2022年福建省廈門市業(yè)余中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知=（sin（x+），sin（x﹣）），=（cos（x﹣），cos（x+）），?=，且x∈[﹣，]，則sin2x的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】先根據(jù)向量的數(shù)量積和兩角和的正弦公式求出sin（2x+）=，根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系，以及兩角差的正弦公式，即可求出．【解答】解：∵=（sin（x+），sin（x﹣）），=（cos（x﹣），cos（x+）），?=，∴sin（x+）?cos（x﹣）+sin（x﹣）?cos（x+）=sin（2x+）=，∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴cos（2x+）=，∴sin2x=sin（2x+﹣）=sin（2x+）cos﹣cos（2x+）sin=×﹣×=，故選：B2.正方體中，的中點為，的中點為，則異面直線與所成的角是（

）A．0°

B．

45°

C.

60°

D．90°參考答案：D解析：

取的中點,連接,則,易得,所以.因為,所以,所以,故與所成的角為.

3.如果方程所表示的曲線關(guān)于對稱，則必有(

)。A．

B．

C．

D．參考答案：A4.如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點，記，，則向量=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】向量加減混合運算及其幾何意義．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】由D是△ABC的邊AB上的中點，可得．在△BCD中，利用向量的三角形法則可得，代入即可．【解答】解：∵D是△ABC的邊AB上的中點，∴．在△BCD中，由向量的三角形法則可得=．故選B．【點評】熟練掌握向量共線定理和向量的三角形法則是解題的關(guān)鍵．5.已知數(shù)列，則（

）A． B． C． D．參考答案：D略6.定義運算，設(shè)，若，，，則的值域為（

）A.[－1,1] B. C. D.參考答案：C【詳解】由題意，由于與都是周期函數(shù)，且最小正周期都是，故只須在一個周期上考慮函數(shù)的值域即可，分別畫出與的圖象，如圖所示，觀察圖象可得：的值域為，故選C.

7.

參考答案：C8.若∥，，則（

）A

B

C

D參考答案：D9.在矩形中，，是邊上的動點，記，當(dāng)取最小值時，（）A. B.

C. D.參考答案：C10.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合?，且中至少含有一個奇數(shù)，則這樣的集合有

▲

個.參考答案：512.已知函數(shù)（其中）圖象過點，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的值為_______.參考答案：【知識點】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【試題解析】因為函數(shù)（其中）圖象過點，

所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，，

故答案為：13.角的終邊經(jīng)過點，則_____.參考答案：【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出，利用誘導(dǎo)公式可知，即可求解.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，，故填.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.14.函數(shù)的最小正周期是

.參考答案：2略15.函數(shù)的值域為

參考答案：16.已知角為鈍角,若角的終邊與角的終邊重合,則角=

.參考答案：17.（4分）甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發(fā)向同一個方向運動，其路程fi（x）（i=1，2，3，4）關(guān)于時間x（x≥0）的函數(shù)關(guān)系式分別為，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下結(jié)論：①當(dāng)x＞1時，甲走在最前面；②當(dāng)x＞1時，乙走在最前面；③當(dāng)0＜x＜1時，丁走在最前面，當(dāng)x＞1時，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲．其中，正確結(jié)論的序號為

（把正確結(jié)論的序號都填上，多填或少填均不得分）．參考答案：③④⑤考點： 對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長差異．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 分別取特值驗證命題①②；對數(shù)型函數(shù)的變化是先快后慢，當(dāng)x=1時甲、乙、丙、丁四個物體又重合，從而判斷命題③正確；指數(shù)函數(shù)變化是先慢后快，當(dāng)運動的時間足夠長，最前面的動物一定是按照指數(shù)型函數(shù)運動的物體，即一定是甲物體；結(jié)合對數(shù)型和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情況，可知命題④正確．解答： 路程fi（x）（i=1，2，3，4）關(guān)于時間x（x≥0）的函數(shù)關(guān)系是：，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），它們相應(yīng)的函數(shù)模型分別是指數(shù)型函數(shù)，二次函數(shù)，一次函數(shù)，和對數(shù)型函數(shù)模型．當(dāng)x=2時，f1（2）=3，f2（2）=4，∴命題①不正確；當(dāng)x=4時，f1（5）=31，f2（5）=25，∴命題②不正確；根據(jù)四種函數(shù)的變化特點，對數(shù)型函數(shù)的變化是先快后慢，當(dāng)x=1時甲、乙、丙、丁四個物體又重合，從而可知當(dāng)0＜x＜1時，丁走在最前面，當(dāng)x＞1時，丁走在最后面，命題③正確；指數(shù)函數(shù)變化是先慢后快，當(dāng)運動的時間足夠長，最前面的動物一定是按照指數(shù)型函數(shù)運動的物體，即一定是甲物體，∴命題⑤正確．結(jié)合對數(shù)型和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情況，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命題④正確．故答案為：③④⑤．點評： 本題考查幾種基本初等函數(shù)的變化趨勢，關(guān)鍵是注意到對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長差異，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)f（x）的值域；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)的值．【分析】（Ⅰ）a=時，f（x）=，當(dāng)x＜1時，f（x）=x2﹣3x是減函數(shù)，可求此時函數(shù)f（x）的值域；同理可求得當(dāng)x≥1時，減函數(shù)f（x）=的值域；（Ⅱ）函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，三個條件需同時成立，①≥1，②0＜a＜1，③12﹣（4a+1）?1﹣8a+4≥0，從而可解得實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）a=時，f（x）=，當(dāng)x＜1時，f（x）=x2﹣3x是減函數(shù)，所以f（x）＞f（1）=﹣2，即x＜1時，f（x）的值域是（﹣2，+∞）．（3分）當(dāng)x≥1時，f（x）=是減函數(shù)，所以f（x）≤f（1）=0，即x≥1時，f（x）的值域是（﹣∞，0]．于是函數(shù)f（x）的值域是（﹣∞，0]∪（﹣2，+∞）=R．（6分）（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，則下列①②③三個條件同時成立：①當(dāng)x＜1，f（x）=x2﹣（4a+1）x﹣8a+4是減函數(shù)，于是≥1，則a≥．（8分）②x≥1時，f（x）=是減函數(shù)，則0＜a＜1．（10分）③12﹣（4a+1）?1﹣8a+4≥0，則a≤．于是實數(shù)a的取值范圍是[，]．（12分）【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，著重考查分類討論思想在求函數(shù)值域與確定參數(shù)a的取值范圍中的應(yīng)用，屬于中檔題．19.“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點．研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度x（單位：尾/立方米）的函數(shù)．當(dāng)x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當(dāng)4＜x≤20時，v是x的一次函數(shù)，當(dāng)x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年．（1）當(dāng)0＜x≤20時，求v關(guān)于x的函數(shù)表達式；（2）當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值．參考答案：【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】（1）當(dāng)4＜x≤20時，設(shè)v=ax+b，根據(jù)待定系數(shù)法求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)f（x）的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最大值即可．【解答】解（1）由題意得當(dāng)0＜x≤4時，v=2；

