復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)大綱（總學(xué)時(shí)數(shù)：32，學(xué)分?jǐn)?shù)：2）一、課程的性質(zhì)、任務(wù)和目的復(fù)變函數(shù)是工科專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，講授復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)。通過本課程的教學(xué)，使學(xué)生初步掌握該課程的基礎(chǔ)概念、基礎(chǔ)理論與基礎(chǔ)方法，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程及進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生具有抽象概括問題和邏輯推理能力、基礎(chǔ)的運(yùn)算和自學(xué)能力，特別注意培養(yǎng)學(xué)生具有較強(qiáng)的綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問題和解決問題的能力。二、課程基本內(nèi)容和要求（一）復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.基本內(nèi)容(1)基本概念：復(fù)數(shù)、區(qū)域、復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)(2)基本理論：復(fù)數(shù)的表示、閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(3)基本方法：復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)平面上曲線、區(qū)域的表示方法2.基本要求(1)復(fù)數(shù)的各種表示方法及其運(yùn)算（掌握）(2)區(qū)域、簡(jiǎn)單曲線的概念，掌握用復(fù)數(shù)式表達(dá)常見區(qū)域、簡(jiǎn)單曲線的方法（了解）(3)復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)（了解）(4)復(fù)變函數(shù)及映射的概念（理解）(5)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)的概念（理解），閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（了解）重點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)及映射、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)難點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)（二）解析函數(shù)1.基本內(nèi)容(1)基本概念：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及復(fù)變函數(shù)解析、調(diào)和函數(shù)、常見的初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)）(2)基礎(chǔ)理論：復(fù)變函數(shù)解析的充要條件、調(diào)和函數(shù)和解析函數(shù)的關(guān)系(3)基礎(chǔ)方法：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、由解析函數(shù)的實(shí)（虛）部求其虛（實(shí)）部2.基本要求(1)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及復(fù)變函數(shù)解析的概念（理解）(2)復(fù)變函數(shù)解析的充要條件（掌握）(3)調(diào)和函數(shù)的概念及其與解析函數(shù)的關(guān)系（了解），利用解析函數(shù)的實(shí)（虛）部求其虛（實(shí)）部（掌握）(4)指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的定義及它們的主要性質(zhì)（包括在單值域中的解析性）（了解），相關(guān)計(jì)算（掌握）重點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及復(fù)變函數(shù)解析難點(diǎn)：從解析函數(shù)的實(shí)（虛）部求其虛（實(shí)）部（三）復(fù)變函數(shù)的積分1.基本內(nèi)容(1)基本概念：積分的定義、原函數(shù)與不定積分(2)基本理論：柯西積分定理、連續(xù)變形原理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式(3)基本方法：復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算2.基本要求(1)復(fù)變函數(shù)積分定義及性質(zhì)（理解），通過兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)的線積分求復(fù)變函數(shù)的積分（掌握）(2)柯西積分定理及其在多連通域內(nèi)的推廣（理解）(3)柯西積分公式，連續(xù)變形原理公式（掌握）(4)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式（掌握），解析函數(shù)無限次可導(dǎo)的性質(zhì)（了解）重點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分，柯西積分公式，復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算難點(diǎn)：柯西積分定理、連續(xù)變形原理（四）級(jí)數(shù)1.基本內(nèi)容(1)基本概念：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散及絕對(duì)收斂等概念、冪級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)及其收斂與發(fā)散的概念、孤立奇點(diǎn)(2)基本理論：阿貝爾定理、冪級(jí)數(shù)（洛朗級(jí)數(shù)）在收斂圓（收斂圓環(huán)）內(nèi)的一些性質(zhì)、泰勒（洛朗）展開定理(3)基本方法：冪級(jí)數(shù)（洛朗級(jí)數(shù)）的收斂范圍的確定、圓域（圓環(huán)域）內(nèi)的解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)（洛朗級(jí)數(shù)）展開、奇點(diǎn)類型的判定2.基本要求(1)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散及絕對(duì)收斂等概念（理解）(2)冪級(jí)數(shù)收斂的阿貝爾定理（了解），計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂半徑（掌握），冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的一些基本性質(zhì)（了解）(3)泰勒定理（了解），解析函數(shù)表示成指定形式的冪級(jí)數(shù)的方法（掌握）(4)常用的馬克勞林展開式（了解），并會(huì)利用它們將一些簡(jiǎn)單的解析函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)（掌握）(5)洛朗定理（了解）(6)用間接方法將簡(jiǎn)單的函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)附近展開為洛朗級(jí)數(shù)（掌握）重點(diǎn)：將一個(gè)解析函數(shù)表示成指定形式的冪級(jí)數(shù)難點(diǎn)：奇點(diǎn)類型的判定（五）留數(shù)1.基本內(nèi)容(1)基本概念：留數(shù)概念(2)基本理論：留數(shù)定理(3)基本方法：留數(shù)的計(jì)算規(guī)則、圍道積分法2.基本要求(1)留數(shù)概念，極點(diǎn)處留數(shù)的求法（掌握）(2)留數(shù)定理（掌握）(3)用留數(shù)定理求圍道積分的方法（掌握）重點(diǎn)：留數(shù)定理難點(diǎn)：留數(shù)的計(jì)算規(guī)則、圍道積分法三、學(xué)時(shí)分配表序號(hào)內(nèi)容講授小計(jì)1復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)662解析函數(shù)663復(fù)變函數(shù)的積分884級(jí)數(shù)665留數(shù)66合計(jì)3232四、有關(guān)說明（一）先修課程高等數(shù)學(xué)（二）教學(xué)參考書1.鐘玉泉復(fù)變函數(shù)北京：高等教育出版社2.陳榮軍文傳軍復(fù)變函數(shù)與積分變換南京：南京大學(xué)出版社