θ.3.求二面角的方法方法一：幾何法.用幾何法求二面角α-l-β的平面角θ的步驟為：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角)；②證明所找的角就是要求的角；③把這個平面角置于一個三角形中，通過解三角形來求角.求二面角的平面角的口訣：點在棱上，邊在面內，垂直于棱，大小確定.方法二：空間向量法.用空間向量法求二面角αlβ的平面角θ的步驟為：①求兩個半平面α，β的法向量m，n；②計算cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)；③根據圖形和計算結果判斷θ是銳角、直角，還是鈍角，從而得出θ與〈m，n〉是相等關系還是互補關系.熱點一求線線角【例1】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點.已知AB＝2，AD＝2eq\r(2)，PA＝2，求異面直線BC與AE所成角的大小.探究提高求異面直線所成的角，可以應用向量法，也可以應用異面直線的定義求解.【訓練1】(1)(2018·浙江卷)已知四棱錐SABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點(不含端點).設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角SABC的平面角為θ3，則()A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2 D.θ2≤θ3≤θ1(2)(2016·浙江卷)如圖，已知平面四邊形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝eq\r(5)，∠ADC＝90°，沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是________.熱點二求線面角【例2】(2017·浙江卷)如圖，已知四棱錐PABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E為PD的中點.(1)證明：CE∥平面PAB；(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.探究提高(1)傳統(tǒng)法解決線面角問題的關鍵是先找出線面所成的角，再在三角形中解此角.(2)利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.【訓練2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD，E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°.(1)在平面PAB內找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.熱點三求二面角【例3】(2016·浙江卷)如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求證：BF⊥平面ACFD；(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.探究提高(1)用傳統(tǒng)法求解二面角的關鍵是：先找出二面角的平面角，再在三角形中求解此角.(2)利用法向量的根據是兩個半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互補，在能斷定所求二面角的平面角是銳角、直角或鈍角的情況下，這種方法具有一定的優(yōu)勢，但要注意，必須能斷定“所求二面角的平面角是銳角、直角或鈍角”，在用法向量法求二面角的大小時，務必要作出這個判斷，否則解法是不嚴謹的.【訓練3】(2018·紹興仿真考試)四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，E為AB的中點，PA⊥平面ABCD，PC與平面PAB所成的角的正弦值為eq\f(\r(6),4).(1)在棱PD上求一點F，使AF∥平面PEC；(2)求二面角D-PE-A的余弦值.1.兩條直線夾角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).設直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2，其夾角為θ，則cosθ＝|cosn1，n2|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).2.二面角的范圍為[0，π].設半平面α與β的法向量分別為n1與n2，二面角為θ，則|cosθ|＝|cosn1，n2|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).3.利用空間向量求解二面角時，易忽視二面角的范圍，誤以為兩個法向量的夾角就是所求的二面角，導致出錯.4.空間向量在處理空間問題時具有很大的優(yōu)越性，能把“非運算”問題“運算”化，即通過直線的方向向量和平面的法向量，把立體幾何中的平行、垂直關系，各類角、距離以向量的方式表達出來，把立體幾何問題轉化為空間向量的運算問題.應用的核心是充分認識形體特征，進而建立空間直角坐標系，通過向量的運算解答問題，達到幾何問題代數化的目的，同時注意運算的準確性.1.(2018·天津卷)如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB＝2，AD＝2eq\r(3)，∠BAD＝90°.(1)求證：AD⊥BC；(2)求異面直線BC與MD所成角的余弦值；(3)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.3.(2018·全國Ⅰ卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF.(1)證明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.4.(2018·江蘇卷)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點.(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.5.(2018·全國Ⅱ卷)如圖，在三棱錐PABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點.(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且二面角MPAC為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.6.(2018·北京卷)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點，AB＝BC＝eq\r(5)，AC＝AA1＝2.(1)求證：AC⊥平面BEF；(2)求二面角BCDC1的余弦值；(3)證