PAGE用樣本估計(jì)總體【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表，畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖.2.通過(guò)實(shí)例體會(huì)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布，準(zhǔn)確地做出總體估計(jì).3.正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.4.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋.5.會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、頻率分布的概念頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小.一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.其一般步驟為：1.計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差2.決定組距與組數(shù)3.將數(shù)據(jù)分組4.列頻率分布表5.畫(huà)頻率分布直方圖要點(diǎn)詮釋：頻率分布直方圖的特征：1.從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì).2.從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.要點(diǎn)二、頻率分布折線圖、總體密度曲線1.頻率分布折線圖的定義：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖.2.總體密度曲線的定義：在樣本頻率分布直方圖中，樣本容量越大，所分組數(shù)越多，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.要點(diǎn)詮釋：總體密度曲線能夠精確地反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細(xì)的信息，能夠精確的反映一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律.要點(diǎn)三、莖葉圖當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長(zhǎng)出來(lái)的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖.要點(diǎn)詮釋：莖葉圖的特征：(1)用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是在統(tǒng)計(jì)圖上沒(méi)有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，方便記錄與表示.(2)莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒(méi)有表示兩個(gè)記錄那么直觀，清晰.要點(diǎn)四、眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)1.眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).如果變量是分類的，用眾數(shù)是很有必要的.例如班委會(huì)要作出一項(xiàng)決定，考察全班同學(xué)對(duì)它贊成與否就可以用眾數(shù).2.中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)(或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做中位數(shù).中位數(shù)把樣本數(shù)據(jù)分成了相同數(shù)目的兩部分.3.平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即.要點(diǎn)詮釋：由于眾數(shù)僅能刻畫(huà)某一數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)較多，中位數(shù)對(duì)極端值不敏感，而平均數(shù)又受極端值左右，因此這些因素制約了僅依賴這些數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體數(shù)字特征的準(zhǔn)確性.要點(diǎn)五、標(biāo)準(zhǔn)差與方差1.標(biāo)準(zhǔn)差樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的算法：(1)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).(2)算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：(3)算出(2)中的平方.(4)算出(3)中n個(gè)平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差.(5)算出(4)中平均數(shù)的算術(shù)平方根，，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.其計(jì)算公式為：2.方差從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方(即方差)來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)差，作為測(cè)量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：要點(diǎn)詮釋：在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.數(shù)據(jù)的離散值程度可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度；樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小；樣本方差的算術(shù)根表示樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，它也描述了數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的離散程度.【典型例題】類型一：頻率分布表、頻率分布直方圖例1．在學(xué)校開(kāi)展的綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某班進(jìn)行了小制作評(píng)比，作品上交時(shí)間為5月1日至30日，評(píng)委會(huì)把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖（如下圖所示）．已知從左到右各長(zhǎng)方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1，第三組的頻數(shù)為12，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：200000×3％=6000（人）．估計(jì)該省考生數(shù)學(xué)成績(jī)不及格的有6000人．（5）折線圖的最高點(diǎn)位于100～105之間，據(jù)此估計(jì)該省考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?00～105分這個(gè)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)將會(huì)最多．【總結(jié)升華】本例中，決定分點(diǎn)時(shí)，直接使用了最小值加組距，即80+5k（k=1，2，…，11），而沒(méi)有把最小值減去某一個(gè)數(shù)（例如80－0.5=79.5）作為第1個(gè)分點(diǎn)，這是因?yàn)?00個(gè)分?jǐn)?shù)是明確的，即它們都在80～135之間．凡事都要具體問(wèn)題具體分析，不可教條化．本例是把5分看成一個(gè)分?jǐn)?shù)段，統(tǒng)計(jì)各段的情況．舉一反三：【變式1】一個(gè)容量為20的樣本，分組后，組距與頻數(shù)如下[10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2，則樣本在（－∞，50]上的頻率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)頻率的計(jì)算公式頻率求解．頻率．【變式2】對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：壽命／h100～200200～300300～400400～500500～600個(gè)數(shù)2030804030（1）列出頻率分布表；（2）畫(huà)出頻率分布直方圖；（3）估計(jì)該電子元件壽命在100～400h以內(nèi)的占總體的比例；（4）估計(jì)該電子元件壽命在400h以上的在總體中占的比例．【解析】（1）樣本頻率分布表如下：壽命／h頻數(shù)頻率100～200200.10200～300300.15300～400800.40400～500400.20500～600300.15合計(jì)2001（2）頻率分布直方圖如下圖所示；（3）估計(jì)該電子元件壽命在100～400h以內(nèi)占總體的比例為65％；（4）估計(jì)該電子元件壽命在400h以上的在總體中占的比例為35％．