第2章直線和圓的方程2.5.1直線與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．(重點)2.會用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關(guān)系．(難點)

3.會用直線與圓的位置關(guān)系解決一些實際問題．(難點)

“海上生明月，天涯共此時?！保磉_了詩人望月懷人的深厚情誼。在海天交于一線的天際,一輪明月慢慢升起,先是探出半個圓圓的小腦袋,然后冉冉上升,和天際線相連,再躍出海面,越來越高,展現(xiàn)著迷人的風(fēng)采.

這個過程中,月亮看作一個圓,海天交線看作一條直線,月出的過程中也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系:相交、相切和相離.位置關(guān)系圖形

d與r的關(guān)系交點個數(shù)相離相交相切

d>rd<rd=r0個2個1個實例1.如圖，已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求l被圓C所截得的弦長．【分析】思路一判斷直線l與圓的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解；解法一：由直線l與圓的方程，得：消去y，得所以，直線l與圓相交，有兩個公共點．同時可求得直線l與圓的兩個交點是：實例1.如圖，已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求l被圓C所截得的弦長．【變通】遇交點坐標(biāo)計算困難時，可考慮交點坐標(biāo)“設(shè)而不求”；解：由直線l與圓的方程，得：消去y，得所以，直線l與圓相交，有兩個公共點．并設(shè)為則由韋達定理得故整體代入可得判斷直線與圓位置關(guān)系的方法：(1)代數(shù)法：消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程.列出判別式△，（如有需要還可列出根與系數(shù)的關(guān)系）

設(shè)直線l:Ax+By+C=0與圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0：若相交,可以解得兩交點坐標(biāo)或韋達定理利用兩點間的距離公式求得弦長.聯(lián)立：判定：列式：消元：思路二可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系．實例1.如圖，已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求l被圓C所截得的弦長．所以，直線l與圓相交，有兩個公共點．

設(shè)直線l:Ax+By+C=0,圓C:(x－a)2+(y－b)2=r2.圓心C到直線l的距離為d，通過比較d與r的大小,判斷直線與圓的位置關(guān)系.則有：判斷直線與圓位置關(guān)系的方法：(2)幾何法：xyOABdC若直線l與圓C相交,則弦長公式為r相交相切相離練一練即kx-y+1-2k=0由圓心(0,0)到切線l的距離等于圓的半徑1，得聯(lián)立：消元：列式：

[跟蹤訓(xùn)練](1)已知直線l：ax＋by－3＝0與圓M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于點P(－1,2)，則直線l的方程為________．(2)由直線y＝x＋1上任一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則該切線長的最小值為(

)x＋2y－3＝0答案：C例3(1)過點(－4,0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B兩點，如果|AB|＝8，求直線l的方程．解：將圓的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由圓的性質(zhì)可得，圓心到直線l的距離d＝3.①當(dāng)直線l的斜率不存在時，x＝－4滿足題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.解法1：因此所證命題成立代數(shù)方法解法3：mx-y+1-m=0過定點（1，1）而（1，1）在圓內(nèi)，所以直線與圓相交.

因此所證命題成立<1<r恒成立，幾

何

方

法(2)由垂徑定理可知變式：求直線l被圓C截得的弦長最小時,直線l的方程.提示：從幾何的角度思考，經(jīng)過圓內(nèi)一定點的弦中，當(dāng)該定點為弦的中點時，弦長最小.答案：x=1直線與圓相交時弦長的兩種求法：(2)代數(shù)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：

(1)幾何法：如圖示，直線l與圓C交于A，B兩點，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有：其中k為直線l的斜率.

(x－2)2＋(y＋1)2＝4

法二（代數(shù)法）設(shè)直線l:y-5=k(x-5),與圓C相交于點A(x1,y1),B(x2,y2),

1．直線與圓的三種位置關(guān)系及判定：②相切?d=r?Δ=0；①相交?d<r?Δ>0；③相離?d>r?Δ<02．求圓的切線一般有三種方法：(1)設(shè)切線斜率．利用“d=r”求出斜率．(2)設(shè)切點(x0,y0)，利用“替換”寫出切線的方程，再由其