圖形變換是計算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容之一幾何變換，投影變換，視窗變換線性變換，屬性不變，拓?fù)潢P(guān)系不變。作用：把用戶坐標(biāo)系與設(shè)備坐標(biāo)系聯(lián)系起來；可由簡單圖形生成復(fù)雜圖形；可用二維圖形表示三維形體；動態(tài)顯示。圖形變換和齊次坐標(biāo)圖形的幾何變換幾何變換：圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形。幾何變換的兩種形式：1.圖形不變，坐標(biāo)系改變；2.圖形改變，坐標(biāo)系不變。二維圖形變換1.平移變換從點P[x,y]平移到點P’[x’,y’]x’=x+my’=y+nP(x,y)P’(x’y’)mnXYyxP(x,y)P′(x′,y′)mnyxxy2旋轉(zhuǎn)變換αθρ(x,y)(x’,y’)一個點繞原點的旋轉(zhuǎn)，逆時針方向為正。yyxxθθy′x′P(x,y)P(x,y)P′(x′,y′)P′(x′,y′)3比例變換P(x,y)P’(x’,y’)x’=x*sxy’=y*sySx=Sy：均勻縮放。Sx=Sy>1，放大Sx=Sy<1，縮小Sx不等于Sy時，沿坐標(biāo)軸方向伸展和壓縮YX4.對稱變換關(guān)于X軸的對稱變換P(x,y)對稱點為P’(x,-y)關(guān)于Y軸的對稱變換P(x,y)對稱點為P’(-x,y)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱變換P(x,y)關(guān)于原點的對稱點為P’(-x,-y)5錯切變換(SHEAR)(1)沿x方向產(chǎn)生錯切 x’=x+y*tag(θ) y’=y(2)沿y方向產(chǎn)生錯切 x’=x y’=y+x*tag(θ)θ(x,y)(x’,y’)θ(x,y)(x’,y’)YXYX1.齊次坐標(biāo)

齊次坐標(biāo)就是一個n維矢量的(n+1)維矢量表示。例如：二維坐標(biāo)點P(x,y)的齊次坐標(biāo)為：(H*x,H*y,H)。二維坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)是一對多的關(guān)系。通常都采用規(guī)格化的齊次坐標(biāo)，即取H=1。(x,y)的規(guī)格化齊次坐標(biāo)為(x,y,1)。

齊次坐標(biāo)的幾何意義：可理解為在三維空間上第三維為常數(shù)的一平面上的二維向量。二維圖形變換的矩陣表示齊次坐標(biāo)的作用：1.將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來表示。提供了用矩陣運算實現(xiàn)圖形變換，或者把二維、三維甚至高維空間上的一個點從一個坐標(biāo)系變換到另一坐標(biāo)系的有效方法。2.便于表示無窮遠(yuǎn)點。例如：（x*H,y*H,H)，令H等于0，齊次坐標(biāo)與二維變換的矩陣表示多個變換作用于多個目標(biāo)變換合成變換合成的問題引入齊次坐標(biāo)

