鋼筋混凝土橋面組合梁的彈性屈曲分析

1連續(xù)組合梁的臨界彎矩變化由于上翼邊緣板的限制，鋼框架梁的定向穩(wěn)定性計(jì)算應(yīng)不同于鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)定的梁的曲線畸變失穩(wěn)計(jì)算?？蚣芰荷弦砭壔旧蠜](méi)有側(cè)向變形,其穩(wěn)定性主要是負(fù)彎矩區(qū)下翼緣的側(cè)向失穩(wěn)。這是一種畸變屈曲(圖1),即截面形狀不再保持不變的屈曲。連續(xù)組合梁的負(fù)彎矩區(qū)也發(fā)生這種屈曲。對(duì)于鋼框架梁和連續(xù)組合梁負(fù)彎矩區(qū)的穩(wěn)定性設(shè)計(jì),GB50017采用限制梁的繞弱軸的長(zhǎng)細(xì)比的方法,參見(jiàn)規(guī)范第9.3.2條的規(guī)定。這種方法來(lái)自于梁整體彎扭屈曲的計(jì)算而不是畸變屈曲的研究,未能考慮樓板作用,過(guò)于保守,因而是不適合的。文獻(xiàn)提出,將下翼緣看做壓桿,在下翼緣側(cè)向失穩(wěn)時(shí)受到腹板的側(cè)向約束,因此下翼緣被簡(jiǎn)化為彈性地基上的壓桿。文獻(xiàn)的算例7.2利用這個(gè)模型,提出了如下的計(jì)算步驟來(lái)計(jì)算負(fù)彎矩區(qū)的穩(wěn)定性:(1)計(jì)算彈性屈曲臨界應(yīng)力σcr1=E2√3√bft3wtfh3w(1)(2)計(jì)算下翼緣作為壓桿的長(zhǎng)細(xì)比λ=π√Eσcr1√fy235(2)(3)查柱子穩(wěn)定系數(shù)b曲線,得到下翼緣畸變屈曲的穩(wěn)定系數(shù)φ(4)負(fù)彎矩區(qū)的最大應(yīng)力應(yīng)該滿足下式σ≤φf(shuō)(3)式(1)中bf和tf分別是梁截面下翼緣的寬度和厚度,hw和tw分別是腹板的高度和厚度,E是彈性模量。Svensson及陳世鳴等先后研究了變軸力彈性地基梁模型的設(shè)計(jì)方法,指出軸力變化的影響是不能忽略的重要因素,他們得到了一些圖表,但是未能提出近似公式。彈性地基梁的方法未能考慮腹板本身也存在受壓應(yīng)力區(qū),自身也有發(fā)生屈曲的趨勢(shì),因此它對(duì)下翼緣提供的側(cè)向約束在大多數(shù)情況下估計(jì)得過(guò)高。因而上面求得的臨界應(yīng)力σcr1經(jīng)常過(guò)大。歐洲組合結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范EC4給出了連續(xù)組合梁負(fù)彎矩區(qū)畸變屈曲的設(shè)計(jì)規(guī)定。EC4模型的計(jì)算模型如圖1所示,考慮了混凝土樓板和鋼梁腹板的彎曲對(duì)下翼緣側(cè)向位移的約束,建立倒U型框架模型。根據(jù)文獻(xiàn),純彎時(shí)的彈性臨界彎矩的公式為:Μcr=kcl(π2χ1/2+χ-1/2)[(GJ+ksl2/π2)EΙf]1/2(4)式中是梁長(zhǎng),EIf是下翼緣繞y軸的抗彎剛度,GJ是鋼截面的自由扭轉(zhuǎn)剛度。Aa,Iax,Iay分別是鋼梁截面的面積、繞強(qiáng)軸慣性矩、繞弱軸慣性矩,A,Ix分別是組合截面換算成鋼截面的面積和繞強(qiáng)軸的慣性矩,zc是混凝土樓板的中心到鋼截面形心的距離。ks為下翼緣側(cè)向約束等效彈簧剛度,與k1和k2有關(guān)1ks=1k1+1k2=aαEΙ2+4(1-ν2)hwEt3w(5)EI2是開(kāi)裂后的正彎矩區(qū)樓板單位寬度的彎曲剛度,a是梁與梁的間距,ν是泊松比,α=2(邊梁),α=4(中間的框架梁)。