7.3.1電場(chǎng)線和電通量一、電場(chǎng)線(ElectricFieldLines)用一族空間曲線形象描述場(chǎng)強(qiáng)分布7.3靜電場(chǎng)的高斯定理(Gauss’sLaw)1.曲線上每一點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向；2.曲線的疏密表示場(chǎng)強(qiáng)的大小。電場(chǎng)線數(shù)密度：即：電場(chǎng)中某點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小等于該點(diǎn)處的電場(chǎng)線數(shù)密度。3.沒有電荷處，任意兩條電場(chǎng)線不會(huì)相交。電場(chǎng)線的性質(zhì)1.電場(chǎng)線起始于正電荷(或無窮遠(yuǎn)處)，終止于負(fù)電荷(或無窮遠(yuǎn)處)，不會(huì)在沒有電荷處中斷；2.電場(chǎng)線不會(huì)形成閉合曲線；電場(chǎng)線條數(shù)站在雷雨中的高地二、電通量(ElectricFlux)定義：通過任一面的電場(chǎng)線條數(shù)θθ2.通過任意曲面的電通量把曲面分成許多個(gè)面積元每一面元處視為勻強(qiáng)電場(chǎng)1.通過面元的電通量3.通過閉合曲面的電通量規(guī)定：面元方向由閉合面內(nèi)指向面外θθ通過整個(gè)閉合曲面的電通量就等于凈穿出封閉面的電場(chǎng)線的總條數(shù)。電場(chǎng)線穿出電場(chǎng)線穿入7.3.2高斯定理在真空中的靜電場(chǎng)內(nèi)，通過任意封閉曲面的電通量等于該封閉曲面所包圍的電荷的電量的代數(shù)和的倍。高斯閉合面S：高斯面。場(chǎng)強(qiáng)E：由面內(nèi)、外全部電荷共同產(chǎn)生。是關(guān)于電場(chǎng)的普遍規(guī)律一、靜電場(chǎng)的高斯定理這一結(jié)果與球面半徑r無關(guān)，只與它所包圍的電荷電量q有關(guān)。qrS二、定理推導(dǎo)半徑為r的球面上的場(chǎng)強(qiáng)：通過面元dS的電通量：1.只有一個(gè)點(diǎn)電荷且閉合曲面為以點(diǎn)電荷為球心的球面

電場(chǎng)線通過球面S的電通量：2.曲面為任意閉合面且點(diǎn)電荷在曲面內(nèi)·qSS’電場(chǎng)線穿過球面S的每一條電場(chǎng)線必然通過曲面S’，反之亦然，故通過曲面S’的電通量：3.點(diǎn)電荷在閉合曲面外

電場(chǎng)線q·S’’進(jìn)出S’’的電場(chǎng)線的條數(shù)相等，凈通量為零，故通過曲面S’’的電通量：..............q1q2qjqj+1qnS4.生場(chǎng)電荷為多個(gè)點(diǎn)電荷

高斯定理成立推論：對(duì)任意連續(xù)電荷分布亦正確。

注意1.以上對(duì)高斯定理的證明并不嚴(yán)格，實(shí)際上，高斯定理可從庫(kù)侖定律嚴(yán)格導(dǎo)出，它是平方反比規(guī)律的必然結(jié)果。它源于庫(kù)侖定律，高于庫(kù)侖定律(適用運(yùn)動(dòng)電荷的電場(chǎng))。2.高斯定理中的是封閉曲面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，是由面內(nèi)面外所有電荷共同產(chǎn)生的，并非只由封閉曲面內(nèi)的電荷所產(chǎn)生。

注意3.只有封閉曲面內(nèi)部的電荷才對(duì)通過封閉曲面的總電通量有貢獻(xiàn)，封閉曲面外部的電荷對(duì)這一總電通量無貢獻(xiàn)，即通過封閉曲面的總電通量取決于它所包圍的電荷。4.高斯定理中的叫做封閉曲面內(nèi)的凈電荷，當(dāng)它等于零時(shí)，通過封閉曲面上的電通量就為零，這并不意味著封閉曲面上的電場(chǎng)處處為零，也不意味著封閉曲面內(nèi)一定無電荷。

7.3.3利用高斯定理求靜電場(chǎng)的分布常見的電量分布的對(duì)稱性：球?qū)ΨQ柱對(duì)稱面對(duì)稱均勻帶電的球體無限長(zhǎng)無限大點(diǎn)電荷球面帶電線柱面柱體平板平面高斯定律的成立條件是普遍的，但為了用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)，問題本身必須具有良好的對(duì)稱性，以便將高斯定理中面積分下的提到積分號(hào)外。