變換的表示法統(tǒng)一1.恒等變換2.比例變換3.對稱變換關(guān)于X軸的對稱變換

關(guān)于Y軸的對稱變換

關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱變換

5.旋轉(zhuǎn)變換其矩陣表示為：αθρ(x,y)(x’,y’)6.平移變換P(x,y)P’(x’y’)mnXY變換過程如下：(m,n)(x,y)θ(x’,y’)(x1,y1)θ(x2,y2)mn123(x’,y’)7.繞任一點的旋轉(zhuǎn)變換假定該任一點為P(m,n),旋轉(zhuǎn)角為θT1T2T3T=T1T2T3稱為矩陣級聯(lián)，也稱復(fù)合變換。復(fù)合變換及變換的模式問題：如何實現(xiàn)復(fù)雜變換？關(guān)于任意參照點的旋轉(zhuǎn)變換復(fù)合變換及變換的模式復(fù)合變換及變換的模式變換的結(jié)果與變換的順序有關(guān)（矩陣乘法不可交換）Translate2D(1,0);Rotate2D(45);House();Rotate2D(45);Translate2D(1,0);House();求變換矩陣是要明確變換模型左乘右乘采用變換矩陣左乘的圖形系統(tǒng)一般用堆棧實現(xiàn)先調(diào)用的變換后執(zhí)行，后調(diào)用的變換先執(zhí)行特別注意三維幾何變換1.三維變換矩陣統(tǒng)一的二維變換矩陣：那么，可否有統(tǒng)一的三維變換矩陣?2.三維基本變換軸向比例變換x’=axy’=ey[x‘y’z‘1]=[axeyjz1]z’=jz

矩陣表示：全比例變換當(dāng)變換矩陣取下列值時：[xyz1]T=[xyzs]=[x/sy/sz/s1]當(dāng)s>1,沿三個軸向等比例縮小當(dāng)0<s<1,沿三個軸向等比例放大（軸向比例變換與全比例變換的關(guān)系）

對稱變換在二維變換下，對稱變換是以線和點為基準(zhǔn)，在三維變換下，對稱變換則是以面、線、點為基準(zhǔn)的。對稱于XOY平面

[x’y’z’1]=[xy-z1]=[xyz1]對稱于YOZ平面

[x’y’z’1]=[-xyz1]=[xyz1]對稱于XOZ平面[x’y’z’1]=[x-yz1]=[xyz1]那么，分別對稱于X、Y、Z軸和坐標(biāo)原點的變換矩陣是什么？平移變換是指空間上的立體從一個位置移動到另一個位置時，其形狀大小均不發(fā)生改變的變換。[x’y’z’1]=[x+dxy+dyz+dz1]

=旋轉(zhuǎn)變換繞X軸變換空間上的立體繞X軸旋轉(zhuǎn)時，立體上各點的X坐標(biāo)不變，只是Y、Z坐標(biāo)發(fā)生相應(yīng)的變化。x’=xy’=ρcos(α+θ)=y*cosθ-z*sinθz’=ρsin(α+θ)=y*sinθ+z*cosθXYZ(x,y)(x’y’)θθYZαOO(x’y’)(x,y)矩陣表示為：繞Y軸旋轉(zhuǎn)

此時，Y坐標(biāo)不變，X，Z坐標(biāo)相應(yīng)變化。x’=ρsin(α+θ)=x*cosθ+z*sinθy’=yz’=ρcos(α+θ)=z*cosθ-x*sinθXYZ(x,y)(x’y’)θXZαOO矩陣表示為繞Z軸旋轉(zhuǎn)此時，Z坐標(biāo)不變，X，Y坐標(biāo)相應(yīng)變化。x’=ρcos(α+θ)=x*cosθ-y*sinθy’=ρsin(α+θ)=x*sinθ+y*cosθz’=zXYZ(x,y)(x’y’)θXYαOO矩陣表示為：組合變換：空間一點繞空間任一軸線的旋轉(zhuǎn)變換。要通過將幾個基本的變換組合在一起，得到該組合變換。假定空間任一直線的方向矢量分別為：(l,m,n)

并經(jīng)過原點(l,m,n)(x,y,z)(x’,y’,z’)XYZαβγON能否轉(zhuǎn)換成繞X、Y或Z軸旋轉(zhuǎn)的變換？

ON繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ2

到XOZ平面上，然后再繞Y軸旋轉(zhuǎn)θ1，即可與Z軸重合。ONθ2θ1XYZ這樣，可得空間上任一點繞ON軸旋轉(zhuǎn)的變換過程如下：1）首先通過兩次旋轉(zhuǎn)，使ON軸與Z軸重合；2）然后使點繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角；3）最后通過與1）相反的旋轉(zhuǎn)，使ON軸回