假設(shè)混凝土為C25,彈性模量為28000N·mm-2,板厚100mm,鋼梁腹板高600mm,翼緣厚度為14mm,腹板厚度為8mm,翼緣寬度為250mm,梁長(zhǎng)為4800mm,鋼梁間距為3000mm,樓板開(kāi)裂抗彎剛度取未開(kāi)裂的一半,則k1=2EΙ2/a=2×28000×100312×3000/2=7.7778×105Νk2=Et3w4(1-ν2)hw=206000×834(1-0.32)×600=4.8293×104Ν可見(jiàn)一般情況下k1比k2要大10倍多,從而在研究中可以假設(shè)上翼緣是完全約束,不能側(cè)向變形和扭轉(zhuǎn)。求出彈性臨界彎矩后計(jì)算極限承載力為:Μd=χLΤΜp(6)χLT是根據(jù)通用長(zhǎng)細(xì)比查EC3的壓桿穩(wěn)定系數(shù)曲線c得到的彈塑性穩(wěn)定系數(shù)。通用等效長(zhǎng)細(xì)比為—λLΤ=(Μp/Μcr)1/2。EC4公式考慮的因素較多,計(jì)算復(fù)雜,不便于工程應(yīng)用。對(duì)于我國(guó)的工程實(shí)際應(yīng)用來(lái)說(shuō),亟需在一些可行的假定前提下找出彈性臨界荷載更為簡(jiǎn)單的表達(dá)形式。本文采用能量法對(duì)畸變屈曲進(jìn)行了求解,并用有限元進(jìn)行了分析和驗(yàn)證,得到了多半波失穩(wěn)和單半波屈曲情況下的彈性臨界荷載,并對(duì)支座約束對(duì)于彈性臨界荷載的影響作了相關(guān)研究。2彈性過(guò)載2.1下翼緣應(yīng)力應(yīng)變的識(shí)別圖2所示的簡(jiǎn)支梁,承受純彎的負(fù)彎矩。上翼緣因?yàn)楹蜆前暹B成整體,不會(huì)發(fā)生側(cè)移,而扭轉(zhuǎn)變形也忽略不計(jì)。下翼緣發(fā)生側(cè)向失穩(wěn)時(shí),翼緣和腹板中的應(yīng)變能為Uf=12∫l0(EΙfyu″2f+GJf?′2f)dz(7a)Uw=12Dw∫l0∫hw/2-hw/2{(?2uw?y2+?2uw?z2)2-2(1-ν)[?2uw?y2?2uw?z2-(?2uw?y?z)2]}dydz(7b)荷載勢(shì)能為Vf=-12∫l0(Ρu′2f+Ρr20?′2f)dz(8a)Vw=-12tw∫l0∫hw/2-hw/2σz(?uw?z)2dydz(8b)其中r20=Ιfx+ΙfyAf=112(b2f+t2f)?Dw是腹板的彎曲剛度,Ify,Ifx,Jf分別是受壓下翼緣繞自身形心軸的慣性矩及自由扭轉(zhuǎn)慣性矩。Af為下翼緣的面積,P是下翼緣應(yīng)力的合力。總勢(shì)能為∏=Uf+Uw+Vf+Vw(9)由于本文研究的是畸變屈曲,因此不能指望下翼緣對(duì)腹板提供約束。假設(shè)腹板就像一根固定于受拉上翼緣的一邊自由板,腹板在受壓下翼緣端的側(cè)移和轉(zhuǎn)角的關(guān)系可以按照一端固定一端自由的懸臂柱在頂部作用水平力時(shí)的側(cè)移和頂部轉(zhuǎn)角的關(guān)系來(lái)描述,即?B=1.5uBh(10)假設(shè)下翼緣上每一個(gè)點(diǎn)的位移為:uf=uBsinmπzl(11)腹板的位移假設(shè)為三次曲線的形式,為:uw=uB(0.3125+1.125y—+0.75y—2-0.5y—3)sinmπzl(12)式中y—=y/h。上式滿足腹板和上下翼緣的位移和轉(zhuǎn)角連續(xù)的條件。將式(11)、(12)代入總勢(shì)能表達(dá)式,令其對(duì)于uB的一階變分為零,得到臨界應(yīng)力的表達(dá)式如下:σcr=m2π2l2hw2(EΙfy+0.236Dwhw)+3Dwl2m2π2hw+1.5Dwhw+2.25GΙfkbftf(hw2+2.25r02)+0.148hw3tw(13)上式對(duì)半波數(shù)m求導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)為0得到m=lπhw3γ+0.2364≈lπhw3γ4(14)γ=EΙfyDwhw(15)上述簡(jiǎn)化基于γ一般均大于100。