湖南衡陽正源學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知三棱錐D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，BC⊥AD，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.π B.6πC.5π D.8π2．冪函數(shù)y＝xa，當(dāng)a取不同的正數(shù)時，在區(qū)間[0，1]上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖)，設(shè)點A(1，0)，B(0，1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y＝xa，y＝xb的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么＝（）A.0 B.1C. D.23．設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知集合，則（）A. B.C. D.5．用b，表示a，b，c三個數(shù)中的最小值設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的最大值為A.4 B.5C.6 D.76．已知一幾何體的三視圖，則它的體積為A. B.C. D.7．已知角的終邊經(jīng)過點，則（）.A. B.C. D.8．已知正實數(shù)滿足，則的最小值是（）A B.C. D.9．已知,,,則的大小關(guān)系A(chǔ). B.C. D.10．已知集合，集合，則集合A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點的實數(shù)的取值范圍是____________12．一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為________.13．函數(shù)的最大值是____________.14．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若對任都有，則m的取值范圍是_________15．如圖，某化學(xué)實驗室的一個模型是一個正八面體（由兩個相同的正四棱錐組成，且各棱長都相等）若該正八面體的表面積為，則該正八面體外接球的體積為___________；若在該正八面體內(nèi)放一個球，則該球半徑的最大值為___________.16．函數(shù)的最小值為__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，求值；已知，求的值18．某地為踐提出的“綠水青山就是金山銀山”的理念，大力開展植樹造林．假設(shè)一片森林原來的面積為a畝，計劃每年種植一些樹苗，使森林面積的年平均增長率為20%，且x年后森林的面積為y畝（1）列出y與x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)的定義域；（2）為使森林面積至少達(dá)到6a畝至少需要植樹造林多少年？參考數(shù)據(jù)：19．設(shè)函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)的定義域為集合.（1）若，求實數(shù)的取值范圍;（2）若，求實數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù),其中,且.（1）若函數(shù)的圖像過點,且函數(shù)只有一個零點,求函數(shù)的解析式;（2）在（1）的條件下,若,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.21．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解關(guān)于的不等式：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】由題意結(jié)合平面幾何、線面垂直的判定與性質(zhì)可得BC⊥BD，AD⊥AC，再由平面幾何的知識即可得該幾何體外接球的球心及半徑，即可得解.【題目詳解】AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，∴，，∴DA⊥AB，AB⊥BC，由BC⊥AD可得BC⊥平面DAB，DA⊥平面ABC，∴BC⊥BD，AD⊥AC，∴CD＝，由直角三角形的性質(zhì)可知，線段CD的中點O到點A，B，C，D的距離均為，∴該三棱錐外接球的半徑為，故三棱錐的外接球的表面積為4π＝6π.故選：B.【題目點撥】本題考查了三棱錐幾何特征的應(yīng)用及其外接球表面積的求解，考查了運算求解能力與空間思維能力，屬于中檔題.2、A【解題分析】由題意得，代入函數(shù)解析式，進(jìn)而利用指對互化即可得解.【題目詳解】BM＝MN＝NA，點A(1，0)，B(0，1)，所以，將兩點坐標(biāo)分別代入y＝xa，y＝xb，得所以，所以.故選：A.【題目點撥】本題主要考查了冪函數(shù)的圖像及對數(shù)的運算，涉及換底公式，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】由與互相推出的情況結(jié)合選項判斷出答案【題目詳解】，由可以推出，而不能推出則“”是“”的充分而不必要條件故選：A4、C【解題分析】根據(jù)并集的定義計算【題目詳解】由題意故選：C5、B【解題分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出三個函數(shù)，，的圖象，以此確定出函數(shù)圖象，觀察最大值的位置，通過求函數(shù)值，解出最大值【題目詳解】如圖所示：則的最大值為與交點的縱坐標(biāo)，由，得即當(dāng)時，故選B【題目點撥】本題考查了函數(shù)的概念、圖象、最值問題利用了數(shù)形結(jié)合的方法關(guān)鍵是通過題意得出的簡圖6、C【解題分析】所求體積，故選C.7、A【解題分析】根據(jù)三角函數(shù)的概念，，可得結(jié)果.【題目詳解】因為角終邊經(jīng)過點所以故選：A【題目點撥】本題主要考查角終邊過一點正切值的計算，屬基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】根據(jù)題中條件，得到，展開后根據(jù)基本不等式，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為正實數(shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：B.