Page1專題14不等式選講1．（四川省綿陽市2023屆高三上學期第二次診斷性測試理科數(shù)學試題）已知函數(shù)，若的解集為．(1)求實數(shù)，的值；(2)已知均為正數(shù)，且滿足，求證：．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)求出，再分類討論解不等式，與已知解集比較可得；（2）由，得，根據(jù)基本不等式得，再根據(jù)可證不等式成立.【詳解】（1）因為的解集為，所以，即，所以，又，所以，即.所以，當時，,得，則，當時，，得，當時，，得，不成立，綜上所述：的解集為，因為的解集為．所以.（2）由（1）知，，所以，所以，當且僅當，時，等號成立，所以，所以，當且僅當，時，等號成立.2．（四川省瀘縣第二中學2022屆高考仿真考試（一）文科數(shù)學試題）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足．(1)證明：；(2)證明：【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；【分析】（1）運用分析法，結合基本不等式進行證明即可；（2）運用分析法，結合柯西不等式進行證明即可.【詳解】（1）∵a，b，c為正數(shù)，要證，∵只需證，即證，即證，∵a，b，c為正數(shù)，∴，∴，∴∴，∴當且僅當時取等；（2）要證，只需證，即證，根據(jù)柯西不等式可，當且僅當取等號．從而.3．（四川省廣安市2022-2023學年高三第一次診斷性考試數(shù)學（理）試題）已知，，且．(1)證明：；(2)若不等式對任意恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，代入運算整理，結合二次函數(shù)的對稱性求最值；（2）根據(jù)題意分析可得，結合和運算求解.【詳解】（1）∵，則，可得，∴，又∵開口向上，對稱軸為，∴當時，，當時，，故.（2）∵，當且僅當，即時等號成立；∴，又∵，當且僅當時等號成立，∴，解得或，故m的取值范圍為.4．（四川省成都市金牛區(qū)2023屆高三上學期理科數(shù)學階段性檢測卷（二））已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的定義域；(2)當函數(shù)的值域為R時，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用零點分段法解不等式，求出函數(shù)的定義域；（2）由的值域為R得到能取遍所有正數(shù)，結合絕對值三角不等式得到，故，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，令，即①，或②，或③，解①得：，解②得：，解③得：，所以定義域為；（2）因為的值域為R，故能取遍所有正數(shù)，由絕對值三角不等式，故，所以，故實數(shù)的取值范圍是.5．（四川省南充高級中學2022-2023學年高三上學期第4次模擬測試數(shù)學理科試題）已知：，．(1)若，求不等式的解集；(2)，若的圖象與軸圍成的三角形面積不大于54，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用零點分段法求解出絕對值不等式；（2）先求出，由，解得：，則，由函數(shù)單調(diào)性得到，根據(jù)函數(shù)圖象與軸圍成的三角形面積不大于54，列出方程，求出的取值范圍.【詳解】（1）當時，，當時，成立；當時，，則；當時，不合題意，綜上，的解集為；（2）因為，所以，由，解得：，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，，∴圖象與軸圍成的三角形面積為，解得：，又，則，∴的取值范圍是.6．（四川省資陽市2022-2023學年高三上學期第一次診斷考試數(shù)學（理）試題）設函數(shù)．(1)解不等式；(2)令的最小值為，正數(shù)，，滿足，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再分類討論，分別求出不等式的解集，從而得解；（2）由（1）可得函數(shù)圖象，即可求出函數(shù)的最小值，再利用基本不等式證明即可.【詳解】（1）解：因為，所以不等式，即或或，解得或或，綜上可得原不等式的解集為.（2）解：由（1）可得函數(shù)的圖象如下所示：所以，即，所以，又，，，所以，當且僅當時取等號，所以.7．（四川省綿陽市2023屆高三上學期第一次診斷性考試理科數(shù)學試題）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)若，，均為正數(shù)，且，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由絕對值不等式的性質(zhì)可求解；（2）由題意得，再由基本不等式及不等式的性質(zhì)可證明.