將m代入(13)式得到σcr=Dwhw(23(γ+0.236)+1.5)+2.25GΙfkbftf[hw2+2.25(bf2+tf2)]+0.148hw3tw(16)公式(16)與梁長(zhǎng)無(wú)關(guān),是公式(13)的下限。通過(guò)試算發(fā)現(xiàn),畸變屈曲的波長(zhǎng)經(jīng)常超出實(shí)際鋼梁的長(zhǎng)度,這樣一來(lái),畸變屈曲的半波數(shù)經(jīng)常是1,在這種情況下用(16)式偏小較多,因此對(duì)于這種情況需要修正。修正后的公式為σcr=?1(23γ+1.5)Dwhw+2.25GΙfkbftf(hw2+2.25r02)+0.148hw3tw(17)?1推導(dǎo)如下:將m=1時(shí)的σcr與(17)式比較得到?1=π2hw223γl2γ+3l2π2hw223γ+1.523γ分析得知最后一項(xiàng)影響較小,所以偏安全地?1=12[(ldisl)2+(lldis)2]ldisl≤1(18a)?1=1.0ldisl>1(18b)式中l(wèi)dis=πhwγ34≈2.4hwγ4(19)2.2anasas彈性屈曲分析利用ANSYS通用有限元程序?qū)τ谝幌盗袖摿航孛孢M(jìn)行彈性屈曲分析,采用Shell63殼單元進(jìn)行模擬。為了實(shí)現(xiàn)假設(shè)的混凝土樓板的無(wú)窮大的側(cè)向和約束扭轉(zhuǎn),采用限制上翼緣與腹板交接節(jié)點(diǎn)的側(cè)向位移,耦合上翼緣同一z值節(jié)點(diǎn)的y向位移的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。同時(shí)限制支座處下翼緣y方向的位移及下翼緣與腹板交接節(jié)點(diǎn)的x方向位移,及一側(cè)支座這類節(jié)點(diǎn)的z方向位移來(lái)滿足兩端簡(jiǎn)支梁的支座條件。截面尺寸為:截面S1:H400×80×6/8,截面S2:H600×120×8/10,截面S3:H800×160×8/12,取l=(4～20)hw對(duì)ANSYS彈性屈曲分析的結(jié)果,與公式(16)進(jìn)行對(duì)比,如圖3所示。從圖3的ANSYS結(jié)果曲線中可以看出,隨著跨高比的不斷增加,臨界荷載趨于平穩(wěn),通過(guò)觀察屈曲模態(tài)發(fā)現(xiàn)畸變屈曲半波從一個(gè)變化為二個(gè)甚至多個(gè)。隨著半波數(shù)的增多,臨界應(yīng)力逐漸接近下限值,但在跨高比較小時(shí),其與下限應(yīng)力相比有明顯的增大。這說(shuō)明了(17)式中采用的修正的必要性。從圖3結(jié)果曲線的比較中可以看出用公式(16)結(jié)果作為彈性屈曲應(yīng)力的下限估計(jì)是足夠精確的,圖中超出下限的結(jié)果誤差不超過(guò)5%。除了上面3種截面外,本文還選取了截面高度范圍為300mm～800mm,翼緣寬度為截面高度的1/5～4/5,腹板厚(6～12)mm,翼緣厚(6～16)mm,腹板厚比翼緣厚小(2～6)mm,跨高比為6,12,18的梁進(jìn)行了計(jì)算。在采用的1620個(gè)分析樣本中,有790個(gè)發(fā)生了畸變失穩(wěn),判斷發(fā)生畸變失穩(wěn)的標(biāo)準(zhǔn)是受壓下翼緣發(fā)生的x向位移等于腹板平面的最大x位移,且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于下翼緣的y向位移。(17)式與790個(gè)畸變屈曲的結(jié)果誤差分析如圖4所示,由圖可見(jiàn)絕大多數(shù)偏于安全。