當(dāng)4＜x≤20時，設(shè)v=ax+b，由已知得：，解得：，所以v=﹣x+，故函數(shù)v=；（2）設(shè)年生長量為f（x）千克/立方米，依題意并由（1）可得f（x）=當(dāng)0＜x≤4時，f（x）為增函數(shù)，故f（x）max=f（4）=4×2=8；

當(dāng)4＜x≤20時，f（x）=﹣x2+x=﹣（x2﹣20x）=﹣（x﹣10）2+，f（x）max=f（10）=12.5．所以當(dāng)0＜x≤20時，f（x）的最大值為12.5．即當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米．20.（1）計算：；（2）解方程：．參考答案：【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）利用指數(shù)冪和對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出；（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)及一元二次方程的解法即可求出．【解答】解：（1）原式=+=5+9+=14﹣4=10；（2）∵方程，∴l(xiāng)gx（lgx﹣2）﹣3=0，∴l(xiāng)g2x﹣2lgx﹣3=0，∴（lgx﹣3）（lgx+1）=0，∴l(xiāng)gx﹣3=0，或lgx+1=0，解得x=1000或．【點評】熟練掌握指數(shù)冪和對數(shù)的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足：a3?a4=117，a2+a5=22．（1）求數(shù)列an的通項公式an；（2）若數(shù)列bn是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)c；（3）若（2）中的bn的前n項和為Tn，求證：．參考答案：【考點】8E：數(shù)列的求和；84：等差數(shù)列的通項公式；8F：等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，聯(lián)立方程可得a3，a4，代入等差數(shù)列的通項公式可求an（2）代入等差數(shù)列的前n和公式可求sn，進一步可得bn，然后結(jié)合等差數(shù)列的定義可得2b2=b1+b3，從而可求c（3）要證原不等式A＞B?A＞M，B＜M，分別利用二次函數(shù)及均值不等式可證．℃【解答】解：（1）an為等差數(shù)列，a3?a4=117，a2+a5=22又a2+a5=a3+a4=22∴a3，a4是方程x2﹣22x+117=0的兩個根，d＞0∴a3=9，a4=13∴∴d=4，a1=1∴an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3（2）由（1）知，∵∴，，，∵bn是等差數(shù)列，∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0，∴（c=0舍去），當(dāng)時，bn=2n為等差數(shù)列，滿足要求．（3）由（2）得，2Tn﹣3bn﹣1=2（n2+n）﹣3（2n﹣2）=2（n﹣1）2+4≥4，但由于n=1時取等號，從而等號取不到2Tn﹣3bn﹣1=2（n2+n）﹣3（2n﹣2）=2（n﹣1）2+4＞4，

∴，n=3時取等號（1）、（2）式中等號不能同時取到，所以．22.（10分）求經(jīng)過A（0，﹣1）和直線x+y=1相切，且圓心在直線y=﹣2x上的圓的方程．參考答案：考點： 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題： 計算題．分析： 根據(jù)圓心在直線y=﹣2x上，設(shè)出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，把點A的坐標(biāo)代入圓的方程得到一個關(guān)系式，由點到直線的距離公式表示圓心到直線x+y=1的距離，讓距離等于圓的半徑列出另一個關(guān)系式，兩