【詳解】（1）≥=≥．(當且僅當時，取等號)∴函數(shù)f(x)的最小值為．（2）因為，，均為正數(shù)，所以，∴．由≥9，得．∵，∴．∴，∴．8．（四川省成都市溫江區(qū)2022屆高考適應性考試數(shù)學（文）試題）已知函數(shù)，．(1)若，，求實數(shù)的取值范圍；(2)求證：R，．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)的范圍，去掉絕對值，然后分段求解不等式即可.（2）由絕對值的三角不等關系，可得，然后根據(jù)基本不等式即可求解.（1）時，，故當時，，所以；當時，顯然成立，當時，，解得：綜上，不等式的解集為（2）．9．（四川省南充高級中學2023屆高考模擬檢測七文科數(shù)學試題）設．(1)求的解集;(2)若的最小值為，且，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再分段求解，最后取并集即可；（2）由絕對值三角不等式可得，于是有，再利用基本不等式求解即可.【詳解】（1），當時，或或,解得或或，所以，故解集為；（2），當且僅當即時，等號成立，∴，∴，∵a，b為正實數(shù)，∴，當且僅當，即時，等號成立．故的最小值為．10．（四川省營山縣第二中學2023屆高三第六次高考模擬檢測數(shù)學（文科）試題）設，，均為正數(shù)，且證明：(1)；(2)【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)利用重要不等式，結合綜合法即可得證；(2)利用柯西不等式即可證明不等式.【詳解】（1）因為，，所以，當且僅當時，等號成立，又，所以（2）由，且為正數(shù)，得，則，則，由柯西不等式可得：，當且僅當時，等號成立，所以11．（四川省綿陽中學2023屆高三上學期1月模擬檢測文科數(shù)學試題）已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值是m，且，，，求的最小值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用零點分區(qū)間法解決問題即可；（2）由（1）可知，則，故，展開利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）因為，所以等價于或或，解得或或，故不等式的解集為.（2）由（1）可知，則，又，，所以，當且僅當，時等號成立，故最小值為．12．（四川省涼山州2023屆高三第一次診斷性檢測數(shù)學（理）試題）已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意分類討論去絕對值解不等式；（2）根據(jù)絕對值三角不等式求的最小值，再結合恒成立問題解不等式即得.【詳解】（1）由于，當時，，解得，此時；當時，，解得，此時；當時，，解得，此時．綜上：的解集為；（2），當且僅當時等號成立，，即，解得，的取值范圍是．13．（四川省攀枝花市2023屆高三第二次統(tǒng)一考試理科數(shù)學試題）已知．(1)當時，解不等式；(2)若，不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)不等式的解集為；(2)a的取值范圍為．【分析】（1）將代入，利用“零點分界法”去絕對值，解不等式即可.（2）將不等式化為，去絕對值，分離參數(shù)可得，令函數(shù)()，利用函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式即可求解.【詳解】（1）當時，，①當時，不等式可化為，解得，∴，②當時，不等式可化為，解得，∴，③當時，不等式可化為，解得，∴，綜上可知，原不等式的解集為；（2）當時，不等式，即，整理得，則，即，又，故分離參數(shù)可得，令函數(shù)()，顯然在上單調(diào)遞減，∴，當時，(當且僅當時等號成立)，∴實數(shù)的取值范圍為.14．（四川省樂山市高中2023屆高三第一次調(diào)查研究考試文科數(shù)學試題）已知函數(shù).(1)求的最大值;(2)若正數(shù)滿足，證明:【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題知，再求解最大值即可；（2）根據(jù)基本不等式證明即可.【詳解】（1）解：當時，；當時，；當時，，所以因為當時，函數(shù)單調(diào)遞減，或時，函數(shù)為常函數(shù)，所以，函數(shù)的最大值為，即（2）解：因為，，，所以，因為，由（1）知，即，所以，所以，，當且僅當時等號成立，所以，證畢.15．