基于小波的多重網(wǎng)格多重網(wǎng)格數(shù)值解

多重網(wǎng)格方法是20世紀(jì)60年代以來被廣泛使用的有效算法偏微分方程數(shù)值解（pde）的有效方法。該方法的研究已取得許多成熟的成果，小波變換是20世紀(jì)80年代由摩爾、熱狗、daum、bart等人開發(fā)的一種具有多分辨率分析特征的新算法。近年來，deleon等人將微波變換與多重網(wǎng)格方法相結(jié)合，獲得了求解pde的有效方法。魏立之等人還將微波變換與多重網(wǎng)格方法相結(jié)合，以求解toeplitz方程。在文獻中，pde模型的解算方法是先對pde模型進行小波變換的。通過對矩陣特征的矩陣研究，在多重網(wǎng)格法的幫助下求解變換后的方程。多重網(wǎng)格法的經(jīng)典本質(zhì)是一種特殊的低通或高周分算子，也是最簡單的濾波器。因此，在這項工作中，我們提出了使用小波矩陣來構(gòu)造延伸和限制算子的新方法，并對算法進行了改進。數(shù)值實驗驗證了算法的效率。1=k-2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.對于一類微分方程,利用三點中心差分逼近得到下列三對角形式的數(shù)值解模型,即Τu=h2f式中Τ=1hdiag{-1,2,-1}為三對角矩陣;h為空間步長;f為離散點函數(shù)值構(gòu)成的向量.如果上述方程組迭代求解使用的迭代過程采用為阻尼Jacobi方法,即設(shè)xn+1=(I-σ-1T)xn+σ-1f,其中σ為阻尼系數(shù).因此若設(shè)x為原方程組的精確解,則有x-xn=(Ι-σ-1Τ)(x-xn-1)=?=(Ι-σ-1Τ)n(x-x0).由于系數(shù)矩陣T的N個特征值λk以及相應(yīng)的特征向量yk滿足λk=4hsin2kπ2(Ν+1)?yki=sinkiπΝ+1?1≤i≤Ν.其中yk=(yki).因此計算得到xn-x0=Ν∑k=1(1-λkσ)nαkyk=Ν∑k=1αnkyk?其中αnk=(1-σ-14hsin2kπ2(Ν+1))nαk?若選取σ=h4,則又有αnk=αkcos2nkπ2(Ν+1)=αksin2n(Ν-k+1)π2(Ν+1)≈αk(Ν-k+12(Ν+1))2n.顯然,當(dāng)k→N時,αnk→0.這表明對于按照σ=h4的阻尼Jacobi迭代,其高頻分量會很快變?yōu)?,但對于低頻分量,由于1-sin2kπ2(Ν+1)=1-(kπ2(Ν+1))2+0((kπ2(Ν+1))2)≈1-(kπ2(Ν+1))2→1,k?Ν.即當(dāng)K?N時,上式趨近于1.因此,只要αk≠0,便有αkn在理論上收斂非常慢,實際計算中可能根本不收斂的情形.改善收斂性的根本方法就在于去掉低頻信息.如果取通常的Jacobi迭代,得到的系數(shù)滿足αkn=(1-2sin2kπ2(Ν+1))nαk?對于低頻分量,有αkn→αk,N→∞,而對于高頻分量,有αkn→-αk,N→∞,只要αk≠0,高、低頻組成的向量同樣會出現(xiàn)不收斂的情況,因此改善收斂性的關(guān)鍵是去掉高、低頻分量的信息.為去掉這些信息,多重網(wǎng)格方法實質(zhì)上是對N×N矩陣分別實施延拓與限制處理,而這一過程從信號處理的角度來看本質(zhì)上是做濾波器運算(高通、低通或者高、低通混合).在經(jīng)典多重網(wǎng)格算法中,限制與延拓算子通常取為Ιkk+1=[121121???121?]?Ιk+1k=(Ιkk+1)*.(1)其中*表示共軛轉(zhuǎn)置.下面將看到式(1)的取法事實上基于一種特殊的小波(5～3小波)得到的矩陣,而Ikk+1的作用實質(zhì)上為一種簡單的5～3小波變換過程.由于5～3小波是一種最簡單的小波,因此尋求更一般的小波變換矩陣代替它成為自然的選擇.為了得到更好的小波限制算子,有必要對小波的濾波器性質(zhì)作簡單的描述.考慮由一系列嵌套閉子空間{Vj}組成的小波多分辨分析(MRA),空間序列滿足下關(guān)系?V-1?V0?V1??Vj-1?Vj????其中Vj+1=Vj⊕Wj,Vj⊥Wj.