表1給出了一些更加具體的對(duì)比。由表可見(jiàn),(17)式有足夠的精度。2.3解釋2:有條件時(shí)的臨界荷載為了考察除分析時(shí)使用的約束外其他類型約束對(duì)于畸變失穩(wěn)臨界荷載的影響,采用截面S1-6來(lái)進(jìn)行分析。上翼緣的約束與前面相同,不限制腹板節(jié)點(diǎn)位移。下翼緣均先限制y向位移和中點(diǎn)x向位移,一端z向位移。表2給出下翼緣側(cè)向彎曲時(shí)的三種邊界條件下的臨界荷載。從表2可以看出,對(duì)于這個(gè)例子,支座約束的影響是很大的。A,B,C三種情況得到的臨界荷載與公式最小值的比值μ與屈曲半波數(shù)的關(guān)系分布如圖5所示,可以看出,支座約束對(duì)于臨界荷載的影響只在半波數(shù)較小時(shí)比較大。情況B大約是情況A的2到4倍,而多半波數(shù)的時(shí)候,支座約束的影響相對(duì)較小。局部失穩(wěn)和畸變失穩(wěn)的相互影響比較復(fù)雜,不在本文討論范圍之內(nèi),具體設(shè)計(jì)時(shí)兩種失穩(wěn)模式應(yīng)當(dāng)分開(kāi)驗(yàn)算。因此,圖中由于局部失穩(wěn)而導(dǎo)致的數(shù)據(jù)點(diǎn)奇異的情況,不在本文中考慮。為了考慮支座形式的影響,改寫(xiě)?1表達(dá)式如下:?1=(1μ-12)(ldisl)2+12(lldis)2(20)兩端簡(jiǎn)支μ=1,兩端固定時(shí)μ=0.5,一端簡(jiǎn)支一端固定時(shí)μ=0.8。兩種支座形式下的誤差見(jiàn)圖6。2.4梁的臨界應(yīng)力實(shí)際上梁的彎矩都是變化的。假設(shè)彎矩線性變化,小彎矩和大彎矩的比值為β=M2/M1。則σw=ΜzΙxh2=σz[1-(1-β)zl](21)如果荷載位移曲線仍然采用(12)式,則荷載勢(shì)能計(jì)算如下:Vfβ=-12AF∫0l[σzu′f2+σzr02?′f2]dz=(1+β)2Vf(22a)Vwβ=-12tw∫0l∫-0.5hw0.5hwσzu′w2dydz=12(1+β)Vw(22b)兩個(gè)修正系數(shù)均為12+12β,因此臨界應(yīng)力為σcr=βmσcr0(23)βm=2β+1?δcr0是純彎時(shí)的臨界應(yīng)力。采用表3所列的截面進(jìn)行的有限元分析,結(jié)果如圖7、圖8所示:通過(guò)觀察上圖下降段曲線上點(diǎn)的屈曲模態(tài)可以發(fā)現(xiàn),梁的下翼緣發(fā)生了局部屈曲或是在畸變失穩(wěn)的基礎(chǔ)上發(fā)生了局部失穩(wěn)。由于局部屈曲的影響不在本文的考慮范圍之內(nèi),所以擬采用如下的公式計(jì)算彎矩放大系數(shù):βm=1.25-0.25β(24)當(dāng)β=-1時(shí),βm=1.5,從圖上看偏于安全。當(dāng)作用有橫向荷載的時(shí)候,可以取支座負(fù)彎矩至最大正彎矩之間的梁段,計(jì)算兩端彎矩比值β來(lái)計(jì)算,參見(jiàn)圖9。對(duì)于圖9,可計(jì)算彎矩分布系數(shù)為β=MB/MC,負(fù)彎矩取正值,正彎矩取負(fù)值。對(duì)于梁長(zhǎng)可取正負(fù)彎矩之間的距離。文獻(xiàn)中利用伽遼金方法對(duì)于變軸力作用下的彈性地基梁彎矩放大系數(shù)作了推導(dǎo),對(duì)于圖10中的幾種荷載情況,通過(guò)試算表明,取最大正彎矩與支座負(fù)彎矩的比值,并且取梁長(zhǎng)為最大正彎矩處與支座的距離,按照本文的公式(24)(20)及(17)式計(jì)算臨界應(yīng)力偏于安全。3彈性臨界應(yīng)力本文對(duì)上翼緣有混凝土樓板的工字形截面鋼