（四川省綿陽市2021-2022學年高三上學期第一次診斷性考試文科數(shù)學試題）已知函數(shù)的最大值為.（1）求的值；（2）若正數(shù)，，滿足，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用絕對值三角不等式求出的最大值，讓最大值等于即可得的值；（2）由（1）知，，由利用基本不等式即可求證.【詳解】（1）由題意得，因為函數(shù)的最大值為，所以，即.因為，所以；（2）由（1）知，，因為，，，所以，當且僅當時，即，等號成立，即，所以，當且僅當時，等號成立.16．（四川省成都市第二十中學校2022-2023學年高三上學期一診模擬考試（二）數(shù)學試題）已知函數(shù)．(1)若，解不等式；(2)當時，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式，分段求得不等式的解集，最后取并集.（2）根據(jù)，利用零點分段法寫出的解析式，求其最小值，根據(jù)不等式恒成立，可求得的取值范圍.【詳解】（1）時，當時，，當時，，當時，，綜上所述:解集為（2）當時，恒成立，即，.當時，恒成立，即，綜上所述：17．（四川省達州市普通高中2023屆高三第一次診斷性測試理科數(shù)學試題）設函數(shù).(1)若的解集為，求實數(shù)的值；(2)若，且，求的最小值.【答案】(1);(2)9.【分析】(1)由可得，兩邊同時平方可得：，于是得，進而有，求解即可；(2)由可得，又由于關于直線對稱，所以，進而得，再由，利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）解：不等式可化為，兩邊同時平方可得：.原不等式解集為，即.；（2）解：因為即，因為關于直線對稱，，，即.所以，當且僅當，即時取所以的最小值為9.18．（四川省遂寧市第二中學校2023屆高三上學期一診模擬考試理科數(shù)學試卷（二））已知函數(shù)．(1)求不等式?的解集;(2)設?的最小值為?．若正實數(shù)?滿足?，求?的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）分、和三種情況解不等式即可；（2）根據(jù)的單調(diào)性得到，然后利用柯西不等式求最值即可.【詳解】（1）①當時，，由，解得，所以；②當時，，由，解得，所以；③當時，，由，解得，所以，綜上，原不等式的解集為.（2）由（1）得，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，當時，取得最小值為2，所以，即，由柯西不等式得，所以，當且僅當，即，，時等號成立，所以的最小值為.19．（四川省南充市2023屆高三上學期高考適應性考試（一診）文科數(shù)學試題）已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)記函數(shù)的最大值為M．若正實數(shù)a，b，c滿足，求證：．【答案】(1)(2)證明詳見解析【分析】（1）利用零點分段法，將表示為分段函數(shù)的形式，進而求得不等式的解集（2）先求得，然后利用柯西不等式證得結論成立.【詳解】（1），由得：或或，解得，所以不等式的解集為.（2）由于，所以的最大值為，即，所以正實數(shù)滿足.，當且僅當，即時等號成立.20．（四川省成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學2022-2023學年高三上學期一診模擬考試文科數(shù)學試題）已知函數(shù)．(1)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)在（1）的條件下，設m的最大值為，a，b，c均為正實數(shù)，當時，求的最小值．【答案】(1)m的取值范圍為；(2)的最小值為.【分析】(1)由已知，由絕對值三角不等式可求最大值，再解不等式求實數(shù)的取值范圍；(2)由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可得，由此可得的最小值.【詳解】（1）因為恒成立，所以，由絕對值三角不等式知，當且僅當時等號成立，所以，即，∴，所以m的取值范圍為；（2）由（1）得，，設向量，，所以，又，當且僅當，方向相同時等號成立，所以，（當且僅當時，等號成立）所以，即的最小值為.21．（四川省宜賓市2023屆高三上學期第一次診斷性數(shù)學（理）數(shù)學試題）已知函數(shù)．(1)當時，解不等式；(2)當函數(shù)的最小值為時，求的最大值．【答案】(1)；(2)5.