類型二：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)例3．據(jù)報(bào)道，某公司的33名職工的月工資（以元為單位）如下：職務(wù)董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資（元）5500500035003000250020001500（1）求該公司人員月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；（精確到元）（2）假設(shè)副董事長(zhǎng)的工資從5000元提升到20000元，董事長(zhǎng)的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？（精確到元）（3）你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司人員的工資水平？結(jié)合此問(wèn)題談一談你的看法．【思路點(diǎn)撥】理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念．【答案】（1）209115001500（2）3288（3）中位數(shù)和眾數(shù)【解析】（1）平均數(shù)是（元），中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．（2）平均數(shù)是（元），中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．（3）在這個(gè)問(wèn)題中，中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司人員的工資水平．因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司人員的工資水平．【總結(jié)升華】（1）深刻理解和把握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在反映樣本數(shù)據(jù)上的特點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際情況，靈活運(yùn)用．（2）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)三者比較，平均數(shù)更能體現(xiàn)每個(gè)數(shù)據(jù)的特征，它是各數(shù)據(jù)的重心．舉一反三：【變式1】9010090100110120130140150次數(shù)o0.0040.0080.0120.0160.0200.0240.028頻率/組距0.0320.036(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？在這次測(cè)試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)小組內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由.在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1.【答案】(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為：又因?yàn)轭l率=所以(2)由圖可估計(jì)該學(xué)校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為(3)由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6，12，51，45，27，9，所以前三組的頻數(shù)之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi).類型三：方差、標(biāo)準(zhǔn)差例4．在一次科技知識(shí)競(jìng)賽中，兩組學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦卤恚悍謹(jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212已經(jīng)算得兩個(gè)組的平均分都是80分．請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組在這次競(jìng)賽中的成績(jī)誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)劣，并說(shuō)明理由．【解析】（1）甲組成績(jī)的眾數(shù)為90分，乙組成績(jī)的眾數(shù)為70分，從成績(jī)的眾數(shù)比較看，甲組成績(jī)好些．（2）[2(50－80)2+5(60－80)2+10(70－80)2+13(80－80)2+14(90－80)2+6(100－80)2]=(2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+6×400)=172，(4×900+4×400+16－100+2×0+12×100+12×400)=256．∴，∴甲組成績(jī)較乙組成績(jī)穩(wěn)定，故甲組成績(jī)好些．（3）甲、乙兩組成績(jī)的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中，甲組成績(jī)?cè)?0分以上的有33人，乙組成績(jī)?cè)?0分以上的有26人，從這一角度看，甲組的成績(jī)總體較好．（4）從成績(jī)統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績(jī)大于或等于90分的人數(shù)為14+6=20（人），乙組成績(jī)大于或等于90分的人數(shù)為12+12=24（人），∴乙組成績(jī)集中在高分段的人數(shù)較多，同時(shí)，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人，從這一角度看，乙組的成績(jī)較好【總結(jié)升華】要正確解答這道題，首先要抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵詞語(yǔ)．全方位地進(jìn)行必要的計(jì)算，而不能習(xí)慣地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績(jī)好，像這樣的實(shí)際問(wèn)題還得從實(shí)際的角度去分析，如本例的“滿分人數(shù)”；其次要在恰當(dāng)?shù)卦u(píng)估后，組織好正確的語(yǔ)言作出結(jié)論．舉一反三：【變式1】甲、乙兩臺(tái)機(jī)床在相同的技術(shù)條件下,同時(shí)生產(chǎn)一種零件,現(xiàn)在從中抽測(cè)10個(gè),它們的尺寸分別如下（單位:mm)甲機(jī)床：10.210.110.09.89.910.39.710.09.910.1乙機(jī)床：10.310.49.69.910.110.98.99.710.210.0分別計(jì)算上面兩個(gè)樣本的平均數(shù)和方差.如圖紙規(guī)定零件的尺寸為10mm，從計(jì)算的結(jié)果來(lái)看哪臺(tái)機(jī)床加工這種零件較合適？【解析】，.∴=0.03=0.06.∴＜∴用甲機(jī)床比乙機(jī)床穩(wěn)定，即用甲機(jī)床加工較合適.類型四：莖葉圖例5．某中學(xué)高二（2）班甲、乙兩名學(xué)生自進(jìn)入高中以來(lái)，每次數(shù)學(xué)考試成績(jī)情況如下：甲：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107；乙：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101．畫(huà)出兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖對(duì)兩人的成績(jī)進(jìn)行比較．【思路點(diǎn)撥】莖葉圖便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)．【答案】乙同學(xué)的成績(jī)比較穩(wěn)定【解析】甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖所示．從這個(gè)莖葉圖上可以看出，乙同學(xué)的得分情況是大致對(duì)稱的，中位數(shù)是98；甲同學(xué)的得分情況，也大致對(duì)稱，中位數(shù)是88．乙同學(xué)的成績(jī)比較穩(wěn)定，總體情況比甲同學(xué)好．舉一反三：【變式1】在某高中籃球聯(lián)賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的得分如下：甲：14，17，25，26，30，31，35，37，38，39，44，48，51，53，54；乙：6，15，17，18，21，27，28，33，35，38，40，44，56．（1）用莖葉圖表示上面的樣本數(shù)據(jù)，并求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）根據(jù)（1）中所求的數(shù)據(jù)分析甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中哪一位發(fā)揮得更加穩(wěn)定．【解析】（1）莖葉圖如圖所示．甲運(yùn)