哈爾濱工業(yè)大學高等數(shù)學期末考試試題和答案哈爾濱工業(yè)大學高等數(shù)學期末考試試題和答案#/5高等數(shù)學期末考試試題(4)一、填空題：(本題共5小題，每小題4分，滿分20分，把答案直接填在題中橫線上)1、已知向量a、b滿足M+b^Q，\a\=2，網(wǎng)=2,則展B=.S3z2、設z=xln(xy)，貝U = .SxSy23、曲面x2+y2+z=9在點(1,2,4)處的切平面方程為.4、設f(x)是周期為2兀的周期函數(shù)，它在［-兀，兀)上的表達式為f(x)=x，則f(x)的傅里葉級數(shù)在x=3處收斂于，在x=兀處收斂于.5、設L為連接(1,0)與(0,1)兩點的直線段，則J(x+y)ds=.L※以下各題在答題紙上作答，答題時必須寫出詳細的解答過程，并在每張答題紙寫上：姓名、學號、班級.二、解下列各題:(本題共5小題,每小題7分,滿分35分)2x2+3y2+z2=91、求曲線( 在點M(1,-1,2)處的切線及法平面方程.z2=3x2+y2 02、求由曲面z=2x2+2y2及z=6-x2-y2所圍成的立體體積.3、4、判定級數(shù)￡(-1)nln3、4、n=1x Sz S2z設z=f(盯,y)+SI”，其中于具有二階連續(xù)偏導數(shù)'求出’礪?

5、計算曲面積分11竺,其中￡是球面X2+y2+z2=a2被平面z=h(0<h<a)截出的頂部.z￡三、(本題滿分9分)拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一橢圓，求這橢圓上的點到原點的距離的最大值與最小值.四、(本題滿分10分)計算曲線積分1(exsiny-m)dx+(excosy一mx)dy,L其中m為常數(shù)，L為由點A(a,0)至原點O(0,0)的上半圓周x2+y2=ax(a>0).五、(本題滿分10分)Exn ,,--的收斂域及和函數(shù).3n?nn=1六、(本題滿分10分)六、計算曲面積分I=112x3dydz+2y3dzdx+3(z2-1)dxdy,￡其中￡為曲面z=1-x2-y2(z>0)的上側.七、(本題滿分七、(本題滿分6分)設f(x)為連續(xù)函數(shù)，f(0)=a,F(t)=111[z+f(x2+y2+z2)]dv，其中。t是由曲面z=Jx2+y2Qt. - F(t)與z=tt2-x2-y2所圍成的閉區(qū)域，求hm -0+t32012高等數(shù)學期末考試試題【A卷】參考解答與評分標準2009年6月一、填空題參考解答與評分標準2009年6月一、填空題【每小題4分，共20分】1、—4;2、1 一——；3、2x+4y+z=14；y24、30； 5、＜12。二、試解下列各題【每小題7分，共35分】1、解：方程兩邊對工求導，得131、解：方程兩邊對工求導，得13ydy+z生=-2x

dxdxdydzy———z——=—3xdxdxdy從而d二5x4ydz7xdx 4z?！?】該曲線在（該曲線在（1，—1,2）處的切向量為了二0，7,3）=—（8，10，7）-48 8【5】故所求的切線方程為8 10 7。。【6】法平面方程為8(x—1)+10(y+1)+故所求的切線方程為8 10 7。。【6】法平面方程為8(x—1)+10(y+1)+7(z—2)=0即8x+10y+7z=12。?！?】2、解:1z=2x2+2y2nx2+y2=2,該立體Q在xOy面上的投影區(qū)域為D:x2+y2<2 【2】z=6—x2—y2 xy故所求的體積為V=J11dv=12nd。卜2pdpj6—p2dz=2兀J-2p(6—3p2)dp=6兀。。⑺002p23、解：由limnu=limnln(1+—)=limln(1+1)n=1>0,知級數(shù)￡|u發(fā)散

n【3】n=1又Iu1=ln(1+—)>ln(1+)=|un+1|,lim|u|=limln（1+L=0.故所給級數(shù)收斂且條件收斂.【7】4、解：4、解：g=(ffy+于；y)+°=yf:+2【3】x1 1 x 1x1 1 x 1=f+y[f〃-x+/〃?(一二)]——ff+—"〃?x+/〃.(—二)]=f+xyf〃——1 11 12y2y2 2y2122y2 1 11 y2J.【7】225、解：E的方程為z=aa2—x2—y2,E在xOy面上的投影區(qū)域為D={(x,y)|x2+y2<a2—h2}.xy【3】+z2+z2=aUa2—x2—y2，…?！?】JJdS_JJadxdy故za2—xJJdS_JJadxdy故za2—x2—y2 0 0a2—p2S Dxyc1一_2兀a—-ln(a2—p2)"、a2—h2 a_2兀aln 。.【7】h0三、【9分】解:設M(x,y,z)為該橢圓上的任一點，則點m到原點的距離為d=口2+y2+z2……【1】令L(x,y,z)_x2+y2+z2+九(z-x2—y2)+目(x+y+z-1),L_2x—2九x+目=0xL_2y—2九y+日二0 一y —1±J3L_2z+九+目=0,解得x_y_,z 2z_x2+y2x+y+z_1z=2不.于是得到兩個可能極值點,2-⑼，M2(甘-1丁,2+⑼.【7】TOC\o"1-5"\h\z故d_|OM|_J9+573,d_|OM|_J9—573.……【9】max 2 min 1四、【10分】解：記L與直線段OA所圍成的閉區(qū)域為D，則由格林公式，得I_)2 _L+OAQx^siny—m)dx+(excosy—mx)dy_—mJJdoI_)2 _L+OAD【5】 【8】「.J(exsiny—m)dx+(excosy—mx)dy=I—I兀_ma——ma2.1 8【10】五、【10分】解：P_limn【5】 【8】「.J(exsiny—m)dx+(excosy—mx)dy=I—I兀_ma——ma2.1 8【10】五、【10分】解：P_limn一8a—n+1an_lim(n3b _1nR_3，收斂區(qū)間為(—3,3) neln+u3n+1 3【2】又當x_3時，級數(shù)成為￡」,發(fā)散；當x_—3時，

nn_1級數(shù)成為n_1(-1)nn，收斂 【4】故該幕級數(shù)的收斂域為［—3,3) 【5】令s(x"￡高n_1(|x|<3)【8】￡x(|x|<3)【8】S(x)=乙_-乙(―)n—1_ _ 3n 3 3 31—x/33—xn_1 n_1于是s(x)—J*sf(x)dx—Jx*——ln(3—x)

0 03—xX=ln3-In(3-x),(-3<x<3)0 ，【10】六、【10分】解：取￡］為工―0(X2+)2<1)的下側，記￡與￡］所圍成的空間閉區(qū)域為o，則由高斯公式，有乩2x3dydzy2y3dzdx+3(z2—1)dxdy—JJJ6(x2+y2+z)dvS+S1 o【5】—6J2汽deJ1dpJ1-p2(p2+z)ddz—2?！?00而I—JJ2x3dydz+2)3dzdx+3Q2—1)dxdy—JJ3Q2—1)dxdy—3JJdxdy—3兀1￡i【9】I—I—I—2兀一3兀=—兀.2 1【10】七、【6分】解:f(t)-J2兀deJ4sin