設(shè)H和G分別為尺度空間(低通濾波)和小波空間(高通濾波)的濾波算子.而低通濾波器系數(shù){hk}與高通濾波器系數(shù){gk}由雙尺度方程φ(x)=∑k∈Ζhkφ(2x-k)?gk=(-1)khˉ1-k確定,此時小波變換矩陣分別為Η=[hk-2n]n,k=-∞+∞?G=[gk-2n]n,k=-∞+∞.注意到5～3小波重構(gòu)低通濾波器系數(shù)滿足{h0,h1,h2}=c{1,2,1},因此式(1)中得到的限制算子實質(zhì)上為5～3小波系統(tǒng)取重構(gòu)端低通濾波器得到的小波矩陣H.基于上述思想,本文根據(jù)迭代過程中的收斂情況,提出分別取基于小波的低通或高通濾波器變換矩陣作為多重網(wǎng)格算法中的限制與延拓算子,以加快算法的收斂速度,提高計算效率.2求解空間的滑動迭代考慮由偏微分方程得到的線性方程組:Tu=b,則系數(shù)矩陣T具有對稱正定的性質(zhì).假設(shè)其在選定的網(wǎng)格ΩK上的離散方程為Τkuk=bk.(2)利用多重網(wǎng)格方法求解此問題的V型算法MVk(uk,bk)可以總結(jié)如下.1)給定初值uok,在網(wǎng)格Ωk上光滑迭代為uk=φα1(u0k,bk).2)若網(wǎng)格Ωk為最粗網(wǎng)格,轉(zhuǎn)第4步,否則bk+1=Ιkk+1(fk-Τkuk)；uk+1=0；uk+1=ΜVk+1(uk+1,bk+1).3)細網(wǎng)格校正uk=uk+Ιk+1kuk+1.4)網(wǎng)格Ωh上光滑迭代uk=φα2(uk,bk).多重網(wǎng)格算法中解空間一般定義為Ωk=Range{Ik+1k}⊕Nullspace{Ikk+1},因此如果設(shè)Ωk為{Vj}中的某一個Vk,利用小波分解Vk+1=Vk⊕Wk將解分別分解到尺度空間和小波空間.而經(jīng)過光滑迭代后,根據(jù)系數(shù)矩陣的性質(zhì),有可能出現(xiàn)下列情形:①高頻空間的誤差分量基本衰減殆盡,而低頻空間的衰減緩慢;②低頻空間的誤差分量衰減殆盡,而高頻空間的衰減緩慢;③高、低頻空間均有部分分量衰減緩慢.因此此時進行小波分解,誤差分量可能落在尺度空間、小波空間或者在尺度空間與小波空間均有分量.因此需要根據(jù)光滑迭代后誤差向量的性質(zhì)選擇下一級粗網(wǎng)格,在其上進行粗網(wǎng)格校正迭代.因此基于小波的多重網(wǎng)格算法,其算法步驟可以描述如下.選定小波變換,按照下面過程進行遞推計算.1)尺度空間(或小波空間)作為粗網(wǎng)格層Vk(Wk)?Vk+1.2)粗網(wǎng)格層上用選定的迭代法對方程:Tkuk=bk進行光滑迭代.3)利用小波變換矩陣得到粗轉(zhuǎn)換(限制)算子,并對殘(虧)量限制bk+1=Η(bk-Τkuk)或bk+1=G(bk-Τkuk).4)實施小波變換建立粗網(wǎng)格:Tk+1=HHTk或Tk+1=GGTk.5)逐層求解方程Tk+1uk+1=bk+1.6)以小波變換的逆作為粗到細轉(zhuǎn)換算子,將粗網(wǎng)格上得到的誤差插值到細網(wǎng)格層,同時實施粗網(wǎng)格校正.圖1為算法的流程圖.,其中矩形框是V型多重網(wǎng)格算法的一般流程,設(shè)小波變換W確定,那么在圖1的矩形框中有:Ikk+1=W,Ik+1k=W-1,Ak+1=WWAk,第j層的粗網(wǎng)格Ωk+1=Vk+1.3快速小波變換算法驗證考慮經(jīng)典的二維橢圓偏微分方程邊界問題-?(a(x,y)?u(x,y))=f(x,y),(x,y)∈Ωu(x,y)=g(x,y),(x,y)∈?Ω.(3)為簡單計算,求解區(qū)域取為Ω=(0,1)?(0,1).a(x,y)=1+0.8xy,f(x,y)=0,g(x,y)=0.由于不同的小波對應(yīng)的濾波器性質(zhì)存在著較大的區(qū)別,同時為了利用快速小波變換算法,本文選取二進制系數(shù)9～7雙正交小波作為多重網(wǎng)格算法中的限制與延拓算子,此時小波濾波器系數(shù)滿足{h0=2332?h1=h-1=14,h2=h-2=-18,h3=h-3=0,h4=