【分析】（1）根據(jù)題意，分類討論求解即可；（2）結合絕對值三角不等式得，進而根據(jù)柯西不等式求解即可.【詳解】（1）解：由題知，，或或解得或或所以，的解集為，（2）解：由絕對值三角不等式得：當且僅當，即時取等號，因為函數(shù)的最小值為，所以，，所以，由柯西不等式得當，即時取等號．所以，的最大值為．22．（四川省瀘州市2022-2023學年高三上學期第一次教學質(zhì)量診斷性考試數(shù)學（理）試題）已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)設函數(shù)的最小值為M，若正數(shù)a，b，c滿足，證明．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)的取值分類討論，分段求解不等式即可；（2）利用絕對值三角不等式求得，再根據(jù)基本不等式即可證明.【詳解】（1）當時，即，解得，不等式解集為；當時，即，不等式解集為空集；當時，即，解得，不等式解集為；綜上所述，的解集為.（2），當且僅當，即時取得等號，故；則，又，則，又，當且僅當時取得等號；，當且僅當時取得等號；，當且僅當時取得等號；故，當且僅當，且，即時取得等號.故，時取得等號.23．（四川省遂寧市2023屆高三零診考試數(shù)學（文科）試題）已知函數(shù)(1)當時，解不等式；(2)若對于任意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)題意，分類討論求解即可；（2）根據(jù)題意且對任意的恒成立，再求對應的最值即可得答案.【詳解】（1）解：當時，不等式，即，所以或，即得或，解得或，所以不等式的解集為或（2）解：因為對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，即，即，故只要且對任意的恒成立即可，因為，，當且僅當時，即時等號成立，所以，令，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上的單調(diào)遞增，從而，所以，，即實數(shù)的取值范圍是24．（四川省巴中市2022-2023學年高三上學期零診考試數(shù)學（理科）試題）已知函數(shù)．(1)解不等式；(2)設函數(shù)的最小值為，若正數(shù)，，滿足，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）分，，三種情況討論解不等式，最后再取并集即可；（2）先由絕對值三角不等式求出，再由結合基本不等式求解即可.【詳解】（1）當時，，由可得，則；當時，，由可得顯然成立，則；當時，，由可得，則；綜上：不等式的解集為；（2），當且僅當即時取等，，則，又，，均為正數(shù)，則，當且僅當，即時等號成立，則.25．（四川省廣安市2021-2022學年高二下學期“零診”考試數(shù)學（理）試題）設函數(shù)的最小值為t(1)求t的值；(2)若a，b，c為正實數(shù)，且，求證：.【答案】(1)3；(2)證明見解析.【分析】（1）分類討論去中的絕對值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求出每段函數(shù)值的取值范圍，即可求解；（2）由（1）得，利用已知等式有，再應用基本不等式，即可證明結論.【詳解】（1）（1）當時，；當時，；當時，，所以當時，取最小值.（2）由（1）可知，因為，，為正實數(shù)，.當且僅當，即，，時取等號，所以.26．（四川省宜賓市敘州區(qū)第一中學校2022屆高三下學期高考適應性考試數(shù)學（文）試題）已知函數(shù)．(1)解不等式；(2)若關于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分段討論解絕對值不等式（2）不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題求解(1)由得或或解得或或，不等式的解集為．(2)由題意知，當時，恒成立．若，則，即恒成立，此時，，故；若，則，即恒成立，此時，在上的最小值為，故．綜上所述，m的取值范圍是．27．（四川省成都市2022屆高三下學期第一次適應性考試數(shù)學（文）試題）已知．(1)若m＝2，求的解集；(2)若實數(shù)a，b，c滿足，，使成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）時，利用零點分段法解絕對值不等式，分別求解，，三種情況取并集即可；（2）先利用基本不等式求出的最大值，再利用絕對值的三角不等式得到，原不等式轉(zhuǎn)換為，求其解集即可.(1)∵m＝2，，∴當，時，無解；當時，，∴；當時，，成立．綜上所述：的解集為．(2)∵，∴，同理