【題目點撥】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.9、D【解題分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【題目詳解】∵0＜a＝0.71.3＜1，b＝30.2＞1，c＝log0.25＜0，∴c＜a＜b故選D【題目點撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題10、C【解題分析】故選C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】令，進(jìn)而作出的圖象，然后通過數(shù)形結(jié)合求得答案.【題目詳解】令，現(xiàn)作出的圖象，如圖：于是，當(dāng)時，圖象有交點，即函數(shù)有零點.故答案為：.12、.【解題分析】先求圓錐底面圓的半徑，再由直角三角形求得圓錐的高，代入公式計算圓錐的體積即可。【題目詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r，則由題意得，解得.∴底面圓的面積為.又圓錐的高.故圓錐的體積.【題目點撥】此題考查圓錐體積計算，關(guān)鍵是找到底面圓半徑和高代入計算即可，屬于簡單題目。13、【解題分析】把函數(shù)化為的形式，然后結(jié)合輔助角公式可得【題目詳解】由已知，令，，，則，所以故答案為：14、，【解題分析】作出當(dāng)，時，的圖象，將其圖象分別向左、向右平移個單位（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼幕?倍），得到函數(shù)的圖象，令，求得的最大值，可得所求范圍【題目詳解】解：因為滿足，即；又由，可得，畫出當(dāng)，時，的圖象，將在，的圖象向右平移個單位（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍），再向左平移個單位（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮?，由此得到函?shù)的圖象如圖：當(dāng)，時，，，，又，所以，令，由圖像可得，則，解得，所以當(dāng)時，滿足對任意的，，都有，故的范圍為，故答案為：，15、①.②.【解題分析】由已知求得正八面體的棱長為，進(jìn)而求得，即知外接球的半徑，進(jìn)而求得體積；若球O在正八面體內(nèi)，則球O半徑的最大值為O到平面的距離，證得平面，再利用相似可知，即可求得半徑.【題目詳解】如圖，記該八面體為，O為正方形的中心，則平面設(shè)，則，解得.在正方形中，，則在直角中，知，即正八面體外接球的半徑為故該正八面體外接球的體積為.若球O在正八面體內(nèi)，則球O半徑的最大值為O到平面的距離.取的中點E，連接，，則，又，，平面過O作于H，又，，所以平面，又，，則，則該球半徑的最大值為.故答案為：，16、【解題分析】所以，當(dāng)，即時，取得最小值.所以答案應(yīng)填：.考點：1、對數(shù)的運算；2、二次函數(shù)的最值.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）由三角函數(shù)中平方關(guān)系求得，再由誘導(dǎo)公式可商數(shù)關(guān)系化簡求值；（2）考慮到已知角與待求角互余，可直接利用誘導(dǎo)公式求值【題目詳解】解：已知，所以：，所以：，，，由于，所以：【題目點撥】本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系與誘導(dǎo)公式，解題時需考慮已知角與未知角之間的關(guān)系，以尋求運用恰當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行化簡變形與求值18、（1）(且)；（2）10.【解題分析】(1)直接由題意可得與的函數(shù)解析式；(2)設(shè)為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林年，則，求解指數(shù)不等式得答案【小問1詳解】森林原來的面積為畝，森林面積的年平均增長率為，年后森林的面積為畝，則(且)；【小問2詳解】設(shè)為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林年，則，，得，即，，即取10，故為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林10年19、（1）（2）【解題分析】（1）首先分別求解兩個函數(shù)的定義域，根據(jù)集合包含關(guān)系，列不等式求解的取值范圍；（2）根據(jù)，得，求的取值范圍.【小問1詳解】解：由題知，，解得：，若，則，即，實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】解：若，則，即，實數(shù)的取值范圍是.20、（1）或（2）【解題分析】（1）因為,根據(jù)函數(shù)的圖像過點,且函數(shù)只有一個零點,聯(lián)立方程即可求得答案;（2）因為,由（1）可知:,可得,根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,即可求得實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1）根據(jù)函數(shù)的圖像過點,且函數(shù)只有一個零點可得,整理可得,消去得,解得或當(dāng)時,,當(dāng)時,,綜上所述,函數(shù)的解析式為:或（2）當(dāng),由（1）可知:要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增則須滿足解得,實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題考查了求解二次函數(shù)解析式和已知復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍.掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減是解題關(guān)鍵,考查了分析能力和計算能力,屬于中等題.21、（1）；（2）函數(shù)在上是增函數(shù)，證明見解析；（3）.【解題分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可求得的值，再結(jié)合已知條件可求得實數(shù)的值，由此可得出函數(shù)的解