例1：求均勻帶電球面的電場(chǎng)分布。設(shè)球面半徑為R，球面上所帶總電量為q(q>0)。解:PrS當(dāng)r>R時(shí)，高斯面為S，應(yīng)用高斯定理:方向沿徑矢向外與整個(gè)球面的電量都集中在球心時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)相同

本例中電荷分布具有球?qū)ΨQ性，可以判斷，空間任意點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)一定沿著徑矢方向，而且在與球心O等距離處，場(chǎng)強(qiáng)的大小應(yīng)相等。設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，與球心O的距離為r。以點(diǎn)O為球心，通過P點(diǎn)作半徑為r的球面，以此作為高斯面。ROPrRS當(dāng)r<R時(shí)，高斯面為S’，應(yīng)用高斯定理:S’所以均勻帶電球面場(chǎng)強(qiáng)分布：對(duì)于q<0的情況，場(chǎng)強(qiáng)的大小與q>0的情況一樣，但球外場(chǎng)強(qiáng)的方向指向帶電球面。

Er用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的一般步驟：1.根據(jù)電荷分布的對(duì)稱性分析電場(chǎng)分布的對(duì)稱性；2.選擇適當(dāng)?shù)拈]合積分曲面作為高斯面；5.在有些問題中，閉合面內(nèi)的凈電荷也要用積分計(jì)算。3.分析高斯面的各部分上的大小和方向以及cos

的具體情況，將積出來；4.利用高斯定理，建立和生場(chǎng)電荷的聯(lián)系，并說明的方向；解：例2：求均勻帶電球體的電場(chǎng)分布。設(shè)球體半徑為R，球體上所帶總電量為Q(Q>0)。本例的電荷分布也具有球?qū)ΨQ性，高斯面的選取與電通量的計(jì)算均與上例相同，因此球外場(chǎng)強(qiáng)大小也為:方向沿徑矢向外與整個(gè)球體的電量都集中在球心時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)相同

PrRSEr當(dāng)r<R時(shí)，高斯面為S’，應(yīng)用高斯定理:方向沿徑矢向外S’.例3：求無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面的電場(chǎng)分布。已知圓柱面半徑為R，單位長(zhǎng)度帶電量為。解：hS·P

Rr，高度為h，再加上上下由于電荷分布具有軸對(duì)稱性，可以確定電場(chǎng)分布也具有軸對(duì)稱性，即與圓柱面軸線等距離的各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向都垂直于圓柱面向外。設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，與圓柱面軸線的距離為r。通過P點(diǎn)以圓柱面軸線為軸作柱面底面形成閉合面作為高斯面。當(dāng)r>R時(shí)，高斯面為S，應(yīng)用高斯定理:

hS·PRr高斯面上、下底面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)與底面平行，故上、下底無電通量而所以方向垂直于圓柱面向外與整個(gè)圓柱面的電量都集中在軸線上的場(chǎng)強(qiáng)相同

當(dāng)r<R時(shí)，高斯面為S’，應(yīng)用高斯定理:h’S’rS側(cè)S底例4：求無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)分布。已知帶電平面電荷面密度為。解：.Pr由對(duì)稱性可知，與平面等遠(yuǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，平面兩側(cè)場(chǎng)強(qiáng)方向應(yīng)垂直于平面，且指向外。設(shè)P是空間中任意一點(diǎn)，與帶電平面的距離為r。作如圖所示的柱狀高斯面，其側(cè)面與帶電平面垂直，兩底面與帶電平面平行且等距離，底面積面中心。應(yīng)用高斯定理：為

S，而P點(diǎn)就位于底S側(cè)S底.Pr而所以即帶電平面兩側(cè)的電場(chǎng)是垂直于平面的均勻場(chǎng)，當(dāng)

>0時(shí)，的方向遠(yuǎn)離平面；當(dāng)

<0時(shí)，的方向指向平面。利用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，可求出更多帶電體的電場(chǎng)分布如:1.兩平行的無限大帶電平板；2.帶小缺口的細(xì)圓環(huán)；3.帶圓孔的無限大平板；4.帶有空腔的圓柱體等；

1

2

sROO’aROPaR’O’例5：半徑為R的球內(nèi)挖一半徑為R’的球形空腔，兩球心距離為2a，若電荷體密度為，求兩球心連線中點(diǎn)處P的場(chǎng)強(qiáng)，設(shè)a>R’。解：這個(gè)帶電體不具有球?qū)ΨQ性，其電場(chǎng)也不具有球?qū)ΨQ性，不能直接用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)（不是高斯定理不成立）。設(shè)想把空洞填補(bǔ)上，其電荷密度也是，這個(gè)半徑為R的均勻帶電球體在P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)可用高斯定理求得：方向指向O’方向指向O’ROPaR’O’再設(shè)空腔處帶電，即視為